磁力计算

1. 虚位移虚功法（1）点磁荷磁场强度的计算面积为2a × 2b 条形磁铁磁面，假设磁荷面密度为σ ，则由等效磁荷原理，空间任意一点P 的标量磁位的二维泊松方程如下：（1） 其中而是真空磁导率。

通过二重积分可得（2）其中对于体积为 2a × 2b × 2c ，面积为2a × 2b 条形磁铁磁面矩形磁铁，被磁化后各磁偶极子在磁铁内部均匀排列，N ，S 极首尾相连，只 在两个端面出现单一的正或负磁荷，见图4。

根据静磁学理论 当充磁方向与磁铁表面法线重合时，钕铁硼永磁材料的介质极化强度J .面磁荷密度σ 和剩余磁感应强度Br 三者相等则可假设，根据在P 点求梯度，可得P 点的磁场强度的计算公式：（3） x dy z y x bb aad ||14),,0⎰⎰+-+-=PQ πμσϕ（22221221)()(||z y y x x +-+-=PQ 0μ∑∑===110p ),,(4j jii z V U πμσϕz W b,1-,1-i i =-=-=jj y V a x U ）（）（222i r W V U j ++=)r tan()()(-W UVWare U r VIn V r UIn ----=φc W k)1(k --=222i r kj W V U ++=P H ϕ-=),,()1(4i 1j1j 1i 0k j k k i W V U H επμσ∑∑∑=++==-=其中 2,磁铁的磁力设磁铁均匀充磁，尺寸为c b 22a 2⨯⨯，介质极化强度为 J ，所在坐a a x U j ij i1()1(）---+=标系为 O-XYZ,根据等效磁荷理论，磁铁的磁力由磁铁的上端面相互作用产生，充磁方向平行的静磁能dx rdy dx dy JJ E bbaa a abbqp q p ⎰⎰⎰⎰∑∑+-+-+-+-+==-=1)1(4110*πμ 其中a a x U jj ij)1()1(---+= b b y U k l ik1()1(）---+= c c z W p q )1()1(pq---+= 222ij r pqlk W V U ++=经过四重积分的)r ,,,()1(41010101010100*pq kl ij i j k l p q W V U JJ E ψπμη∑∑∑∑∑∑======-= 其中q p l k j i +++++=η））V r In W U V U r In W V U W V U rW UV rc UVW r W V U --+--+-++=(2)()(2)(2(6)r tan(a ),,,(2222222ψ 根据虚功原理可得磁铁的磁力rtan ),(),(z x W UVare U r In V r In y =-=-=εεε),,,()1(4*ij10101010101r W V UJJ F pq kl i j k l p q θπμη∑∑∑∑∑∑======-=2磁场力的公式算法我们知道，载流导体和导磁材料在磁场中会受到力的作用，我们把这种力的作用称为磁场力。

经典电磁理论认为，导磁材料在磁场中所受的力可归结为分子电流所受的力。

导磁材料在磁场中被磁化后，内部存在磁化电流，材料表面存在表面磁化电流，其磁化电流体密 度和表面磁化电流面密度分别为s δδ，v ：M m M S V ⨯-=⨯∇=δδ式中M 为介质磁化强度，H 为表面法向矢量。

则磁场对导磁材料的作用力为：Bds BdV F ss v ⨯+⨯=⎰⎰∑∑∑δδvB 为磁感应强度。

对于各项同性介质Bdv M F v⎰⎰⎰⨯⨯∇=）（又因为BM 0r 1μμμ-=分别为真空磁导率和磁介质相对磁导率。

且⎰⎰⎰⎰⎰=∇vds dv ϕϕ则得ds B F sv r r ⎰⎰-=221μμμ该式即为磁场力计算公式。

由于磁场在导磁材料所在区域分布的复杂性，故直接使用该式积分来求磁场力往往比较困难，实际使用中，我们一般假设磁场在导磁材料所在区域分布均匀一致，又由于导磁材料磁导率较大(即雎>>1)，这样根据磁路设计和计算实际我们把求解磁场力大小的公式简化表示为BHS S B ds B F s v r r 212121202==-=⎰⎰μμμμ ′式中B 为磁场与导磁材料作用面处的磁感应强度，H 为磁场与导磁材料作用面处的磁场强度．s 为磁场与导磁材料作用面的面积。

公式采用SI 单位制，即式中，F 、B 、H 、S 单位分别为N 、T 、A ／m 、m2。

计算实例（1）假设规格为50x50x25mm ，牌号为 N35的NdFeB 磁体<Br=1．25T)，磁体和衔铁之问的距离为6mm 。

我们来计算一下磁体对衔铁的吸引力： 从公式可知，首先需计算衔铁处的B ，由于磁体与衔铁所构成的磁路漏磁太大，计算误差过大,不适合用磁路建立方程求解，故我们简化处理，直接用距孤立磁体表面中心点z 处的磁场强度公式来求占，结果相对更准确些(工程实践中直接用高斯计测量也可)。

2221x4x 2tan ++=-W L LW B B r （π2221H)(X 4W L x (2tan ++++--）H LWSdxB S B F Hx 2x22121⎰+===μμ式中 L 、W 、H 分别为磁体长、宽和厚度。

据公式可得离磁体 6mm 处磁感应强度 B 的值约为 0.42T, 则 F=176N计算实例（2）根据磁路设计和计算实际我们把求解磁场力大小的公式简化表示为S B ds B F s v r r 2022121μμμμ=-=⎰⎰假设规格为50x50x25mm ，牌号为 N35的NdFeB 磁体（Br=1.25T)，磁体和钢筋之间的距离为6mm 。

钢筋的半径为6mm,长度为50mm 。

我们来计算一下磁体对钢筋的吸引力，从公式可知，首先需计算钢筋处的B ，由于磁体与衔铁所构成的磁路漏磁太大，计算误差过大,不适合用磁路建立方程求解，故我们简化处理，直接用距孤立磁体表面中心点z 处的磁场强度公式来求占，结果相对更准确些(工程实践中直接用高斯计测量也可)。

根据以上可得dxx R H R L B F Rx22x 20)(212-+-⨯=⎰+μdxR H R L B RR222x x 20)x (212---⨯+⎰++μ其中2221x4x 2tan ++=-W L LW B B r （π2221H)(X 4W L x (2tan++++--）H LW式中 L 、W 、H 分别为磁体长、宽和厚度，R 为钢筋半径,x 为垂直距离。

代入数据可求则 F=98.6N 。

3等效电路法按照电路第一方程仿写磁路第一方程为0n1=∑=i iφ根据高斯磁通定律 ，穿出任何一个闭合曲面的磁通量 ，且等于零 ，与磁介质与磁通密度矢量的分布没有关系 。

（1）永磁磁路永磁磁路一般情况下由永磁材料、软磁材料、装配间隙和工作气隙四部分构成；设永磁材料的内磁场强度为m H ，长度为m L ；具有m 段软磁材料，第i 段的长度为i L ，内磁场强度为i L ；具有n 段装配间隙,第j 段的长度为g L ，间隙的内磁场强度为j H 工作气隙的长度为g L ,工作气隙内的磁场强度为g Hm Inj i ii L H L H LH L H m g g 1jm 1=++∑∑==由于只计算主磁通，把其他很小数值忽略，所以式简化为ml H L H K m g g r =(2) 电磁磁路设某一电磁磁路具有m 段软磁铁，其中第i 段的长度为Li ，内磁场强度为i H ，具有k 个励磁线圈，第i 个励磁绕组匝数为i N ，电流为i L ；具有n 段装配间隙，其第j 段的长度为g L ，间隙中的磁场强度为g H 。

磁路的气隙长度为g L ，气隙的磁场强度为g H 。

则磁路第二方程表示为i ki i g g nj i jm iI N L H L HL H ∑∑∑====++111i i 4.0π而电磁磁路中一般软磁体的导磁率很高，内磁场强度不大，所以一般软磁体产生的总磁通损失∑=miLH 1i i可以忽略。

由于装配间隙极小，装配间隙产生的总磁通损失∑=nj i jL H1式简化为i ki i g g I N L H K ∑==1r 4.0π一般情况下，r K （磁阻系数)取值范围在1.1--1.6。

(3) 电磁和永磁混合磁路一般情况下，由永磁材料、励磁线圈、软磁材料、装配间隙和工作气隙五部分构成。

设永磁材料的内磁场强度为m H ，长度为m L 具有 k 个励磁线圈，第i 个绕组的匝数为i N ，电流为i I ；有m 段软磁材料第i 段的长度为j L ，内磁场强度为i H ；具有n 段装配间隙，第j 段的长度为 j L ，装配间隙内的磁场强度为j H ；工作气隙长度为g L ，工作气隙的磁场强度为g H 。

电磁和永磁混合磁路的第二方程表示如下m m 111i i 4.0L H I N L H L HL H i ki i g g nj i jm i+=++∑∑∑===π根据以上内容，式m m i ki i g g L H I N L H K +=∑=1r 4.0π一般情况下，电路向周围事物漏电极少发生，可以忽略不计，而磁路向周围事物漏磁是不可以忽略的，在磁路计算时引入了漏磁系数f K(4) 磁极单元的磁路算法对于电控永磁磁极单元中励磁线圈磁化铝镍钴永磁材料的计算，运y 用混合磁路，由于没有工作间隙，装配间隙可以忽略，由上式可以得到磁化铝镍钴永磁材料的磁路计算公式m m i ki i L H I N +=∑=14.00π电控永磁磁极单元工作和卸载时，磁路相当于永磁磁路，磁路计算时用上式。

利用 APDL 界面语句定制简单的参数赋值界面，实现了专用圆柱永磁体分析程序开发，并且利用缩写功能在 Toolbar 上建立按钮进行专用分析程序的驱动和调用。

利用 Toobar 按钮调用分析宏文件，实现上述分析对象的有限元参数化建模、求解和后处理过程，主要有两个步骤:a) 在计算机系统中创建圆柱永磁体专用分析宏文件，分别实现不同的有限元分析功能，该专用分析程序共包括7个宏文件。

b) 修改 ANSYS 系统目录…/Ansys Inc /v90 /ANSYS / apdl 下的 start90. ans 文件，在该文件的最后加一系列命令，其中要/PSEARCH命令设置圆柱永磁体专用分析系统的所有宏文件的存储路径，利用* ABBR 定义一系列的缩写按钮，然后存盘覆盖原有的 start90. ans文件。

最后只需要以交互方式重新启动 ANSYS9. 0 程序，进入 ANSYS 交互界面中，利用工具条上生成的按钮就能轻松的完成所需要的仿真分析。