高中数学二项式定理2ppt课件
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
二项式定理(第2课时) 优质课课件
-256
解：令x 1.得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0
变式练习2：
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.求
(4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，
a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴(3)－(2)即可，其值为2 187.
(2).(2014.广州二模） 1 n 3 已知（2x ) 的展开式的常数项是第7项， x 8 则正整数n的值为_________
题型2：二项式定理的应用
2、例题讲解：例1
1 n
计算并求值或化简
(1) 1 2C 4C
2 n 1 5 2 5 3 5
2 C 3
n n n 4 5
n
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
例题点评
例2． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求： (1) a0 ＋ a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a2＋…＋a7 ； (3)a1＋a3＋a5＋a7 (4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的 字母为0或1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值。
r n r r 通项公式（第r+1项）Tr 1 Cn a b
(r 0,1, 2,
n)
注意：区分二项式系数与项的系数
解：令x 1.得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0
变式练习2：
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.求
(4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，
a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴(3)－(2)即可，其值为2 187.
(2).(2014.广州二模） 1 n 3 已知（2x ) 的展开式的常数项是第7项， x 8 则正整数n的值为_________
题型2：二项式定理的应用
2、例题讲解：例1
1 n
计算并求值或化简
(1) 1 2C 4C
2 n 1 5 2 5 3 5
2 C 3
n n n 4 5
n
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
例题点评
例2． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求： (1) a0 ＋ a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a2＋…＋a7 ； (3)a1＋a3＋a5＋a7 (4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的 字母为0或1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值。
r n r r 通项公式（第r+1项）Tr 1 Cn a b
(r 0,1, 2,
n)
注意：区分二项式系数与项的系数
高中数学课件6.3.1 二项式定理
例2.(1)( 2
5
A.−
4
1 6
− ) 的展开式中，常数项是(
2
5
B.
4
15
C.−
16
).
15
D.
16
答案：D.
解：(1)(
2
1 4
− ) 展开式的通项+1
2
令12 − 3 = 0，解得 = 4.
1 4 4
所以常数项为(− ) 6
2
=
15
.
16
=
1
2 6−
6 ( ) (− )
= 60 6 + 61 5 −1 + 62 4 −2 + 63 3 −3 + 64 2 −4 + 65 1 −5 + 66 −6
= 6 + 6 4 + 15 2 + 20 + 15 −2 + 6 −4 + −6 .
例析
l 7
令9 − 2 = 3，得 = 3，即展开式中第四项含 3 ，其系数为(−1)3 ∙ 93 = −84.
，
练习
方法技巧：
要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及
项数有关，与二项式无关，它是一个组合数 ，后者与二项式、二项式的指数及项
的字母和系数均有关.
练习
1
2
所以 = 0，4，8，故共有3个有理项，分别是1 = (− )0 80 4 = 4 ，
5 =
Байду номын сангаас
1 4 4
(− ) 8
2
1
2
=
35
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高二数学二项式定理2
二 项 式 定 理(2)
（ a b ) ?
n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
Cna
0 n
r n-r r n n 1 n-1 +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 二项展开式结构特征；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
100
C 9
0 100 100
C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 1 0 0 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
所以余数是1，
思 考 ： 若将 8 除以9，则得
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
101
练习1：证明： 99 1能被100整除
10
练习2：(2a-2b)的展开式的第4项 是多少?? 变式1：(2a-2b)的展开式的第4项 的二项式系数是多少? 变式2：(2a-2b)的展开式的第4项 的系数是多少?
8 8
8
练习3：求(3 x 的常数项? 变式：求(3 x 中的x 的系数?
3
1 3 x 1
) 的展开式
10
3 x
) 的展开式
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 1 0 0 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
（ a b ) ?
n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
Cna
0 n
r n-r r n n 1 n-1 +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 二项展开式结构特征；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
100
C 9
0 100 100
C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 1 0 0 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
所以余数是1，
思 考 ： 若将 8 除以9，则得
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
101
练习1：证明： 99 1能被100整除
10
练习2：(2a-2b)的展开式的第4项 是多少?? 变式1：(2a-2b)的展开式的第4项 的二项式系数是多少? 变式2：(2a-2b)的展开式的第4项 的系数是多少?
8 8
8
练习3：求(3 x 的常数项? 变式：求(3 x 中的x 的系数?
3
1 3 x 1
) 的展开式
10
3 x
) 的展开式
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 1 0 0 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
高中数学选修二项式定理人教版ppt课件可修改文字
项，展r+开1 式共有_____个项.
n+1
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1, 2,
n)
二项展开式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1个项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律：
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
C61 (2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2 x)2 C65 (2 x) C66 ]
=64 x3
192 x 2
240x 160
60 x
12 x2
1 x3
第三项的二项式系数为
C62 15
第六项的系数为
C65 • 2(1)5 12
例3:(1)求（1+2x )7的展开式的第4项的系数
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
；C
r n
高中数学《二项式定理》ppt课件
0
1
2
n
2、指数规律 各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降 到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律 二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１ 展开 例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方 法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（ 用二项式定理解答）： 如果今天是星期六，那么再过890天是 星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类： 不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明 ：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能 有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³
1
2
n
2、指数规律 各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降 到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律 二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１ 展开 例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方 法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（ 用二项式定理解答）： 如果今天是星期六，那么再过890天是 星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类： 不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明 ：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能 有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
的展开式的第 4 项的系数；
1
（2）求 2 x x
1
（2） 2 x x
6
2
的展开式中 x 的系数.
6
的展开式的通项是
k
k
6
C (2 x )
6 k
1
k 6 k
k 3 k
(
1)
2
C
6x
.
x
Hale Waihona Puke 根据题意，得 3 k 2 ， k 1 .
n
n
n
课堂探究
( + ) 展开式的推导
①项：
②系数：
L
L
课堂探究
③展开式：
课堂探究
在草稿纸上试着写一写
课堂探究
二项式定理
0
1
k
n
n
n－1
n－ k k
(a ＋ b) ＝ C n a ＋ C n a
b＋…＋Cn a
b ＋…＋
Cnn bn(n∈N*)，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a
aab abb
=30 3 + 31 2 + 32 2 + 33 3
课堂探究
4
(
a
b
)
的展开式吗？
你能类比 ( a b) 的展开式的推导得到
3
(a b) c a c ab c b
2
0
2
2
1
2
2 2
2
(a b) c a c a b c ab c b
你收获了什么？
作业布置
1
（2）求 2 x x
1
（2） 2 x x
6
2
的展开式中 x 的系数.
6
的展开式的通项是
k
k
6
C (2 x )
6 k
1
k 6 k
k 3 k
(
1)
2
C
6x
.
x
Hale Waihona Puke 根据题意，得 3 k 2 ， k 1 .
n
n
n
课堂探究
( + ) 展开式的推导
①项：
②系数：
L
L
课堂探究
③展开式：
课堂探究
在草稿纸上试着写一写
课堂探究
二项式定理
0
1
k
n
n
n－1
n－ k k
(a ＋ b) ＝ C n a ＋ C n a
b＋…＋Cn a
b ＋…＋
Cnn bn(n∈N*)，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a
aab abb
=30 3 + 31 2 + 32 2 + 33 3
课堂探究
4
(
a
b
)
的展开式吗？
你能类比 ( a b) 的展开式的推导得到
3
(a b) c a c ab c b
2
0
2
2
1
2
2 2
2
(a b) c a c a b c ab c b
你收获了什么？
作业布置
人教版高中数学《二项式定理》教学(全国一等奖)精品PPT课件
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
aa3b4 4个1个a3ab4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9 ห้องสมุดไป่ตู้
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
aa3b4 4个1个a3ab4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9 ห้องสมุดไป่ตู้
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
1.3.1二项式定理(2)
(n ∈ N )
(2)二项展开式的通项 二项展开式的通项: 二项展开式的通项
∗
Tk +1 = C a
k n
n− k
b
k
(注意，它是第k+1项) 注意，它是第 注意 项 (3)区别二项式系数， (3)区别二项式系数，项的系数 区别二项式系数 (4)掌握用通项公式求二项式系数， (4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 掌握用通项公式求二项式系数 (5)二项式定理简单应用 二项式定理简单应用. 二项式定理简单应用
0 n
r
+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n
1 n 2 n n n n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 3 [普通高中课程数学选修
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
6 6 8
1 常数项T7 = ( −1) ⋅ C ⋅ 2
8− 6
⋅x =7
0
4. 9192除以 除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是
0 1 91 92 91 分 析 ： 92 = (90 + 1)92 = C 92 90 92 + C 92 90 91 + L + C 92 90 + C 92
由此可见，除后两项外均能被 由此可见，除后两项外均能被100整除 整除 91 92 C 92 90 + C 92 = 8281 = 82 × 100 + 81
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答案：
z 2i
3
1 7 4.求二项式 ( 3 ) 的展开式中的有理项. 2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 105 答案： 4
练 习 与 小 结
Tr 1 C a
r nr n
b
r
练习：见学习卷
小结：
二项式定理（二）
复 习
N
0 n 1 n 1 r nr r n n (a+b) n= Cn a Cna b Cna b Cnb （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r n r r Cna b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项.
பைடு நூலகம்n n
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
a 6 ( 2 ) 1. a x 的展开式中，第五项是……（B ） 20 15 6x 2 15 A. B. C. x D. 3 x a x 1 15 3 2. ( a ) 的展开式中，不含a的项是第（A ） a
x
A.7 项
B.8 项
定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
特 征
1.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
C.9 项
D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z. 分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.
z 2i
3
1 7 4.求二项式 ( 3 ) 的展开式中的有理项. 2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 105 答案： 4
练 习 与 小 结
Tr 1 C a
r nr n
b
r
练习：见学习卷
小结：
二项式定理（二）
复 习
N
0 n 1 n 1 r nr r n n (a+b) n= Cn a Cna b Cna b Cnb （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r n r r Cna b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项.
பைடு நூலகம்n n
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
a 6 ( 2 ) 1. a x 的展开式中，第五项是……（B ） 20 15 6x 2 15 A. B. C. x D. 3 x a x 1 15 3 2. ( a ) 的展开式中，不含a的项是第（A ） a
x
A.7 项
B.8 项
定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
特 征
1.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
C.9 项
D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z. 分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.