微专题16 立体几何中的探究、折叠问题

微专题16立体几何中的探究、折叠问题高考定位立体几何中的探究、折叠问题是高考的热点，常与线、面位置关系的证明，空间角的求解交汇考查，通常以解答题的形式出现，难度中等.

1.(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.

(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图②中的平面BCG与平面CGA夹角的大小.

(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，

所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，

所以AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解作EH⊥BC，垂足为H.

因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝ 3.

以H为坐标原点，HC→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

H －xyz ，则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →

＝(2，－1，0).

设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CG →·

n ＝0，AC

→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，

2x －y ＝0.

所以可取n ＝(3，6，－3).

又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0，1，0)， 设平面BCG 与平面CGA 夹角的大小为θ， 所以cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝32. 因此平面BCG 与平面CGA 夹角的大小为30°.

2.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1.

(1)证明：BF ⊥DE ；

(2)当B 1D 为何值时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小？ (1)证明 因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，侧面AA 1B 1B 为正方形，

所以CF＝1，BF＝ 5.

如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，

得BF⊥AB，

于是AF＝BF2＋AB2＝3，

所以AC＝AF2－CF2＝2 2.

由AB2＋BC2＝AC2，

得BA⊥BC.

∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，

∴BB1⊥AB且BB1⊥BC，

则BA，BC，BB1两两互相垂直，

故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，

则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，BF→＝(0，2，1).

设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)，

于是DE→＝(1－m，1，－2).

所以BF→·DE→＝0，

所以BF⊥DE.

(2)解易知平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0).

设平面DFE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧DE

→·

n 2＝0，EF →

·

n 2＝0，

又由(1)得DE

→＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1，1，1)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－m ）x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，

令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，

于是，平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝

32⎝ ⎛

⎭

⎪⎫m －122＋272.

设平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角为θ， 则sin θ＝

1－cos 2〈n 1，n 2〉＝

1－

9

2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

m －122＋

272， 故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小为3

3， 即当B 1D ＝1

2时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小.

热点一 立体几何中的探究问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.解题思路：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断. 考向1 探究线面位置关系

例1 (2022·济南学情检测)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点.

(1)求证：B，E，D1，F四点共面；

(2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长；若不存在，说明理由.

(1)证明如图，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME.

因为E为AA1的中点，

所以EM∥A1B1∥C1D1，

且EM＝A1B1＝C1D1，

所以四边形EMC1D1为平行四边形，

所以D1E∥MC1，

又F为CC1的中点，

所以BM∥C1F，且BM＝C1F，