磁力计算

1. 虚位移虚功法

（1）点磁荷磁场强度的计算

面积为2a × 2b 条形磁铁磁面，假设磁荷面密度为σ ，则由等效磁荷原理，空间任意一点P 的标量磁位的二维泊松方程如下：

（1） 其中而是真空磁导率。通过二重积分可得

（2）

其中

对于体积为 2a × 2b × 2c ，面积为2a × 2b 条形磁铁磁面矩形磁铁，被磁化后各磁偶极子在磁铁内部均匀排列，N ，S 极首尾相连，只 在两个端面出现单一的正或负磁荷，见图4。根据静磁学理论 当充磁方向与磁铁表面法线重合时，钕铁硼永磁材料的介质极化强度J .面

磁荷密度σ 和剩余磁感应强度Br 三者相等则可假设，

根据在P 点求梯度，可得P 点的磁场强度的计算公式：

（3） x dy z y x b

b a

a

d ||14),,0

⎰⎰+-+-=

PQ πμσ

ϕ（22221221)()(||z y y x x +-+-=PQ 0μ∑∑===1

1

0p ),,(4j j

i

i z V U πμσϕz W b,1-,1-i i =-=-

=j

j y V a x U ）（）（2

2

2

i r W V U j ++=)r tan(

)()(-W UV

Ware U r VIn V r UIn ----=φc W k

)1(k --=2

22i r k

j W V U ++=P H ϕ-=),,()1(4i 1

j

1

j 1

i 0k j k k i W V U H επμσ∑∑

∑=++==-=

其中 2,磁铁的磁力

设磁铁均匀充磁，尺寸为c b 22a 2⨯⨯，介质极化强度为 J ，所在坐

a a x U j ij i

1()1(）---+=标系为 O-XYZ,根据等效磁荷理论，

磁铁的磁力由磁铁的上端面相互作用产生，充磁方向平行的静磁能

dx r

dy dx dy JJ E b

b

a

a a a

b

b

q

p q p ⎰⎰

⎰⎰

∑

∑+-+-+-+-+==-=1

)

1(41

1

0*πμ 其中a a x U j

j ij

)1()1(---+= b b y U k l ik

1()1(）---+= c c z W p q )1()1(pq

---+= 2

22ij r pq

lk W V U ++=

经过四重积分的

)r ,,,()1(4101010101010

0*pq kl ij i j k l p q W V U JJ E ψπμη∑∑∑∑∑∑======-= 其中q p l k j i +++++=η

）

）V r In W U V U r In W V U W V U r

W UV rc UVW r W V U --+--+-++=(2

)

()(2)(2(6

)r tan(

a ),,,(2222222ψ 根据虚功原理可得磁铁的磁力

r

tan ),(),(z x W UV

are U r In V r In y =-=-=εεε

),,,()1(4*ij

10101010101

r W V U

JJ F pq kl i j k l p q θπμη

∑∑∑∑∑∑======-=

2磁场力的公式算法

我们知道，载流导体和导磁材料在磁场中会受到力的作用，我们把这种力的作用称为磁场力。经典电磁理论认为，导磁材料在磁场中所受的力可归结为分子电流所受的力。导磁材料在磁场中被磁化后，内部存在磁化电流，材料表面存在表面磁化电流，其磁化电流体密 度和表面磁化电流面密度分别为s δδ，v ：

M m M S V ⨯-=⨯∇=δδ

式中M 为介质磁化强度，H 为表面法向矢量。则磁场对导磁材料的作用力为：

Bds BdV F s

s v ⨯+⨯=⎰⎰∑∑∑δδv

B 为磁感应强度。对于各项同性介质

Bdv M F v

⎰⎰⎰⨯⨯∇=）（

又因为B

M 0r 1

μμμ-=分别为真空磁导率和磁介质相对磁导率。

且

⎰⎰⎰⎰⎰=∇v

ds dv ϕϕ

则得ds B F s

v r r ⎰⎰-=2

21μμμ

该式即为磁场力计算公式。由于磁场在导磁材料所在区域分布的复杂性，故直接使用该式积分来求磁场力往往比较困难，实际使用中，我们一般假设磁场在导磁材料所在区域分布均匀一致，又由于导磁材料磁导率较大(即雎>>1)，这样根据磁路设计和计算实际我们把求解磁场力大小的公式简化表示为

BHS S B ds B F s v r r 2

12121202==-=⎰⎰μμμμ ′

式中B 为磁场与导磁材料作用面处的磁感应强度，H 为磁场与导磁材料作用面处的磁场强度．s 为磁场与导磁材料作用面的面积。公式采用SI 单位制，即式中，F 、B 、H 、S 单位分别为N 、T 、A ／m 、m2。 计算实例（1）

假设规格为50x50x25mm ，牌号为 N35的NdFeB 磁体

2

2

2

1

x

4x 2tan ++=-W L LW B B r （π

2

221

H)(X 4W L x (2tan ++++--）H LW

Sdx

B S B F H

x 2

x

2

2121⎰

+=

==

μμ

式中 L 、W 、H 分别为磁体长、宽和厚度。据公式可得离磁体 6mm 处磁感应强度 B 的值约为 0.42T, 则 F=176N