函数极限练习题
函数与极限练习题
题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三．解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。
(完整版)极限练习(基础题)
适用标准第二章极限与连续一、判断题1.若 lim f ( x)lim f ( x) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续；（ ）x x 0x x 02. 当 x0 时， x 2 sin x 与 x 对比是高阶无量小；（ ） 3.设 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x)lim f ( x)；（ ）xx 0x x 04.函数f ( x) x 2sin 1, x 0在 x 0 点连续； （ ）x0 , x 05.x 1 是函数 yx 2 2 的中断点； （）x 16. f ( x) sin x是一个无量小量；（ ）7. 当 x0 时， x与 ln(1 x 2 ) 是等价的无量小量；（ ） 8.若 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在 x 0 处有定义； （）x x 09. 若 x 与 y 是同一过程下两个无量大批，则 xy 在该过程下是无量小量；（）10. limx 1 ； （ ）x 0 x sin x 211. lim x sin 11 ； （ ）xx 012. lim(1 2) xe 2 ；（）xx13. 数列1, 0, 1, 0, 1 , 0, L 收敛 ；（ ）2 4 814. 当 x 0 时， 1 x1 x ~ x ；（ ）15. 函数f ( x) x cos 1 ，当 x时为无量大；（）sin x x16. ；（ ）lim1xx17. 无量大批与无量小量的乘积是无量小量； （ ）18. ln(1 x) ~ x ； （ ）19. 1；（ ） lim x sin1xx20. limtan x1 .（）x 0x出色文档适用标准二、单项选择题x 27x 1211、 limA．1B． 0C（）．D ．x 4 x 25x 432、 lim( xh) 2 x 2 =()。
A. 2x B. hC. 0D.不存在h 0h3、 lim2x 2 x 3（）A．B．2C． 0D． 13x 2x2x34、 limn33 3 n 1（）A．B ．3C． 0D．142nn 1 n 245、设 f ( x)3x 2, x 0 ，则 lim f ( x)()x22, xx 0(A) 2(B)(C)1 (D)26、 设f( x)x，e 2 1 x 0,则 lim f (x) ()，x 0x 1x(A) 1 (B)(C)1(D)不存在x 2， x 07、设 f ( x)2， x 0 , 则 lim f ( x) ( )x 1， x 0 x(A) 2(B)(C) 1 (D)不存在8设 f ( x) x 1 , 则 lim f ( x) （）A． 0 B． 1 C ． 1 D ．不存在、x 1 x 11 ） A.B. 1C.D. 不存在9、 lim xcos（xx10、 lim x sin 1 （）A.B.1C.D.不存在xx11、以下极限正确的选项是 ()A.lim xsin11B. lim xsin11； C. lim sin x 1 ； D.lim sin 2 x 1；xxx 0 xxxx 0x12、 lim sin mx( m 为常数 ) 等于 ( )B. 1C.1D.mxx 0m13、 lim 2 n sinx等于 () B. 1C.1 D. xnn2x14、 lim sin 2x（）C. ∞2)xx( x出色文档适用标准15、 limtan3x（） A.B.3x 02x216、 lim (12) x（ ） A.e -2B.e -1C. e 2xx2, x 117、已知函数 f (x)x1, 1 x 0 ，则 lim f ( x) 和 lim f ( x) ()0 x 1 x1x 01 x2 ,(A) 都存在 (B)都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D)第一个不存在，第二个存在18、当 n时， n sin1是 ()n(A) 无量小量 (B) 无量大批 (C) 无界变量 (D) 有界变量19、x 1时，以下变量中为无量大批的是( )1x 2 11 x 1(A) 3x(B)1x(C)(D)x 2 11x20、函数xx 1的连续区间是 ()f (x)12 x 1(A) (,1)(B) (1,)(C) (,1)(1, ) (D)( , )x 2 1， x 021、 f ( x)0， x0 的连续区间为 ( )x ， x(A) （， ） (B) （ ，0）（0， ） (C) （ ，0] (D) （0， ）22、函数 f (x)1, x 0 ，在 x0 处 ()1, x(A) 左连续 (B)右连续 (C) 连续 (D)左、右皆不连续23、 f ( x) 在点 xx 0 处有定义，是 f (x) 在 x x 0 处连续的 () (A) 必需条件 (B)充足条件 (C) 充足必需条件 (D)没关条件1 24、设 f(x)=(1 x ) x a,, x 0 要使 f(x) 在 x=0 处连续，则 a=（）x 01C.e出色文档25、设 f ( x)sin x x 0在 x=0 处连续，则常数x a=（ ）ax 026、设 f ( x) 1 x 1 x ，x 0 在 x 0 点处连续，则 kxk ， xA.0 ；；C.1 ； D. 2；227、设函数 f (x)x 4 2 ， x0 在点 x0 处连续，则 k xk ， x 0A. 0B.1 C. 1 D. 242等于 ( )等于 ( )x 1 , x 128、若函数y在 x 1 处是（）3 x , x 1A. 可去中断点B. 跳跃中断点C. 无量中断点D. 非无量型的第二类中断点e xx,则以下说法中正确的选项是 () 29、 设f (x)x 2 ，1 ， x 0(A) f ( x)有1个中断点 (B) f (x)有 2个中断点(C) f ( x)有3个中断点(D)f (x)无中断点30、 设f (x)x 4 的中断点个数是 ()2 3x4 xA. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题x hx___________ ；2x 71 ；limh、 lim______ 1、 h 0x 1x13、 lim3n 2 = _______ ； 4sin x2、 lim_______ ；n5n2n1xx5、 limxsin x____________ ．6、 lim (xa) sin(a x)xxx a7、 limsin x.、 lim(1 2 )x x 03x8x ________；x出色文档9、 lim x[ln( x2) ln x]_________ln(1 3x)lim_________ ；x10、 x 0 sin 3x11、 limx 3x2ax4存在 , 则 a ______ ；x 1x 112、当 x 0 时， 1 cos x 是比 x ______ 阶的无量小量；13、当 x 0 时， 若 sin 2x 与 ax是等价无量小量，则 a ______ ； 14、当 x0 时， 4 x 2与 9 x3是 ______（同阶、等价）无量小量 .15、函数 y x 2在 _______ 处中断；x 29116、11 设 f ( x)e x 2 ,x 0 在 x0 处 ________（是、否）连续；0, x 0sin 2x17、设 f ( x)x , x 0 连续，则 a_________ ；a, x 018、设 f ( x)a x, x 0 在 x 0 连续，则常数 a。
专升本两个极限练习题
专升本两个极限练习题### 极限练习题一：函数极限的计算题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2}\)。
解答：要计算这个极限，我们可以使用洛必达法则。
洛必达法则适用于极限形式为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 的情况。
首先，我们检查 \(x\) 趋近于 0 时，分子和分母的极限：\[\lim_{x \to 0} (e^x - \cos x) = e^0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0, \]\[\lim_{x \to 0} x^2 = 0.\]由于分子和分母都趋近于 0，我们可以应用洛必达法则。
对分子和分母分别求导：\[\frac{d}{dx}(e^x - \cos x) = e^x + \sin x,\]\[\frac{d}{dx}(x^2) = 2x.\]现在，我们计算导数的极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{2x}.\]再次检查这个极限是否为 \(\frac{0}{0}\) 形式：\[\lim_{x \to 0} (e^x + \sin x) = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1,\]\[\lim_{x \to 0} 2x = 0.\]由于分子趋近于 1 而分母趋近于 0，这个极限是 \(\frac{1}{0}\)形式，即无穷大。
因此，原极限为：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} = \infty.\]### 极限练习题二：无穷小量的比较题目：比较 \(\alpha = \frac{1}{n}\) 和 \(\beta = \frac{1}{n^2}\) 当\(n\) 趋向于无穷大时的无穷小量级。
解答：要比较两个无穷小量 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的量级，我们可以计算它们的比值的极限：\[\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha}{\beta} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} n =\infty.\]由于这个极限是无穷大，我们可以得出 \(\alpha\) 的量级高于\(\beta\)，即 \(\alpha\) 是比 \(\beta\) 更高阶的无穷小量。
函数与极限练习题
第一章 函数与极限练习题一、填空题：11()(0,1),:()________1()xf x x f x f x =≠=-、已知则 2(cos )1cos ,:()________2xf x f x =-=、已知则2212023lim _________2314lim ________5lim ()(_______;x x x n n x x e x n aa a n a→-→→∞-=+--=+==-、；、；、已知是常数），则 21021246lim (1)3,________;70()cos ____80(1)1cos 1______;x x x xa a x f x x ex x ax x a →-+==→=-→+--=、若则:、当时，是的阶无穷小；、当时，与是等价无穷小，则 09()10,____,_____()0ln()0a x x f x x a b f x x b x x +<⎧⎪=====⎨⎪+>⎩、设则当时，在处连续； tan 10()[0,1]___________(1)xf x x x π=-、写出函数在上的间断点及类型为第一类，______为第二类；111______________x x e +、函数的间断点是间断点；12()0______f x x ==、设则是第一类间断点；221013()______;cos 0x e x f x a x a x x x ⎧-<⎪=-∞+∞=⎨⎪+≥⎩、函数在（，）上连续，则 11432__________;x y -=-、的反函数为二、计算题：02020121cos 201101lim 12lim 3lim tan ln(1)ln(1)4lim ;1cos sin (1cos )(1)5lim ;ln(1)6lim (32);x x x x x xx x x x x e xx x x xx x x e →→+∞→→-→-→-++--+-++-、求、求、求、求、求、求 2121cos 0132sin07lim (1);8lim (15tan );x x x x x x e x x -→→++-、求、求220ln(1sin )9lim (1cos )tan x x x x→++、 21110(,,1x a b c ax bx cx →∞+++、设等价于当时），求 2221211lim (...)12n n n n n n n n n →∞+++++++++、11012(),()ln(1)10x e x f x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩、设求的间断点，并说出间断所属类型。
函数极限练习题
函数极限练习题1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x 2-6x+10)=2; (3) ; (4) =0;(5) cos x = cos x 0 2.根据定义2叙述 f (x) ≠ A. 3.设 f (x) = A.,证明 f (x 0+h) = A. 4.证明:若 f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立? 5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x](3) f (x)=7.设 f (x) = A,证明 f () = A +∞→x limxx 56+2lim →x +∞→x lim11522=--x x -→2lim x 24x -0lim xx →0lim xx →0lim x x →0lim →h 0lim x x →0lim xx →xx⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x +∞→x lim 0lim x x →x18.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习 题求下列极限：（1）2（sinx －cosx －x 2）; (2); (3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)； （6）；（7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明： （1）[f(x)±g(x)]=A ±B; （2）[f(x)g(x)]=AB; （3）=(当B ≠0时)设f(x)=, a 0≠0,b 0≠0,m ≤n,试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明 0lim xx →2lim π→x 0lim →x 12122---x x x 1lim →x 12122---x x x 0lim →x ()()3232311x x x x +-+-1lim →x 11--m n x x 4lim→x 2321--+x x 0lim →x xax a -+2+∞→x lim()()()902070155863--+x x x -∞→x limx x x cos -0lim →x 4sin 2-x xx 0lim x x →0lim xx →0lim xx →0lim xx →0limx x →)()(x g x f BAnn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 +∞→x lim 0lim xx →=，其中n ≥2为正整数. 6. 证明a x=1 (0<a<1) 7.设 f(x)=A, g(x)=B. (1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) (提示：参照例1)9．（1）证明：若 f (x 3)存在，则 f (x)= f (x 3) （2）若 f (x 2)存在，试问是否成立 f (x) = f (x 2) ? 习 题叙述函数极限f(x)的归结原则,并应用它证明cos x 不存在.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+)上有上(下)界. (1)叙述极限 f (x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述 f (x)不存在的充要条件,并应用它证明sin x 不存在. 0limx x →nx f )(n A 0lim →x 0lim x x →0lim xx →-→0lim x nx x x+11+→0lim x nx x x+11lim →x 12--+++x nx x x n 0lim→x xx n11-+∞→x lim[]x x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x +∞→n lim +∞→n lim ∞+∞→n lim ∞-∞→n lim -∞→n lim -∞→n lim4. 设f 在∪(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }∪(x 0)且x n =x 0,极限f(x n )都存在,则所有这极限都相等. 提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =f(x), f(x 0+0)= f (x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明D(x)不存在. 7.证明:若f 为周期函数,且f(x)=0,则f(x)=0 8.证明定理3.9习 题求下列极限(1) ; (2)(3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10)求下列极限(1) ; (2) (a 为给定实数);(3) ; (4) ; ⊂∞→n lim ∞→n lim ()00supx u x -∈)(00inf x u x n∈0lim x x →+∞→x lim xx x 2sin lim 0→()230sin sin limx x x →2cos lim 2ππ-→x x x xxx tan lim 0→30sin tan lim xx x x -→x xx arctan lim 0→xx x 1sin lim +∞→a x a x a x --→22sin sin lim114sin lim-+→x xx x x x cos 1cos 1lim20--→xn x-∞→-)21(lim ()x x ax 101lim +→()xx x cot 0tan 1lim +→xx x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→(5) ; (6) (为给定实数) 证明: 利用归结原则计算下列极限: (1) ; (2)习 题证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin (x →0+);(3)(x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3+ x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0) (7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 应用定理3.12求下列极限：(1) (2) 证明定理3.13求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = ; (2) y = arctan x ; (3) y =试确定a 的值，使下列函数与x a当x →0时为同阶无穷小量： (1) sin2x －2sinx ; (2)－ (1－x); (3); (4)12)1323(lim -+∞→-+x x x x x n xβα)1(lim ++∞→βα,12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox nn n πsinlim∞→)(23x O x =)1(11o x =-+xx x x x cos 1arctanlim-∞→xx x cos 111lim 20--+→x 1xx x 24323-+x+11x x sin 1tan 1--+53243x x -试确定a 的值，使下列函数与x a当x →∞时为同阶无穷大量： (1); (2) x+x 2(2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n).证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }s ，使得x n →+∞(n →∞)证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg 为x →r 时的无穷大量。
数二极限练习题
数二极限练习题一、基础题(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (e^x 1) / x(1) lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1/2(2) lim(x→π) (sin x / (x π)) = 1二、函数极限题(1) lim(x→+∞) (x √(x^2 + 1))(2) lim(x→∞) (x^3 / e^x)(3) lim(x→0) (x^2 / sin^2 x)(1) lim(x→0) (x^2 sin(1/x))(2) lim(x→1) (x^α 1) / (x 1)，其中α为实数三、复合函数极限题(1) lim(x→0) (sin^2 x / x^2)(2) lim(x→0) (tan x x) / x^3(3) lim(x→π/4) (tan(x π/4) / (x π/4))(1) lim(x→0) (sin x x cos x) / x^3(2) lim(x→1) [(x^2 1) / (x 1)]^2 / ln x四、无穷小比较题(1) sin x^2(2) x sin x(3) arctan x x(1) x sin x ≈ x^3/6(2) tan x x ≈ x^3/3(3) e^x 1 x ≈ x^2/2五、极限应用题1. 利用极限求下列函数的导数：(1) f(x) = x^2 sin x(2) f(x) = e^x / (1 + x)2. 讨论函数f(x) = x^α sin(1/x)（α为实数）在x=0处的连续性。
六、极限综合题1. 已知极限lim(x→0) (sin ax / x) = 1，求常数a的值。
2. 设函数f(x)在x=0处可导，且lim(x→0) (f(x) / x) = 1，求f'(0)的值。
3. 已知极限lim(x→0) (e^x ax 1) / x^2 = 0，求常数a的值。
极限证明练习题
极限证明练习题在数学学科中，极限证明一直是一个重要的环节。
通过极限证明，我们可以推断函数的性质、计算无穷数列的极限等。
下面将为您介绍一些极限证明的练习题，帮助您巩固和提升自己的数学能力。
练习题一：证明函数极限已知函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求证：lim(x→2) f(x) = 11。
解析：根据极限的定义，对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当 0 < |x - 2| < δ 时，有 |f(x) - 11| < ε 成立。
我们首先计算 f(x) - 11 的绝对值：|f(x) - 11| = |3x^2 + 2x - 1 - 11| = |3x^2 + 2x - 12|当我们将 x 接近 2 时，让我们来看一下 |3x^2 + 2x - 12| 是否能够趋近于 0。
当x → 2 时，3x^2 + 2x - 12 = 3(2^2) + 2(2) - 12 = 12，可以看出当 x 接近 2 时，函数值为 12。
因此，对于任意给定的ε > 0，我们可以选择δ = 1，那么当 0 < |x - 2| < 1 时，有 |f(x) - 11| = |3x^2 + 2x - 12| < 12 < ε 成立。
综上所述，我们证明了lim(x→2) f(x) = 11。
练习题二：证明数列极限对于数列 {an}，已知 a1 = 2，a2 = 3，an = (a_{n-1} + a_{n-2})/2，求证：lim(n→∞) an = 5。
解析：我们先来递推一下这个数列，找到一个一般的式子来表示 an。
a1 = 2a2 = 3a3 = (a2 + a1)/2 = (3 + 2)/2 = 2.5a4 = (a3 + a2)/2 = (2.5 + 3)/2 = 2.75a5 = (a4 + a3)/2 = (2.75 + 2.5)/2 = 2.625...我们可以观察到，每一项的值都是前两项的平均值。
函数的极限练习题
函数的极限练习题一、选择题1. 函数\( f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} \)在\( x \to 1 \)时的极限是：A. 3B. 2C. 1D. 02. 函数\( g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \)在\( x \to 0 \)时的极限是否存在？如果存在，求其值。
A. 存在，值为0B. 存在，值为1C. 不存在D. 存在，值为无穷大3. 函数\( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在\( x \to 0 \)时的极限是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题4. 计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)的值为______。
5. 若\( \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5 \)，则函数\( f(x) = 3x -1 \)在\( x \to2 \)时的极限为______。
6. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)在\( x \to ∞ \)时的极限为______。
三、解答题7. 求函数\( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \)在\( x \to ∞ \)时的极限，并证明你的结论。
8. 利用夹逼定理证明函数\( g(x) = x - \sin(x) \)在\( x \to 0 \)时的极限为0。
9. 给定函数\( h(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)，证明其在\( x \to∞ \)时的极限为0。
四、证明题10. 证明当\( x \)趋近于正无穷时，\( (1 + \frac{1}{n})^n \)的极限为\( e \)。
11. 证明函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在\( x \to 0 \)时的极限存在，并且等于1。
12. 证明函数\( g(x) = x^n \)在\( x \to 0 \)时的极限为0，其中\( n > 0 \)。
极限与最值、极值练习题
极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。
以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。
1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。
2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。
求这个长方形的
最大面积。
问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。
3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。
问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。
总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。
通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。
请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。
在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。
祝您研究愉快！。
函数与极限练习题
函数与极限练习题第一章函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。
[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)( [ ]3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。
[ ]4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。
[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。
[ ]6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。
[ ]7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。
[ ] 8、f(x)=1+x+2x 是初等函数。
[ ]二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D))].([x f f -三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、 y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a>0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五．设??=,,2)(x x x f 00≥<="">-=,3,5)(x x x g 00≥<="" 及)]([x="" ，求)]([x="">六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形：1．|)(|x f y = 2。
函数极限与连续练习题
函数 极限与连续 练习题一、判断题1. 函数x x x f -+=1)(2与函数xx x g ++=11)(2是同一函数 （ ）2. 函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是同一函数 （ ）3. 函数21)(--=x x x f 与函数21)(--=x x x g 是同一函数 （ ） 4. 函数334)(x x x f -=与函数31)(-=x x x g 是同一函数 （ ） 5. 函数x x f lg 10)(=与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 6. 函数 211()()11x f x g x x x-==-+是同一函数 （ ） 7. 函数212)cos 1()(x x f -=与函数x x g sin )(=是同一函数 （ ） 8. 函数)cos(arccos )(x x f =与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 9. 函数)12ln()(2+-=x x x f 与函数)1ln(2)(-=x x g 是同一函数 （ ） 10. 函数)sin(arcsin )(x x f =与函数)arcsin(sin )(x x g =是同一函数 （ ）11.1lnx arcctgx x x αβ+==→+∞设，，则当时则~αβ （ ） 1211()sin (0)f x x x x =⋅<<+∞ ，0()x f x →+当时不是无穷大，但无界．（ ）13.00()()(0)lim ()()x x x x f x g x A A f x g x →→→∞→≠=∞设当时，，，则．（ ）14.1lim 0lim||1n n n n nx x a a x +→∞→∞==≤设及存在，则：． （ ）二、填空题1. 设)(x f 的定义域是(0,1)，则)1(2x f -的定义域是________________。
2. 设)2ln(1)(x x x f -++=，则)(x f 的定义域用区间表示为_______________。
极限与导数练习题
极限与导数练习题一、极限问题1. 计算以下极限：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $b) $ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $c) $ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $d) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $2. 当 $ x \to 0 $ 时，证明以下极限等式：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $b) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $c) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $d) $ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}}{e} = 1 $二、导数问题1. 求以下函数的导数：a) $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 $b) $ g(x) = \sin x \cos x $c) $ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} $d) $ k(x) = \ln (2x + 3) $2. 求以下函数在指定点处的导数：a) $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $，求 $ f'(2) $b) $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g'(1) $c) $ h(x) = \sqrt{x} $，求 $ h'(4) $d) $ k(x) = e^x $，求 $ k'(0) $三、综合练习1. 求函数 $ f(x) = \frac{x^3 - 4x}{2x^2 + 3} $ 的极值点。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
高等数学(同济第五版)第一章(函数与极限)练习题册
第一章 函 数 与 极 限第 一 二 节 作 业一、填空题：1. 函数f(x)=x -3+arctanx1的定义域是 。
2. 设f(x)的定义域是[0，3]，则f(lnx)的定义域是 。
二、选择题（单选）：1. 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--ππx x x x 0,sin 0,sin 33，则此函数是：（A ）周期函数； （B ）单调增函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数。
答：（ ）2. 设f(x)=x e ,g(x)=sin 2x, 则f[g(x)]等于：（A ）xe2sin ； （B ）)(sin 2x e ； （C ）x e x 2sin ； （D ）2)(sin 2xe x答：（ ）三、试解下列各题： 1. 设{1,21,1)(22>-≤--=x x x x x x x f ，求f (1+a)-(1-a), 其中a>0.2. 设f (x+1)=232+-x x , 求f (x).3. 设f (x)=xx+-11 , 求f[f(x)].4. 设y=1+ln(x+2),求其反函数。
四、证明：定义在[-l ，l]上的任何函数f (x)都可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
第 三 节 作 业一、填空题：设数列{n u }的一般项公式是1213++=n n u n ，n 从 开始，才能使23-n u 〈0.01成立。
二、选择题（单选）：1. 下列数列{n x }中，收敛的是： （A ）n n x nn 1)1(--= ； （B ）1+=n n x n ； （C ）2sin πn x n =； （D ）nn n x )1(--=。
答：（ ） 2. 下列数列{n x }中，发散的是：（A ）n n x 21=； （B ）2)1(5n x n n -+=； （C ）2312+-=n n x n ； （D ）2)1(1n n x -+=。
答：（ ） 三、试利用数列极限定义证明：321312lim=++∞→n n n 。
第一章函数极限连续例题练习
【例题1.13】求极限I = lim
x→0
φ2
【例题1.14】设f (a)表示方程x +ln(1+x )=a的实数根，a∈[1,+∞).证明： lim f (a) lna = x→∞ a
1
【例题1.19】求极限I = lim n sin (2πen!)
x→∞
【例题1.23】设fn
(x)
=
xn
ln
x，求极限 lim
数n，存在ξn ∈ [0, 1]，使得f
1 ξ−
n
1 = f (ξ) −
n
2
，使 lim
x→0
arctan
x
−
x 1
+ +
αx3 βx2
是关于x的尽可能高阶的等价无穷小
【例题1.42】尝试确定常数A,B,C使得 lim esin x x→0 sin x
=
1
+ Bx + Cx2 x + Ax2
+
o
x2
【例题1.55】设f (x)在闭区间[0, 1]上连续，f (0) = 0, f (1) = 1，求证：对于任意的正整
k
√
【例题1.30】设数列{an}满足a1
>
0, an+1
=
an+1an, n
≥
1，证明： lim √ an x→∞ 4n +
1
=
2 2
1
【例题1.31】设数列{xn}定义为x1
=
1, xn+1
=
xn
+
1 xn
,
n
=
1, 2 · · · 证明： lim x2n − n n→∞ ln n
函数的极限练习题
函数的极限练习题函数的极限练习题在数学中，函数的极限是一个重要的概念。
它描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋近于一个确定的值。
函数的极限在微积分、数学分析等领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解函数的极限。
1. 练习题一：求函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限。
解答：要求函数在 x = 2 处的极限，我们需要计算当 x 趋近于 2 时，函数 f(x)的取值趋近于多少。
首先，我们可以直接代入 x = 2，得到 f(2) = 2(2)^2 - 3(2)+ 1 = 9。
但是这只是函数在 x = 2 处的取值，并不能代表极限。
为了求得极限，我们需要通过一些特定的方法。
我们可以通过代入一些接近 2 的数值来观察函数的取值情况。
当 x = 1.9 时，f(x) = 2(1.9)^2 - 3(1.9) + 1 ≈ 7.51；当 x = 1.99 时，f(x) = 2(1.99)^2 - 3(1.99) + 1≈ 8.9501；当 x = 1.999 时，f(x) = 2(1.999)^2 - 3(1.999) + 1 ≈ 8.995001。
可以看出，当 x 趋近于 2 时，函数 f(x) 的取值趋近于 9。
因此，我们可以得出结论：函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限为 9。
2. 练习题二：求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x = 0 处的极限。
解答：要求函数在x = 0 处的极限，我们同样需要通过一些特定的方法来计算。
直接代入 x = 0，我们会得到一个无法计算的形式，即 0/0。
这时，我们需要利用三角函数的性质和极限的定义来求解。
首先，我们可以利用泰勒级数展开式来近似表示函数g(x)。
根据泰勒级数展开，sin(x) 可以近似表示为 x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...，而 x 可以看作是 x^1。
极限练习题及答案
极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。
A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。
．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。
2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。
?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。
??1,x?0.?19无穷小量是。
20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。
函数的极限与洛必达法则 练习题
2
C． lim x sin 1 = 1 D． lim arctan x = π
x→∞
x
x→∞
2
1
A． lim e x = 0 x→0−
1
B． lim e x = 0 C． lim(1+ cos x)secx = e
x→0+
x→0
1
D． lim(1+ x) x = e x→∞
3． 若 lim f ( x) = ∞ ， lim g ( x) = ∞ ，则下列正确的是 （ ）
=
10．已知 lim x2 + ax + 6 存在，则 a = x→1 1− x
1
11．
lim
x→0−
⎛1 ⎜ex ⎝
sin
1 x2
+
arcsin x
x
⎞ ⎟ ⎠
=
( ) x2 ln 1+ x2
12．若 lim x→0
sinn x
= 0 且 lim sinn x = 0 ,则正整数 n = x→0 1− cos x
x → x0
x → x0
A．
lim
x → x0
⎡⎣
f
(
x)
+
g
( x)⎤⎦
=
∞
B．
lim
x → x0
⎡⎣
f
(
x)
−
g
( x)⎤⎦
=
∞
C．
lim
x → x0
f
1
(x)+ g(x)
=0
D． lim kf ( x) = ∞ (k ≠ 0) x → x0
4．若 lim x→0
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函数极限练习题
一、求以下函数的极限：
1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。
由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$
当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。
所以极限为：
$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$
2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。
根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：
$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$
3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：
$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这
一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：
$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$
二、求以下函数的极限：
1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：
$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$
当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：
$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =
\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$
2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。
由于在函数中存在根式，我们需要变形来求解。
将分子中的根式使
用有理化的方法进行化简，得到：
$g(x) = \frac{(\sqrt{x+1}-3)(\sqrt{x+1}+3)}{(x-8)(\sqrt{x+1}+3)}$
整理后，可以约去相同的因子$(\sqrt{x+1}+3)$，得到：
$\lim\limits_{x\to8} g(x) = \lim\limits_{x\to8} \frac{\sqrt{x+1}+3}{x-8} = \frac{\sqrt{8+1}+3}{8-8} = \frac{3+\sqrt{9}}{0} = +\infty$
三、求以下函数的极限：
1. $f(x) = \frac{3x^2-5x+2}{2x^2-3x+1}$，当$x$趋近于1时的极限。
我们可以对函数进行因式分解：
$f(x) = \frac{(3x-1)(x-2)}{(2x-1)(x-1)}$
当$x$趋近于1时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-1)$这
一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：
$\lim\limits_{x\to1} f(x) = \lim\limits_{x\to1} \frac{3x-1}{2x-1} =
\frac{3\cdot1-1}{2\cdot1-1} = \frac{2}{1} = 2$
2. $g(x) = \frac{\sin(x^2)-\sin(1)}{x^2-1}$，当$x$趋近于1时的极限。
我们可以将函数分子中的两个三角函数进行合并，并利用$\sin(a)-
\sin(b)$的公式进行化简，得到：
$g(x) = \frac{2\sin(\frac{x^2-1}{2})\cos(\frac{x^2+1}{2})}{x^2-1}$
根据三角函数的性质，$\sin(\frac{x^2-1}{2})$在$x$趋近于1时趋近
于0，所以极限为：
$\lim\limits_{x\to1} g(x) = \lim\limits_{x\to1} \frac{2\sin(\frac{x^2-
1}{2})\cos(\frac{x^2+1}{2})}{x^2-1} =
\frac{2\cdot0\cdot\cos(\frac{1^2+1}{2})}{1-1} = 0$
四、求以下函数的极限：
1. $f(x) = \frac{\tan(x)}{x}$，当$x$趋近于0时的极限。
我们可以将$\tan(x)$展开成其泰勒级数的形式，并利用
$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$的性质进行化简，得到：
$f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)} = 1 \cdot
\frac{1}{\cos(0)} = 1$
所以极限为：
$\lim\limits_{x\to0} f(x) = 1$
2. $g(x) = (1+\frac{1}{x})^x$，当$x$趋近于正无穷时的极限。
我们可以将$g(x)$转化成以自然对数$e$为底的指数形式，并利用$\lim\limits_{x\to+\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$的性质进行化简，得到：$g(x) = e^{\ln((1+\frac{1}{x})^x)}$
根据对数函数和指数函数的性质，$\ln((1+\frac{1}{x})^x)$在$x$趋
近于正无穷时趋近于$\ln(e)=1$，所以极限为：
$\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = \lim\limits_{x\to+\infty}
e^{\ln((1+\frac{1}{x})^x)} = e^1 = e$
综上所述，我们求解了一些基础的函数极限练习题。
通过学习这些
例题，我们可以更好地理解函数极限的概念，并掌握一些常用的计算
方法。
请读者在阅读完本文后，自行尝试解答更多的函数极限练习题，加深对这一概念的理解和运用能力。