关于求解行列式的几种特殊的方法
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2 1
其中 A, B 分别是 s, r阶可逆矩阵, C 是 r ∋ s 阶矩阵 , 0 是 s ∋ r阶矩阵 . 可以看出 , 这样可以把 s+ r阶行列式 的计算问题 , 通过矩阵分块转化为较低阶的 s 阶和 r 阶行列式计算问题, 下面先根据上面的途径给出计算 公式. a11 ! 设矩阵 G= as1 c11 ! cr1 ! ! ! ! ! ! a1s ! as s c1s ! crs d11 ! ds1 d11 ! dr1 d1r ! ! ! ! ! ! dsr d1r ! drr = A C D B
1 a2 a a
2 2
! ! ! ! !
1 an an ! an
n- 2 n 2
!
n- 2 1
!
n- 2 2
Z Y X 本题用常规方法解如下: 0 X D = X Y 0 Z X Y Z = 0 Z Y 0 X X 0 0 Y 0 Y Z X 0 X
a1
n
a2
n
an
如果使用常规的方法 , 解这道题是非常复杂的 , 而 且困难的是因为 Dn 不是范得蒙行列式 , 若我们用刚 0 Z Y 0 Z Y Z Z Y 0 Y X Z 0 X 0 X ]+ D= 0 X 刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十 分容易 了 , 因为 Dn 类似于范得蒙行列式, 我们构造一个 n 阶 的范得蒙行列式 1 a1 a a
解 : 首先我们应先考虑 |A |能不能化为上 ( 下 ) 三 角形式 , 若将第一行乘以 ( - 2) 加到第 2 , 3, !, n 行, 数字反而复杂了 , 要使行列式尽可能多的出现 ∀ 0#项, 将 |A |的 第一行乘以 ( - 1)加到第 2 , 3 , ! n 行, 得 1 |A | = 1 1 ! 1 2 0 0 ! 0 2 0 1 ! 0 ! ! ! ! ! 2 0 0 ! n- 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4
这道题还有个特点, 那就是 A = C, 如果我们把公 式变形 , 即 A C CAA A C
- 1
D B
- 1
= |A |& |B- CA D | = |A( B - CA D) | =
- 1 -1 - 1
虽然可以得出结果, 但是过程过于复杂。如果用 分离线性因子法把第 2 、 3 、 4 列都加到第 1 列上, 由多 项式整除的概念 , 有 ( X + Y + Z ) |D, 如果第 1 列加上 第 2 列再减去第 3 列和 第 4 列 ( X + Z - X ) | D, 同样 有 , 如果第 1 列加上第 3 列再减去第 2 列和第 4 列有 ( X+ Y - Z) |D, 若第 1列加上第 4列减去第 2 列和第 3 列有 ( X + Y- Z ) |D, 因为以上这些整式互素所以有 ( X+ Y + Z) ( Y + Z - X) ( X + Z - Y ) ( X + Y - Z ) |D, 因为这四个因子的乘积包括带有的系数为 - 1 , 而行列 式本身包含同一项的系数为 + 1 , 所以得出 D= - ( X + Y+ Z ) ( Y + Z - X ) ( X + Z - Y) ( X + Y - Z ) = X + Y + Z - 2X Y - 2Y Z - 2X Z . 3) 代数方程组法 当所求行列式是由几个元素组成的 , 若用曾经求 解过的行列式作系数行列式 , 构造一个 n 元线性方程 组 , 所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分 . 1 a1 例: 求 D n = a a
上式仍然不是上 ( 下 ) 三角行列式, 这时我们可以 用降阶法, 注意第二行除了第一项是 1 , 后面的项都是
* 收稿日期 :
2006- 06- 12 作者简介 : 陈黎钦 ( 1973 -
), 女 , 福建商业高等专科学校讲师
96 0 , 我们按第二行展开 , 得 2 2 1 ! ! 2
福建商业高等专科学校学报
2007年 2月第 1 期
关于求解行列式的几种特殊的方法
95
关于求解行列式的几种特殊的方法
陈黎钦
( 福建商业高等专科学校
摘 要
*
基础部, 福建 福州
350012)
行列式的求解是高等代数中的非常重要的内容 , 常规作法是用行列式的性质和相关定理来求
解 , 本人给出了几种特殊的求解方法 . 关 键 词 矩阵; 行列式 ; 函数 ; 方程 中图分类号 : O151 . 22 文献标识码 : A 文章编号 : 1008- 4940( 2007) 01- 0095- 004 行列式的计算方法有好几种, 通常都是用性质、 展 开式等方法进行计算的 , 在进行四阶以上的行列式的 计算时 , 这些方法过于繁琐 , 本文通过研究了几种特殊 的方法 , 通过对比的方式, 说明在数学学习中拓宽思路 的重要性. 一、 行列式计算的一般方法 1 . 三角化法 利用行列式的性质把原来的行列式化为 上 ( 下 ) 三角行列式 . 根本性质 . 上 ( 下 ) 三角行列式的值就是 对角线各项的积 . 例 : 计算行列式 n n |A | = n ! n- 1 n- 1 n- 1 ! ! ! ! ! ! ! 3 3 5 ! 3 3 2 3 2 ! 2 2 1 1 1 ! 1 1 |A | = = ( - 1)
n( n- 1) ) 2
1
n( n- 1) ) 2
2 1
3 ! 0 ! 2 !
n 0 0 ! n- 1
= ( - 1)
( n- 1) !
2 . 降阶法 利用按一行 ( 列 ) 展开定理或 L ap lace 展开定理将 n阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行 列式的方法称为降阶法. 例 : 计算 1 2 2 ! 2 2 2 2 ! 2 2 2 3 ! 2 ! ! ! ! ! 2 2 2 ! n
n- 2 2
1 a3 a3 ! a3
n- 2 2
! a3 ! ! !
上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式 . 1 0 1 2 例 : 计算 D= 0 1 1 0 3 4 5 6
= ( a2 - a1 ) ( a3 - a1 ) ! ( an - a1 ) D n- 1 Dn- 1 = ( a3 - a2 ) ( a4 - a2 ) ! ( an - a2 ) D n- 2 依此下去, 并注意到 Dn- 1 = 1 an - 1
2 1
Z Y X Y Z Y 0 0 0 X X +Y Y X 0
1 a2 a a
2 2
! ! ! !
1 an an ! an
n- 1 2
Z X - Z Y
Z X
Z Y
Z Y +Y
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∗ i> j∗ n
∃
( aj - ai )
!
n- 1 1
!
n- 1 2
= - X[X
- Z
98 于 是 当 a i ( aj 时, 比 值 x1 + a1 x2 + ! + a ! ! !
2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 4
|AB- ACA D |. 当 A= C 时 , |AB - ACA D B
D | = |AB-
D | = | AB - CD |. 所 以 当 A = C 时, 我 们 有 = |AB- CD |, 这样例题就可以直接写出答案 1 0 0 1 , B= 5 6 7 8 , C= 1 0 0 1 ,
-1
解 : Dn 的第 i行乘以 ( - a1 ) 加到第 i+ 1 行, i= n - 1 , n- 2 , !, 1 则得 1 1 0 a 2- a 1 Dn =
0 ! 0
n- 2
1 a 3- a 1 a3 ( a3 - a 1) ! a3 ( a 3- a 1)
n- 2
! ! ! !
1 an - a1 an ( an - a1 ) ! an ( an - a1 )
2007 年 2 月
过分 块 若 能 转 化 为 对 角 矩 阵 或 下 ( 上 ) 三 角 矩 阵 A = - 2( n- 2) ! C 0 B , 那么行列式 A 0 0 B = A C 0 B = |A | & | B |,
|A | =
n- 2 3 . 递推法 通过降阶等途径 , 建立所求 n 阶行列式 |A |和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系, 并求得 A 的方法叫递推法. 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法. 例 : 计算范得蒙行列式 1 a1 Dn = a a1
以上几种方法是我们平常 计算行列式时 所常用 的 , 也是课本介绍过的常规方法 , 下面介绍几种非常规 的解法 . 1) 分块矩阵法 我们学习了矩阵的分块 , 知道一个矩阵 A 0 0 B 通 D=
若用前面的介绍的公式则可以直接得出结果. 1 0 5 6 1 0 解法 2 :令 A= , B= , C= , 0 1 7 8 0 1 1 2 3 4 1 0 0 1 , 由公式 ( 1)知 则有 A )=
解法 3 :令 A= D= 1 3 2 4 .
因为 A = C, 所以原行列式 = |AB - CD | = 1 0 0 1 = 5 6 7 8 5 6 7 8 1 0 0 1 = 0 1 2 3 4
1 2 3 4
2) 分离线性因子法 这种方法是把行列式看成含有其中的一个或一些 字母的多项式, 经过变换后 , 发现它可被一些线性因子 整除, 这意味着它也可被这些因子的积所整除 , 利用这 一特性 , 可求得行列式的值 . 0 计算行列式 D= X Y X Y 0 Z 0 Z X 0 Z Y
Y X Z + Z
2
0 Y
+ Y Z
2
Y
Z
Z Y
] - Z [X
Y X
2 2
Z X
2
Z Y
3 4
]
2 2
5 6 7 8
1 2 3 4
= - X[ - X + Z X+ Y X] + Y[ - X Y+ Z X+ Y X] - Z [ X Z + ZY - Z ] = X - Z X - Y X + Y X Y - Y Z + Z - X Z - Y Z = X + Y + Z - 2X Y - 2Y Z - 2X Z
n 2n- 3 2n- 1 n- 1
解 : 本题可 以用三角化的方法, 将 的第一行乘以 ( - 1)加到第 2 , 3 , !, n 行, 再将其第 n, n- 1 , !, 2 , 1 列通过相邻两列互换依次调为第 1 , 2 , !, n 列 , 则得 n 0 |A | = 0 ! 0 n- 1 n- 1 0 0 ! n- 2 0 ! ! ! ! ! ! 3 0 2 ! 0 0 2 1 0 ! 0 0 1 0 0 ! 0 0
1 a2 a a2
2 2
1 a3 a a3
2 3
! ! ! !
1 an a an
2 n
!
n- 1
!
n- 1
!
n- 1
!
n- 1
其中 A, B 分别是 s阶和 r阶的可逆矩阵 , C 是 r ∋ s阶矩阵 , D 是 s ∋ r 阶矩阵 , 则有下面公式成立. |G | = A D A D - 1 = |B | & |A - DB C |或 |G | = = |A | C B C B & |B- DA C | 下面推导公式, 事实上
1%
0 1 7 8 这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行 计算 1 解法 1 : 原式 = 0 1 0 0 1 1 3 0 5 1 7 2 4 6 8 = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3 4 4 2 4 4 4 = 0
1 an
= an - an- 1
则 Dn- 1 =
∃ ( a j - a i ) , 其中 ∃是连乘号. i% j % n
n- 2
当 |A | ( 0 时. 有 E - CA E 0 1 ! an ! an
n- 2 2 - 1
a 2 (a 2- a 1) ! a2 ( a 2- a 1)
0 E
- 1
A C A C
D B D B
= =
A 0
D BCA D
- 1 - 1
- DB E
A - DB C C
0 B
1 a2 = ( a2 - a1 ) ( a3 - a1 ) ! ( an - a1 ) a2 ! a2 类似地 , 则
2007年 2月第 1 期 原行列 式 = 1 0 0 1 = 1& & 5 7 6 8 A C D B 1 0
关于求解行列式的几种特殊的方法 = | A | & | B - CA 0 1 = 1 0 4 4 0 1 4 4 1 2 3 4 = 0
- 1
97 - 0 0
3
D |=
Y[X Z 0
Z X Y - 0 0 Y
其中 A, B 分别是 s, r阶可逆矩阵, C 是 r ∋ s 阶矩阵 , 0 是 s ∋ r阶矩阵 . 可以看出 , 这样可以把 s+ r阶行列式 的计算问题 , 通过矩阵分块转化为较低阶的 s 阶和 r 阶行列式计算问题, 下面先根据上面的途径给出计算 公式. a11 ! 设矩阵 G= as1 c11 ! cr1 ! ! ! ! ! ! a1s ! as s c1s ! crs d11 ! ds1 d11 ! dr1 d1r ! ! ! ! ! ! dsr d1r ! drr = A C D B
1 a2 a a
2 2
! ! ! ! !
1 an an ! an
n- 2 n 2
!
n- 2 1
!
n- 2 2
Z Y X 本题用常规方法解如下: 0 X D = X Y 0 Z X Y Z = 0 Z Y 0 X X 0 0 Y 0 Y Z X 0 X
a1
n
a2
n
an
如果使用常规的方法 , 解这道题是非常复杂的 , 而 且困难的是因为 Dn 不是范得蒙行列式 , 若我们用刚 0 Z Y 0 Z Y Z Z Y 0 Y X Z 0 X 0 X ]+ D= 0 X 刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十 分容易 了 , 因为 Dn 类似于范得蒙行列式, 我们构造一个 n 阶 的范得蒙行列式 1 a1 a a
解 : 首先我们应先考虑 |A |能不能化为上 ( 下 ) 三 角形式 , 若将第一行乘以 ( - 2) 加到第 2 , 3, !, n 行, 数字反而复杂了 , 要使行列式尽可能多的出现 ∀ 0#项, 将 |A |的 第一行乘以 ( - 1)加到第 2 , 3 , ! n 行, 得 1 |A | = 1 1 ! 1 2 0 0 ! 0 2 0 1 ! 0 ! ! ! ! ! 2 0 0 ! n- 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4
这道题还有个特点, 那就是 A = C, 如果我们把公 式变形 , 即 A C CAA A C
- 1
D B
- 1
= |A |& |B- CA D | = |A( B - CA D) | =
- 1 -1 - 1
虽然可以得出结果, 但是过程过于复杂。如果用 分离线性因子法把第 2 、 3 、 4 列都加到第 1 列上, 由多 项式整除的概念 , 有 ( X + Y + Z ) |D, 如果第 1 列加上 第 2 列再减去第 3 列和 第 4 列 ( X + Z - X ) | D, 同样 有 , 如果第 1 列加上第 3 列再减去第 2 列和第 4 列有 ( X+ Y - Z) |D, 若第 1列加上第 4列减去第 2 列和第 3 列有 ( X + Y- Z ) |D, 因为以上这些整式互素所以有 ( X+ Y + Z) ( Y + Z - X) ( X + Z - Y ) ( X + Y - Z ) |D, 因为这四个因子的乘积包括带有的系数为 - 1 , 而行列 式本身包含同一项的系数为 + 1 , 所以得出 D= - ( X + Y+ Z ) ( Y + Z - X ) ( X + Z - Y) ( X + Y - Z ) = X + Y + Z - 2X Y - 2Y Z - 2X Z . 3) 代数方程组法 当所求行列式是由几个元素组成的 , 若用曾经求 解过的行列式作系数行列式 , 构造一个 n 元线性方程 组 , 所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分 . 1 a1 例: 求 D n = a a
上式仍然不是上 ( 下 ) 三角行列式, 这时我们可以 用降阶法, 注意第二行除了第一项是 1 , 后面的项都是
* 收稿日期 :
2006- 06- 12 作者简介 : 陈黎钦 ( 1973 -
), 女 , 福建商业高等专科学校讲师
96 0 , 我们按第二行展开 , 得 2 2 1 ! ! 2
福建商业高等专科学校学报
2007年 2月第 1 期
关于求解行列式的几种特殊的方法
95
关于求解行列式的几种特殊的方法
陈黎钦
( 福建商业高等专科学校
摘 要
*
基础部, 福建 福州
350012)
行列式的求解是高等代数中的非常重要的内容 , 常规作法是用行列式的性质和相关定理来求
解 , 本人给出了几种特殊的求解方法 . 关 键 词 矩阵; 行列式 ; 函数 ; 方程 中图分类号 : O151 . 22 文献标识码 : A 文章编号 : 1008- 4940( 2007) 01- 0095- 004 行列式的计算方法有好几种, 通常都是用性质、 展 开式等方法进行计算的 , 在进行四阶以上的行列式的 计算时 , 这些方法过于繁琐 , 本文通过研究了几种特殊 的方法 , 通过对比的方式, 说明在数学学习中拓宽思路 的重要性. 一、 行列式计算的一般方法 1 . 三角化法 利用行列式的性质把原来的行列式化为 上 ( 下 ) 三角行列式 . 根本性质 . 上 ( 下 ) 三角行列式的值就是 对角线各项的积 . 例 : 计算行列式 n n |A | = n ! n- 1 n- 1 n- 1 ! ! ! ! ! ! ! 3 3 5 ! 3 3 2 3 2 ! 2 2 1 1 1 ! 1 1 |A | = = ( - 1)
n( n- 1) ) 2
1
n( n- 1) ) 2
2 1
3 ! 0 ! 2 !
n 0 0 ! n- 1
= ( - 1)
( n- 1) !
2 . 降阶法 利用按一行 ( 列 ) 展开定理或 L ap lace 展开定理将 n阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行 列式的方法称为降阶法. 例 : 计算 1 2 2 ! 2 2 2 2 ! 2 2 2 3 ! 2 ! ! ! ! ! 2 2 2 ! n
n- 2 2
1 a3 a3 ! a3
n- 2 2
! a3 ! ! !
上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式 . 1 0 1 2 例 : 计算 D= 0 1 1 0 3 4 5 6
= ( a2 - a1 ) ( a3 - a1 ) ! ( an - a1 ) D n- 1 Dn- 1 = ( a3 - a2 ) ( a4 - a2 ) ! ( an - a2 ) D n- 2 依此下去, 并注意到 Dn- 1 = 1 an - 1
2 1
Z Y X Y Z Y 0 0 0 X X +Y Y X 0
1 a2 a a
2 2
! ! ! !
1 an an ! an
n- 1 2
Z X - Z Y
Z X
Z Y
Z Y +Y
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∗ i> j∗ n
∃
( aj - ai )
!
n- 1 1
!
n- 1 2
= - X[X
- Z
98 于 是 当 a i ( aj 时, 比 值 x1 + a1 x2 + ! + a ! ! !
2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 4
|AB- ACA D |. 当 A= C 时 , |AB - ACA D B
D | = |AB-
D | = | AB - CD |. 所 以 当 A = C 时, 我 们 有 = |AB- CD |, 这样例题就可以直接写出答案 1 0 0 1 , B= 5 6 7 8 , C= 1 0 0 1 ,
-1
解 : Dn 的第 i行乘以 ( - a1 ) 加到第 i+ 1 行, i= n - 1 , n- 2 , !, 1 则得 1 1 0 a 2- a 1 Dn =
0 ! 0
n- 2
1 a 3- a 1 a3 ( a3 - a 1) ! a3 ( a 3- a 1)
n- 2
! ! ! !
1 an - a1 an ( an - a1 ) ! an ( an - a1 )
2007 年 2 月
过分 块 若 能 转 化 为 对 角 矩 阵 或 下 ( 上 ) 三 角 矩 阵 A = - 2( n- 2) ! C 0 B , 那么行列式 A 0 0 B = A C 0 B = |A | & | B |,
|A | =
n- 2 3 . 递推法 通过降阶等途径 , 建立所求 n 阶行列式 |A |和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系, 并求得 A 的方法叫递推法. 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法. 例 : 计算范得蒙行列式 1 a1 Dn = a a1
以上几种方法是我们平常 计算行列式时 所常用 的 , 也是课本介绍过的常规方法 , 下面介绍几种非常规 的解法 . 1) 分块矩阵法 我们学习了矩阵的分块 , 知道一个矩阵 A 0 0 B 通 D=
若用前面的介绍的公式则可以直接得出结果. 1 0 5 6 1 0 解法 2 :令 A= , B= , C= , 0 1 7 8 0 1 1 2 3 4 1 0 0 1 , 由公式 ( 1)知 则有 A )=
解法 3 :令 A= D= 1 3 2 4 .
因为 A = C, 所以原行列式 = |AB - CD | = 1 0 0 1 = 5 6 7 8 5 6 7 8 1 0 0 1 = 0 1 2 3 4
1 2 3 4
2) 分离线性因子法 这种方法是把行列式看成含有其中的一个或一些 字母的多项式, 经过变换后 , 发现它可被一些线性因子 整除, 这意味着它也可被这些因子的积所整除 , 利用这 一特性 , 可求得行列式的值 . 0 计算行列式 D= X Y X Y 0 Z 0 Z X 0 Z Y
Y X Z + Z
2
0 Y
+ Y Z
2
Y
Z
Z Y
] - Z [X
Y X
2 2
Z X
2
Z Y
3 4
]
2 2
5 6 7 8
1 2 3 4
= - X[ - X + Z X+ Y X] + Y[ - X Y+ Z X+ Y X] - Z [ X Z + ZY - Z ] = X - Z X - Y X + Y X Y - Y Z + Z - X Z - Y Z = X + Y + Z - 2X Y - 2Y Z - 2X Z
n 2n- 3 2n- 1 n- 1
解 : 本题可 以用三角化的方法, 将 的第一行乘以 ( - 1)加到第 2 , 3 , !, n 行, 再将其第 n, n- 1 , !, 2 , 1 列通过相邻两列互换依次调为第 1 , 2 , !, n 列 , 则得 n 0 |A | = 0 ! 0 n- 1 n- 1 0 0 ! n- 2 0 ! ! ! ! ! ! 3 0 2 ! 0 0 2 1 0 ! 0 0 1 0 0 ! 0 0
1 a2 a a2
2 2
1 a3 a a3
2 3
! ! ! !
1 an a an
2 n
!
n- 1
!
n- 1
!
n- 1
!
n- 1
其中 A, B 分别是 s阶和 r阶的可逆矩阵 , C 是 r ∋ s阶矩阵 , D 是 s ∋ r 阶矩阵 , 则有下面公式成立. |G | = A D A D - 1 = |B | & |A - DB C |或 |G | = = |A | C B C B & |B- DA C | 下面推导公式, 事实上
1%
0 1 7 8 这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行 计算 1 解法 1 : 原式 = 0 1 0 0 1 1 3 0 5 1 7 2 4 6 8 = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3 4 4 2 4 4 4 = 0
1 an
= an - an- 1
则 Dn- 1 =
∃ ( a j - a i ) , 其中 ∃是连乘号. i% j % n
n- 2
当 |A | ( 0 时. 有 E - CA E 0 1 ! an ! an
n- 2 2 - 1
a 2 (a 2- a 1) ! a2 ( a 2- a 1)
0 E
- 1
A C A C
D B D B
= =
A 0
D BCA D
- 1 - 1
- DB E
A - DB C C
0 B
1 a2 = ( a2 - a1 ) ( a3 - a1 ) ! ( an - a1 ) a2 ! a2 类似地 , 则
2007年 2月第 1 期 原行列 式 = 1 0 0 1 = 1& & 5 7 6 8 A C D B 1 0
关于求解行列式的几种特殊的方法 = | A | & | B - CA 0 1 = 1 0 4 4 0 1 4 4 1 2 3 4 = 0
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97 - 0 0
3
D |=
Y[X Z 0
Z X Y - 0 0 Y