数学实验作业
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数学实验期末作业题
交通流量问题
1．下图给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车次数）
假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。
试建立数学模型确定该交通网络未知部分（x1---x10）的具体流量。
解：建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组为：
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧=++==-==+=+=+=-=+=+-.1000,600,200,400,1000,800,800,200,500,3006381091098751216754432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
则系数矩阵为：
.001
01
01
100000000011000000000100000000001100000000000100010000000011000
1100000000001100000
00001110
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=A 将原方程组简写成AX=B,先通过对应矩阵的秩看看解的情况，输入命令： clear;
A=[0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0; 0 0
0 0 0 -1 1 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0]
b=[300 500 200 800 800 1000 400 200 600 1000]
B=[0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 300; 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 500; 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 200; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 800; 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 800; 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1000; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 400; 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 200; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 600; 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1000] ;
rank(A),rank （B ）
结果为
ans=
8
ans=
8
显然这里rank(A)=rank（B）=8<10，所以原方程组有无穷解。要求求出它的通解，需要知道对应的齐次方程组的一个基础解系和原方程组的一个特解
输入命令
X=A/b
X1=null(A)
结果为
X0=
800
200
500
800
1000
400
600
X=
000000
.100000.100000
.1000000.100000.10
00000
.100000.1----
则原方程组的通解为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011100000000001101160040001000800050020008002110987
654321k k x x x x x x x x x x ，式中21k k ，为任意实数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.
2． 某公安局于晚上7时30分发现一具尸体，当天晚上8点20分，法医测得尸体温度为32.6℃ ，1小时后，尸体被抬走的时候又测得尸体的温度为31.4 ℃。假定室温在几个小时内均为21.1℃，由案情分析得知张某为此案的主要嫌疑犯，但张某矢口否认，并有证人说：“下午张某一直在办公室，下午5时打了一个电话后才离开办公室”。从办公室到凶案现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在嫌疑犯之外？
提示：按照Newton 冷却定律，温度为T 的物体在温度为T 0(T 0< T)的环境中冷却的速度和温度差成正比，由此可以建立模型。
解：设温度随时间的变化函数为T(t)，并以第一次测量温度的时间（晚上8点20分）为起始时刻t=0. 根
据
Newton
冷
却
定
律
有
：
[]1.214.31)1(6.320)()
(00===-=T T T T t T k dt
t dT ，，）（。且，其中k 为常数0T T >
运用Matlab 程序，输入命令： Clear
dsolve y =)t''),T -k(T(t)=D(t)('0 结果为：
kt Ce T y +=0
当1.21,4.31)1(,6.32)0(0===T T T 时得：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∙∙4.311.216
.321.211
)
1(0
)0(k k Ce T Ce T 输入命令:
Clear e k C Syms
)6.32^*1.21()0*(1=+=k e C f )4.31^*1.21()1*(2=+=k e C f k)C,,f ,solve(f =[C.k]21
结果为 C= 11.5