实数指数与指数函数(教案)

教学过程一、知识讲解考点1 根式的概念（1）定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称为a 的n 次方根．即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根（*∈>N n n 且1）．①当n 为奇数时，n a 的次方根记作na ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .（2）性质：①a a n n =)(； ②当n 为奇数时，a a nn =；③当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n ．考点2幂的有关概念（1）规定：①)(*∈⋅⋅⋅=N n a a a a n；②)0(10≠=a a ， ③∈=-p aa p p (1Q ） ④m a a an m n m ,0(>=、*∈N n ，且)1>n（2）性质：①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ），②r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ），③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用． 考点3 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数． 图象与性质：二、例题精析【例题1】【题干】求下列各式的值：（1）21100； （2）328； （3）239－； （4）4381－．【答案】（1）2110010=)10(=212.（2）3284=2=)2(=2323.（3）239－271=3=)3(=3232－－. （4）4381－271=3=)3(=3434－－. 【解析】同答案 【例题2】【题干】用分数指数幂的形式表示下列各式（a ＞0）（1）a a3； （2）322a a ·； （3）3a a ·【答案】（1）117333222a a a aa +=⋅==.（2）322a a ·3832+2322===a aa a .（3）3a a ·323431===a a aa .【解析】同答案【例题3】【题干】计算： 25.02121325.0320625.0÷])32.0(×)02.0(÷)008.0(+)945()833[(－－－－． 【答案】92【解析】 原式＝41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=． 【例题４】【题干】化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--【答案】a ²【解析】原式＝51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.提示：这是一组很基本的指数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【例题5】【题干】比较下列各组数的大小（1）2277.0与 （2）32与3)21( （3）5.02与25.0 （4）3121⎪⎭⎫ ⎝⎛，3221⎪⎭⎫⎝⎛，3251⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【答案】323231)51(>)21(>)21(．【解析】（1）由2x 在)+∞,0[上是增函数，∵7<7.0，∴227<7.0．（2）由x2在R 上是增函数，∵3<3－，∴332<2－，即3321<2）（．（3）由x2在R 上是增函数，∵2>5.0－，∴25.02<2－，即225.05.0=21<2）（．（4）由x )21(在R 上是减函数，∵32<31，∴3231)21(>)21(，又32x 在)+∞,0[上是增函数，∵51>21，∴3232)51(>)21(；故323231)51(>)21(>)21(．【例题6】【题干】已知函数11)(+-=x x a a x f ，)0(>a(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数．【答案】（1）奇函数 （2）)1,1(- （3）见解析【解析】（1）∵定义域为x R ∈,且11)(+-=---x x a a x f ＝xx a a --+-11＝)(x f -∴ )(x f 是奇函数；（2）121)(+-+=x x a a x f ＝121+-x a ∵ 1+xa ＞1， ∴ 0＜12+xa ＜2 即函数11)(+-=x x a a x f 的值域为)1,1(-；（3）设1x ，2x R ∈,且1x ＜2x ，则21x x a a<)(1x f －)(2x f ＝1111+-x x a a －1122+-x x a a ＝)1)(1(222121+--x x x x a a a a ＜0， ∴()f x 是R 上的增函数．提示：函数的性质综合问题，需要准确把握定义域、值域、奇偶性、单调性等基本概念，充分运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，灵活运用通性通法．三、课堂运用【基础】1. 求值下列各式的值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81- 【答案】①4 ②51 ③32 ④827 【解析】① 2223323338(2)224⨯====．② 1112()21222125(5)555--⨯--====． ③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===．④334()344162227()()()81338-⨯--===．2．化简46394369)()(a a ⋅的结果为（ ）A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2【答案】C ．【解析】原式＝461319431619)))((()))(((a a ⋅＝22a a ⋅＝4a ，故选C ．lg10==；【巩固】 1．若122-=xa，则xx xx a a a a --++33等于（ ）A ．22－1B ．2－22C ．22＋1D ． 2＋1【答案】A ． 【解析】注意到122+=-xa．∴ x x x x a a a a --++33＝x x x x aa a a --++33)()(＝xx x x x x a a a a a a ---++-+)1)((22 ＝x x a a 221-+-＝122-． 选A ．2．在下列图象中，二次函数c bx ax y ++=2与函数x aby )(=的图象可能是（ ）【答案】A ．【解析】由函数x aby )(=知ab ＞0，于是抛物线c bx ax y ++=2的对称轴应在y 轴左边，B 、D 两个答案被排除．对于答案C ， 显然12-=-a b ，a b ＝2，函数x aby )(=为增函数，图象与之不符，被淘汰．故选A ．提示： 从图象看，c ＝0，关键由a 与b 大小决定．重要的条件是指数函数x ab y )(=的底a b ＞0，使得对称轴与x 轴的交点横坐标a b 2-＜0．再由0＜a b ＜1，便定出ab 2-的位置． 【拔高】1．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．3y ＞1y ＞2yB ．2y ＞1y ＞3yC ．1y ＞2y ＞3yD ．1y ＞3y ＞2y【答案】D ．【解析】 化为同底，再利用单调性即可．∵ 8.112=y ，32.122=y ，5.132=y ，又 ∵ 函数xy 2=是单调增函数，∴ 1y ＞3y ＞2y ，故选D ． 2．求函数y ＝3322++-x x 的定义域、值域和单调区间．【答案】定义域(－∞，＋∞) 值域 ]81,0( 单调减区间［1，＋∞) 【解析】 (1)定义域显然为(－∞，＋∞)．(2) ∵ 4)1(423)(22≤--=-+==x x x x f u ， ∴ uy 3=是u 的增函数，∴4330≤<u ， 即函数的值域为 ]81,0(．(3) 当x ≤1 时， u ＝)(x f 为增函数， uy 3=是u 的增函数，y 由x ↑→u ↑→y ↑∴ 原函数单调增区间为(－∞，1］；当x ＞1时，u ＝)(x f 为减函数，uy 3=是u 的增函数，由x ↑→u ↓→y ↓∴ 原函数单调减区间为［1，＋∞)．提示：这是复合函数的典型例子．是指数函数与二次函数的复合，由于外层指数函数u y 3=是u 的增函数，所以该函数的单调性由内层函数也就是二次函数223)(x x x f u -+==决定．另一类由基本初等函数经过四则运算而形成的函数，其单调性和奇偶性的判定需采用前面所学办法．课程小结（1）指数运算常规方法将小数化为分数，带分数化为假分数，负指数化为正指数，根指数化为分数指数． （2）1,0≠>a a 时，xa y -=与xa y =的图象关于y 轴对称，即x ay )1(=与xa y =的图象关于y 轴对称．（3）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）． （4）比较大小问题的处理方法①看类型 ②化为同底用单调性 ③其它类型找中间量． （5）复合函数的单调性对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别．课后作业【基础】1. 求值（1）2325 （2）21)425(－ （3）41)0081.0(-【答案】（1）125=5=)5(=25323223；(2) 52=)25(=])25[(=)425(121221－－－；(3) 310=)103(=)1000081(=)0081.0(14141－－－； 【解析】同答案2. 指数函数xa x f )1()(2-=是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】)2,1()1,2( --． 【解析】同答案3. 已知指数函数xa x f =)(（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f-的值.【答案】1==)0(0πf 331==)1(ππf ππ1==)3(1－－f 【解析】由π=)3(f ，得π=3a ，即31=πa ，3=)(x x f π，∴1==)0(0πf ；331==)1(ππf ；ππ1==)3(1－－f ．4. 求函数151-=xy 的定义域．【答案】)+∞,0( 【巩固】1. 计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）31884()m n -． 【答案】（1）原式＝211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-＝04ab ＝4a ；（2）原式＝318884()()m n -＝23m n -． 【解析】同答案 2.计算下列各式（1） （22(a ＞0）． 【答案】（1）原式＝ 111324(25125)25-÷＝ 231322(55)5-÷＝ 2131322255---＝ 1655-＝5；（2）原式＝125222362132a aa a a--===⋅．【解析】同答案3.已知44221)31)(21(,31aa aa aa a a aa +++++=+求的值.【答案】5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式【解析】719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ，])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ，而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ，5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式.4．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ．【答案】=a 2； 5．函数y ＝121+x的值域是_ ____． 【答案】(0，1)【拔高】1．若∈n N *，则=+-+++----12412411n n nn （ ）A ．2B ．n-2C ．n-12D ．n22-【答案】A2．下列各式中正确的是（ ）A B C D ．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜()()()()()()()()()()()()121512121215151212151212232313132323231323232313【答案】D ．【解析】由x y )21(=是减函数，得32)21(＜31)21(，答案B 、C 被淘汰．又 32)51(＜32)21(，故选D ．3．函数()xa y 1-=与x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1具有不同的单调性，则()311-=a m 与31⎪⎭⎫⎝⎛=a n 的大小关系是（ ）A ． m ＜nB ． m ＝nC ． m ＞nD ．不能确定 【答案】 D ．【解析】 ⇒<<⇒⎩⎨⎧<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-101021111a a a a a m ＜n ；或⇒>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<>-21211011a a a a a m ＞n ．故选D ． 4．已知函数2)(x x e e x f --=，2)(x x e e x g -+=(1)判断函数)(x f 、)(x g 的奇偶性； (2) 证明()f x 是R 上的增函数；(3) 证明：①)2(x f ＝2)(x f )(x g ； ②1)]([)]([22=-x f x g ． 【答案】（1）（略）)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数；(2) xe 是R 上的增函数，xe-是R 上的减函数，∴()f x 是R 上的增函数；(3) 证明：①)2(x f ＝222xx e e --，2)(x f )(x g ＝222x x x x e e e e --+⋅-＝222xx e e --， ∴ )2(x f ＝2)(x f )(x g ；②22)]([)]([x f x g -＝22]2[]2[x x x x e e e e ----+ ＝42422222-+-++--x x x x e e e e ＝1．【解析】同答案。