指数及指数幂的运算

指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值围推广到实数集；3.通过指数围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ=(3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】-33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩　（a>b ） （a=b ）　（a<b ）【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （13=-； （2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩　（a>b ） （a=b ）　（a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（12；（3；（4. 【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1； （2.【答案】【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==22=+2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a（2）3a（3（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+=⋅==；（31131322224 ()()a a a a=⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂==11222yxyx⎛⎫⋅⎪⎝⎭=5 4 y解法二：从外向里化为分数指数幂．12)=11222[)]yx=1112363223{[()]}y x yx y x=111 23624123y x yx y x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=5 4 y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)mna a m n N=>∈>且n．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）52aa⋅【答案】（1）1310102a；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a>；（3）3b；（4．【答案】7122；34a；113b；35x-【解析】（1177621222⎛⎫==⎪⎝⎭；（2313224()a a====；（3）211 3333b b b b=⋅=；（4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--+【答案】3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-. 【答案】112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例33312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--【答案】【解析】原式+34．例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111222m mm m--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】1624y；1122m m-+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯-⎪⎝⎭11066 2424x y y ==(2)2112211 122 111122222m mm mm m m m m m-----⎛⎫+⎪++⎝⎭==+ ++(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：.【答案】57 66 x y【解析】原式=1157 11332323366 2222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=.注意：当n(0) ||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333 x y x y x y x y --------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x--与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x y xyxy--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x xyy x x yy --------=-⋅+-++232()xy -=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：【答案】2x(x 1)2(x 1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】(1)原式===26+===(2)22244(18+=+0===>=(3)33x 3x x 1-==-x 1(x 1)|x 1|x 1(x 1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩ 2x(x 1)2(x 1)≥-⎧=⎨-<-⎩. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值．【答案】13【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx 的联系，进而整体代入求值．32121=+-x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=∴23222323-+-+--x x x x =11122()(1)3472x x x x --+-+-- =3(71)315145453⨯--==【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x -+及22x x -+的值，然后整体代入．举一反三： 【变式1】求值： (1)已知11225x x-+=，求21x x+的值；(2)已知a>0， b>0， 且a b=b a， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由11225x x-+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x+=；(2)a>0， b>0， 又∵ a b=b a， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒=∴81829993a a a =⇒=⇒=巩固练习 一、选择题 1.若13x <） A.31x - B.13x - C. 2(13)x - D. 非以上答案2.若a =b =a b +=（ ） A.1B.5 C. -1D. 25π- 3.计算132-⋅ ）A.32B.16C. 64D.1284.化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A.11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.13212-- D.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭5.44等于（ ） A.16a B.8a C.4a D.2a6.若1,0a b ><，且bba a-+=b b a a --的值等于（ ）A.6B.2±C.2-D.2二、填空题 7.计算(33=.8.2)b <<=.9.22133(2)(2)---⎛-+- ⎝=.10.若3,2a b <= . 三、解答题 11.计算：（1）11221233112534316-⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）12323410.027500.00164-⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.12.计算下列各式：（1）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦⎝⎭；（2）1122111122222a b a b a b a ba b-+-⋅-+-。