实数指数与指数函数(教案)

教学过程

一、知识讲解

考点1 根式的概念

（1）定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称为a 的n 次方根．即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根（*∈>N n n 且1）．

①当n 为奇数时，n a 的次方根记作

n

a ；

②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作

)0(>±a a n .

（2）性质：①a a n n =)(； ②当n 为奇数时，a a n

n =；

③当n 为偶数时，⎩⎨

⎧<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n n ．

考点2

幂的有关概念

（1）规定：①)(*

∈

⋅⋅⋅=N n a a a a n

；

②)0(10≠=a a ， ③∈=

-p a

a p p (1

Q ） ④m a a a

n m n m ,0(>=、*∈N n ，且)1>n

（2）性质：①r a a a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ），

②r a a

a s

r s

r ,0()(>=⋅、∈s Q ），

③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r

r

r ,0,0()( Q ）

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用． 考点3 指数函数

定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数． 图象与性质：

二、例题精析

【例题1】

【题干】求下列各式的值：

（1）2

1100； （2）3

28； （3）2

39－； （4）4

381

－．

【答案】（1）2

1100

10=)10(=2

12

.

（2）3

2

84=2=)2(=2

3

23

.

（3）2

39

－27

1=

3=)

3(=32

32－－. （4）4

381

－27

1

=3

=)

3(=3

4

34－－. 【解析】同答案 【例题2】

【题干】用分数指数幂的形式表示下列各式（a ＞0）

（1）a a

3

； （2）322a a ·； （3）3

a a ·

【答案】（1）117333

2

2

2

a a a a

a +

=⋅==.

（2）3

2

2a a ·3

83

2+

23

2

2

===a a

a a .

（3）3

a a ·3

23

43

1

===a a aa .

【解析】同答案

【例题3】

【题干】计算： 25.02121325

.0320625.0÷])32.0(×)02.0(÷)008.0(+)9

45()833[(－－－－． 【答案】

9

2

【解析】 原式＝4

1

32

21

32

)10000

625(]102450)81000(

)949()278[(÷⨯÷+- 92

2)2917(21]10

24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=． 【例题４】

【题干】化简：

.)2(248533233

23

233

2

3

134a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--

【答案】a ²

【解析】原式＝

5

131212

13231312

313

13

12

31

3

3133131)()

(2)

2()2()(])2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷

+⋅+- 23

23

16

1653

13

13

131312)2(a a a a a

a b

a a

b a a =⨯⨯=⨯

-⨯

-=.

提示：这是一组很基本的指数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.

根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【例题5】

【题干】比较下列各组数的大小

（1）2

277.0与 （2）32与3)2

1( （3）5.02与2

5.0 （4）3

121⎪⎭

⎫ ⎝⎛，32

21⎪⎭⎫

⎝⎛，3

251⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 【答案】32

3

231)5

1(>)21(>)21(．