高考数学一轮复习(热点难点)专题36 到底你要放缩到什么程度放缩法证明数列不等式

专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式考纲要求:1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：2、掌握放缩的技巧与方法. 基础知识回顾: 放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。

从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。

例如常数122=1314-，即可猜想该等比数列的首项为12，公比为14，即通项公式为124n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或()1n na f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明应用举例:类型一：与前n 项和相关的不等式例 1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)n n n S t S a =-+（t 为常数，且0t ≠，1t ≠）． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求t 的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式12274nkn n T ≥-+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）nn a t =（2）12t =（3）132k ≥（2）由（1）知，2(1)()1nn nnt tb t tt-=+⋅-，即212121n n nnt t tbt+++-=-，若数列{}nb为等比数列，则有2213b b b=⋅，而212b t=，32(21)b t t=+，423(21)b t t t=++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t=，再将12t=代入nb，得1()2nb=，例2.记{}1,2,100U =,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =,，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设(),B (),C DA C D CD ==痧，则B ,A =∅因此由C D A B S S S S ≥⇒≥，因此A B 中最大项必在A 中，由（2）得22()2A B C CDD CDC CDD S S S S S S S S S ≥⇒-≥-⇒+≥.试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N . （2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<. 因此，1r k S a +<.综合①②③得，2C CDD S S S +≥.类型二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数21)2ln(21)(+=x x f ，数列}{n a 满足：*))((,111N n a f a a n n ∈==+．（1）求证:21>x 时，x x f <)(； （2）求证:121≤<n a （*N n ∈）； （3）求证:83)(111<⋅-+=+∑i ni i i a a a （*N n ∈）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．故()()()2211111122i i i i i i i i i a a a a a a a a a ++++++-<-⋅=-， 则有：()()2222221112231112ni i i n n i a a a a a a a a a +++=-⋅<-+-++-∑()()2221112111131122228n n a a a ++⎛⎫=-=-<-= ⎪⎝⎭ 例4.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意n N +∈，有()211433n nn S a λλ-=-+⋅+.其中λ为实数，且0λ>. （1）当4λ=时， ①求数列{}n a 的通项；②是否存在这样的正整数r s t <<，使得,,r s t a a a 成等比数列？若存在，给出,,r s t 满足的条件，否则，请说明理由.（2）当4λ≠时，设244nn n b a λ⋅=+-，① 判定{}n b 是否为等比数列； ②设4nn na c =，若4n c ≤对n N +∀∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）①()1214n n a n -=+⋅；②不存在；（2）①当4λ≠且43λ≠时，数列{}n b 是以344--λλ为首项，λ为公比的等比数列，当43λ=时，0n b =，不是等比数列；②7(0,]2λ∈．方法、规律归纳: 常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-， （2）22-=<<<-2,n n N *<-≥∈ （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ （4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n--=<=------- ()1112,2121n nn n N *-=-≥∈-- 可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n nk k k k k k k k k k k k--=<=-------()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 实战演练:1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列{}n a 满足1133,1,{ 1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =， *.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由. 【答案】（1）()23nn b =-- （2）()222234nn n S =--- （3）当n 为偶数时， 12n n n S b S +>> 都成立，（3）详见解析（3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立，因为()22121n S n +=-+ ， ()22223nn S n =--- ， 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->---即只要满足 ①：22n > ，和②：()()22321n n -+>+ ，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()22321nn -⋅+>+ ，不成立，当n 为偶数时，满足()22321nn ⋅+>+，即22123nn n +-> 令2213n nn n c +-= ，因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ，且当2n = 时， 22123nn n +->，所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时， 212n n n S b S +>>成立 .2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列{}n a 中，1192a =， 1381442n n n a a a +-=+， 2021n n b a =+，其中*N n ∈． ⑴ 求证：数列{}n b 为等差数列；⑵ 设1cos πn n n c b b n +=， *N n ∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若当*N n ∈且n 为偶数时， 2n T tn ≤恒成立，求实数t 的取值范围；⑶ 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，试求数列{}2n n S S -的最大值. 【答案】⑴见解析⑵[)1,+∞⑶296要使2n T tn ≤对*n ∈N 且n 为偶数恒成立，只要使2212n n tn +≤对*n ∈N 且n 为偶数恒成立， 即使112t n≥+对n 为正偶数恒成立，max 11111222n ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 1t ∴≥，故实数t 的取值范围是[)1,+∞； ⑶由⑴得2021n n b n a ==+， 1012n a n ∴=-，1110122n nS n ⎛⎫∴=+++- ⎪⎝⎭， 211111210121222n nS n n n n ⎛⎫∴=+++++++-⎪++⎝⎭， 设2111101222n n n nM S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭， 11111111023221222n n M n n n n n ++⎛⎫∴=+++++-⎪++++⎝⎭，1111110212212n n M M n n n +⎛⎫∴-=+-- ⎪+++⎝⎭()()111101102122221222n n n n ⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭∴当1n =时， 11010342n n M M +-=->⨯，即12M M <， 当2n ≥时， 10n n M M +-<，即234M M M >>>，()2max 1129101346n M M ⎛⎫∴==⨯+-=⎪⎝⎭， 因此数列{}2n n S S -的最大值为296． 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到1n b +与n a 的关系式．3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列满足，，且．（1）求数列和的通项公式； （2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，，使，，（）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）不存在（2）由（1）得，于是，所以两式相减得，所以，由（1）得，因为对，都有，即恒成立，所以恒成立，记，所以，因为，从而数列为递增数列，所以当时取最小值，于是．（3）假设存在正整数（），使成等差数列，则，即 ，若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立. 若为奇数，设，则，于是，即， 当时，，此时与矛盾；4．已知数列{}n a 、{}n b ，其中， 112a =，数列{}n a 满足()()111n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,{ ,n n n n na c b n =为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n n b =；（2）存在， 16m =；（3）()()21243421,43{ 2421,43n n nn n n T n n n -+++-=++-为奇数为偶数． 【解析】试题分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n }的通项公式．b 1=2，b n +1=2b n 可知{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n }的通项公式．（2）b n =2n．假设存在自然数m ，满足条件，先求出212111111111222222n n n b b b +++⋯+=+++⋯+=-<，将问题转化成824m -≥可求得m 的取值范围；（3）分n 是奇数、n 是偶数两种情况求出T n ，然后写成分段函数的形式。