多样本变异系数比较的似然比检验

【 关 键词】 变异系数
似然 比检 验
非中心 ｔ 分布
多样本
ｘ ¨
，
变异 系数 （ ｃ ｏ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｃ Ｖ ） 是 反 应 总
ｘ２ ＇ ¨
，
…
，
体各单位观察值的差异程度或离散程度的指标 。有关 变异系数的统计 比较问题 ， 现有的方法 多为两个总体 变异系数差异的比较 。对于多个总体变异系数 比较的 假设检验 ， 如果采用两两 比较的方法必然会增大第 １ 类错 误 率 ｕ Ｊ 。Ｆ ｅ ｌ ｔ ｚ和 Ｍｉ ｌ ｌ ｅ ｒ （ １ ９ ９ ６ ） 提 出一 种 用 于 多
中 国卫 生 统计 ２ ０ １ ３年 ６月 第 ３ ０卷第 ３期
．
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Hale Waihona Puke Baidu
多样本 变异系数 比较 的似然 比检验
南方医科大学公共卫生与热带医学学院生物统计￣ （ ５ １ ０ ５ １ ５ ） 汪 鹏 周 怡 周基 元
【 提 要】 目的 通过求非中心 ｔ 分布未知参数最大似然估计， 由此提出一种比较多个样本变异系数差异的似然比
报导如何求非 中心 ｔ 分布未知参数最 大似然估计 ， 所
以本 文 也将 提 出一种求 非 中心 ｔ 分 布未知 参数 最 大 似
ｎ 一 １ 、 非中 心参数为 ＝ ４ ￣ ， ／ ｃ ｖ ， 的 非中 心ｔ 分布 。
对上 述样 本 ， 考虑 如下假 设 检验 ：
： ＣＶ１＝Ｃ ＝… ＝Ｃ ＝ ＣＶ
为 ＣＶ Ｉ ＝ｏ ｒ 。若设 与 分 别 表示 第 ｉ 组 样 本 的 样 本均 数与 样本 标准 差 ， 则 样 本 变 异 系数 为 ｅ ＝ ｆ ／
方法只适用于每组样本 的样本量均大于或等于 １ ０的 情形 。因此 ， 本文将提出一种校正的似然比检验方法 ， 探讨多个样本变异系数 比较 的假设检验 ， 模拟不同样
然估计的算法 。
原 理 和方 法
１ ．方法 提 出
Ｈ ： 至少有两组总体变异系数不等
令 ＝ √ ／ ， 则ｇ 组样本关于 的似然函数如下：
Ｌ（ １ ， ， …， Ｐ ； ｌ ， ２ ， …， ）＝ｔ （ ｎ １ —１ ， １ ）・ ｆ （ ｎ ２ —１ ， ）… ・ ・ ｔ （ ｎ 一１ ， ） （ １ ）
根 据 似然 比检验 的理 论 知 ， 在 大 样 本 条 件 下 似 然 比检 验 统计 量如 下 ：
ＬＲＴ ＝ －２１ ｎ
假设有 ｇ组服从正态分布的独立样本 ：
等等
３ ． 求变异系数的最大似然估计 和相应的最大似 然 函数值 似然比检验要求分别计算出似然 函数在 Ｈ ０ 和 。
检验 （ Ｌ Ｒ Ｔ ） 方法 ， 并 与现有 的 Ｄ Ａ Ｄ 检验 在第 １ 类错误率与检验效能两方 面进 行模拟 比较。方法 由于样本 变异系数 的 似然 函数跟非 中心 ｔ 分布有关 ， 本文首先 提出一种求非 中心 ｔ 分布未知参数最 大似然估计 的算法 ， 然后 由此构造 出 比较多 个样本变异 系数 的似然 比检验统计量 ， 并 求出其 Ｂ ａ ｒ ｔ ｌ ｅ ｔ ｔ 校正系数 ， 对似 然 比检验 统计量进 行 Ｂ ａ ｒ ｔ ｌ ｅ ｔ ｔ 校正 ， 以便该 方法也 能用于小样本 的情形 。计算 机模 拟时从正态分布总体 中抽样 ， 模拟 Ｌ Ｒ Ｔ的第 １ 类错误 率与检验 效能 ， 并 与 Ｄ Ａ Ｄ 检验做 比较 。将 Ｌ Ｒ Ｔ方法编写成 Ｒ语 言程 序 ， 输 出校正后 的统 计量值和相应 Ｐ值 ， 以方便实际应用 。结果 校正 的 Ｌ Ｒ Ｔ方法能 更好地控制第 １ 类错误 率 ， 并且其检验效 能比 Ｄ Ａ Ｄ检 验更 稳健 。在小样 本且样 本量不均衡 的情形 下 ， 其 检验效 能 比 Ｄ Ａ Ｄ方法高 。结论 校 正的 Ｌ Ｒ Ｔ方法适用范 围更广 ， 检验效能高 ， 可为检验 多样 本变异系数间差异提供更加有效 的方法 。
值 。因此我们需要研究一下似然函数 （ １ ） 的性质。
（ １ ） 密度函数——非中心 ｔ 分布
假 设 ～ｔ （ ｎ一１ ， ， 可知 的积 分形 式 的密度 函
＃ ： 汪鹏与周怡对本文有 同等贡献 ， 均为第一作者
△ 通信作者 ： 周基元 ， Ｅ ・ ｍａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ｏ ｕ ｊ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ ＠ｇ ｍ ａ ｉ ｌ ． ｃ ｏ ｍ
本量 数 据并 与 Ｄ Ａ Ｄ 方法进 行 比较 。样 本 变异 系 数 的 似然 函数 跟非 中心 ｔ 分布有关 ， 目前 还 没 有 相关 文献
ｘ ｊ ， 其可以用 于估 计总体变 异系数 ｃ ｖ ， 。对第 ｉ 组样
本， 有
一 ｒ （ ， ｚ 一 １ ， ＿ ／ ｃ ） ， 即服从 自 由度为
个样 本 变异 系数 差异 比较 的 Ｄ Ａ Ｄ 检验 。而该 检 验
ｘ ， 墨 ， …， 碟
ｘ 【 ｇ ｊ ， ， …， 霹 ’
其中 ｎ 是第 ｉ 组样本的样本量 ， （ ≠ ０ ） 与ｏ ｒ 分别是 第ｉ 个总体 的总体均数 、 总体方差 ， 则其总体变异系数
｝： 国家 自 然科学基金资助 （ ８ １ ０ ７ ２ ３ ８ ６ ） ； 南方医科大学公共卫 生与热带 医学 学 院 本 科 生 课 外 科 研 活 动 重 点 资 助 立 项 资 助 项 目
（ ＧＷＸＳ ２ ０ １ １ ０ １ ０ ５ ）
下变异系数 的最大似然估计及相应 的最大 似然 函数
首先 提 出一种 求非 中心 ｔ 分 布 中未 知参 数最 大 似 然 估 计 的算 法 ， 然后 在 大 样 本 条件 下 构造 出似 然 比检 验统计量 ， 最后 对 其 进 行 Ｂ ａ ｒ ｔ ｌ ｅ ｔ ｔ 校 正 Ｊ ， 以便 该 方 法 也 能 用于 小样 本 的情 形 。 ２ ．模 型建 立