新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册
5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
【课件】第5章 5.1 5.1.1 变化率问题【新教材】人教A版(2019)选择性必修第二册
)
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率
B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率
C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率
D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
变化率．(重点) 率及瞬时速度的学习，培养逻辑
3.理解函数的平均变化率，瞬时变 推理及数学运算的核心素养.
化率及瞬时速度的概念．(易混点)
3
情境 导学 探新 知
4
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t) ＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些 时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
20
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量 Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用fx0＋ΔΔxx－fx0的形式．
切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
34
求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
35
[跟进训练] 2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程．
42
高中数学(人教A版)选择性必修二课后习题：变化率问题(课后习题)【含答案及解析】
第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为()A.6.3B.36.3C.3.3D.9.3(3)=12,S(3.3)=13.89,则平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.2.lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx表示()A.曲线y=x2切线的斜率B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率C.曲线y=-x2切线的斜率D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率y=f(x)=x2时,lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx,可知limΔx→0(1+Δx)2-1Δx表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.3.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k21=f(2)-f(1)2-1=4-1=3,k2=f(3)-f(2)3-2=9-4=5,k3=f(4)-f(3)4-3=16-9=7,∴k1<k2<k3.故选A.4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为√3,则下面叙述正确的是()A.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π3 C.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√3D.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√33f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率,所以k AB =√3,割线AB 的倾斜角为π3,故选B .5.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=12gt 2,当Δt 无限趋近于0时,s (1+Δt )-s (1)Δt 无限趋近于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( )A .9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的平均速度B .9.8 m/s 是在1~(1+Δt ) s 这段时间内的速度C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度D .9.8 m/s 是物体从1~(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度Δt 趋近于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1)Δt 趋近于该时刻的瞬时速度.故选ABD. 6.已知曲线y=1x 2上一点P (1,1),则曲线在点P 处的切线的斜率为 .2y=1x 2上一点P (1,1),在点P 处的切线的斜率为limΔx →01(1+Δx )2-112Δx =lim Δx →0-(Δx )2-2Δx (1+Δx )2Δx =lim Δx →0-Δx -2(1+Δx )2=-2,所以点P 处的切线的斜率为-2.7.一个物体做直线运动,位移s (单位:m)与时间t (单位:s)之间的函数关系为s (t )=5t 2+mt ,且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m 的值为 .,得s (3)-s (2)3-2=26,所以(5×32+3m )-(5×22+2m )=26,解得m=1.8.一个做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2(s 的单位:m,t 的单位:s).(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s 时的瞬时速度;(3)求t=0 s 到t=2 s 的平均速度.(1)s (0+Δt )-s (0)Δt=3Δt -(Δt )2Δt =3-Δt. lim Δt →0(3-Δt )=3,所以物体的初速度v 0=3 m/s .(2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. lim Δt →0(-Δt-1)=-1,所以在t=2时的瞬时速度为-1 m/s .(3)v =s (2)-s (0)2-0=6-4-02=1(m/s). 关键能力提升练9.曲线y=x 3+x 2-2x 在x=-1处的切线斜率是( )A.1B.-1C.2D.3lim Δx →0[(-1+Δx )3+(-1+Δx )2-2(-1+Δx )]-[(-1)3+(-1)2-2(-1)]Δx=lim Δx →0[-1-2Δx+(Δx )2]=-1. 10.设曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( )A.1B.12C.-12D.-1lim Δx →0a (1+Δx )2-a×12Δx =lim Δx →02aΔx+a (Δx )2Δx =lim Δx →0(2a+a Δx )=2a ,所以2a=2,所以a=1. 11.(多选)在曲线y=13x 3-x+1的所有切线中,斜率的可能取值为( )A.-2B.-1C.1D.2y=13x 3-x+1=f (x ),所以k=lim Δx →013(x+Δx )3-(x+Δx )+1-(13x 3-x+1)Δx =x 2-1.当x=0时,k 有最小值-1,故只要k ≥-1即可,故选BCD.12.(多选)某物体的运动方程为s=s (t )={3t 2+1,0<t <3,28,t ≥3,下列说法正确的是( ) A.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 是常数B.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 与Δt 有关C.此物体在t 0=1时的瞬时速度为6D.此物体在t 0=1时的瞬时速度为280<Δt<2,1<t 1=1+Δt<3时,s=3t 2+1,所以v =s (1+Δt )-s (1)Δt =3Δt+6. lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =6,即在t 0=1时的瞬时速度为6.故选BC .13.已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示,在时间段[t 0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]上的平均速度分别为v 1,v 2,v 3,则三者的大小关系为 .(由大到小排列)>v 2>v 1 ∵v 1=s (t 1)-s (t 0)t 1-t 0=k OA , v 2=s (t 2)-s (t 1)t 2-t 1=k AB ,v 3=s (t 3)-s (t 2)t 3-t 2=k BC , 又由图象得k OA <k AB <k BC ,∴v 3>v 2>v 1. 学科素养创新练14.在曲线y=13x 3-x 2+3x-13的所有切线中,斜率最小的切线方程为 .x-y=(x 0,f (x 0))的切线斜率为 lim Δx →0[13(x 0+Δx )3-(x 0+Δx )2+3(x 0+Δx )-13]-(13x 03-x 02+3x 0-13)Δx=lim Δx →013(Δx )2+x 0Δx+x 02-2x 0+3-Δx=x 02-2x 0+3,故当x 0=1时,切线斜率最小为2.∴y=13×13-12+3×1-13=2,故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.。
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 【同步教学课件】
(1)分别求 s(t)在区间0，π4和π4，π2上的平均速度；
解
物体在区间0，π4上的平均速度为v－1＝s（t2）t2－－st1（t1）＝sπ4－π4－s（0 0）＝
22－0 π 4
＝2
2 π.
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v－2＝sπ2π2－ －πs4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解 由(1)可知v－1－v－2＝4 2π－4>0，所以v－2<v－1.作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图 象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t 在0，π2上随着 t 的增大，函数值 s(t)变化 得越来越慢.
∴
lim
t 0
ΔΔst＝4a＝8，即
a＝2.
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
【例3】 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程. 解 由f（1＋ΔxΔ）x－f（1）
＝（1＋Δx）2－2（Δx1＋Δx）＋3－2＝Δx，
可得切线的斜率为k＝
lim
x0
Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1.明确 3 个知识点
课堂小结
平均速度、瞬时速度、曲线切线的斜率.
2.掌握 1 个公式
k＝
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝
lim
x x0
f（x）x－－xf（0 x0）.
3.注意瞬时速度与平均速度的区别与联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体
高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1-变化率问题同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化率问题一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．42．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0ΔsΔt为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h的结果( )A ．与x 0，h 均无关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均有关4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A ．④B ．③C ．②D ．①5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/sD ．400 m/s6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/sB ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/sD ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s7．已知函数f (x )在x 0处的导数为1，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1二、填空题8．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.9．已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)10．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． 11．一质点按照运动规律s ＝2t 2－t 运动，其中s 表示位移，t 表示时间，则质点在[2，2＋Δt ]这段时间内的平均速度是________，在t ＝2时的瞬时速度是________．12．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝⎛⎭⎫10－110t 3(H 为常数)其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h)．那么t 1，t 2，t 3，t 4中，瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的________．三、解答题13．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．14．若一物体的运动时间t (单位：s)与位移s (单位：m)的函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， 0≤t ＜3，29＋3(t －3)2，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝5时的瞬时速度．π15．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝2附近的平均变化率哪一个大．参考答案一、选择题 1．答案：B解析：由已知得：m 2－1－(12－1)m －1＝3，∵m －1≠0，∴m ＋1＝3，∴m ＝2. 2．答案：B解析：Δs Δt 表示从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度，从而lim Δt →0 ΔsΔt 表示在t 时刻该物体的瞬时速度．选B. 3．答案：B解析：根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x 0有关，而与h 没有关系．] 4．答案：B解析：Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.5．答案：A解析：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 6．答案：ABC解析：A 中，初速度v 0＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.即A 正确；B 中，v ＝lim Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－ΔtΔt ＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．即B 正确． C 中，v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.即C 正确．D 中，v ＝lim Δx →0 3(3＋Δx )－(3＋Δx )2－(3×3－32)Δx ＝lim Δx →0 (－3－Δx )＝－3.故D 错误，故应选ABC. 7．答案：A 解析：lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx ＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ＝2f ′(x 0)＝2×1＝2，故选A.二、填空题 8．13解析：Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 9.v 3＞v 2＞v 1 解析：∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC .又∵由图象得k OA ＜k AB ＜k BC ，∴v 3＞v 2＞v 1.10．答案：2解析：物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt＝lim Δt →02Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2.] 11．答案：7＋2Δt 7解析：v ＝Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－(2＋Δt )－(2×22－2)Δt＝2(Δt )2＋7ΔtΔt ＝7＋2Δt ，v ＝lim Δt →0 (7＋2Δt )＝7.12．答案：t 3 解析：V ＝V (100)－V (0)100－0，反映的是V (t )图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t 3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致． 三、解答题13．解： ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.14．解： 当t ＝1时，s ＝3t 2＋2，∴v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 3(1＋Δt )2＋2－(3×12＋2)Δt ＝lim Δt →0 (6＋3Δt )＝6.当t ＝5时，s ＝29＋3(t －3)2，∴v ＝lim Δt →0 29＋3(Δt ＋2)2－29－3×22Δt ＝lim Δt →0 (3Δt ＋12)＝12.故此物体在t ＝1和t ＝5时的瞬时速度分别是6 m/s 和12 m/s15．解：当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin ΔxΔx .当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率，故可知Δx 较小，但Δx 即可为正，又可为负． 当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，即k 1＞k 2；当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＋1Δx.∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＜－22， 从而有2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＜－1，2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＋1＜0，∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2. 综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率．高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元过关平行性测试卷（A 卷）一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“x <0”是“ln(x +1)<0”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件（2）下列命题正确的是（ ）A ． “x =y ”是“sinx =siny ”的充分不必要条件；B ． 命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C ． “am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件；D ． 命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”.（3）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a b =”是“ac bc =”的充要条件②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件 ④“5a <”是“3a <”的必要不充分条件， 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（4）有下列结论： ①命题 p:∀x ∈R ，x 2>0为真命题 ；②设p:xx+2>0 ，q:x 2+x −2>0，则 p 是 q 的充分不必要条件 ；③已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的充要条件；④非零向量a ⃑与b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑与a ⃑+b⃑⃑的夹角为300. 其中正确的结论有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个（5）命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ；∃x 0>0，使得ln x 0=1−x 0，则下列命题中为真命题的是（ ；A ． p ∧qB ． p ∨(¬q )C ． (¬p )∧qD ． (¬p )∧(¬q )（6）设x ∈R ，若“log 2(x −1)<1”是“x >2m 2−1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ． [−√2,√2]B ． (−1,1)C ． (−√2,√2)D ． [−1,1] 二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．(7) 下列说法正确的是( ) A.x >3是x 2>4的充分不必要条件 B.命题“∃x 0∈R ， x 0+1x 0≥2"的否定是“∀x ∈R ， x +1x>2”C.若tan (π+α)=2，则sin2α=±45D.定义在[a,b ]上的偶函数f (x )=x 2+(a +5)x +b 的最大值为30 (8)下列说法正确的有( )A.已知a,b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为14B.函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数在区间[34π,54π]上单调递增C.命题“∀x ≥1,x −1≥0”的否定形式为“∃x ≥1,x −1≤0”D.函数y =log a (x +1)(a >0且a ≠1)恒过定点(1,0) 三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．（9）已知:40p x m -<，:22q x -≤≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为___________.（10）“a =1”是“直线ax −y +2a =0与直线(2a −1)x +ay +a =0互相垂直”的___________条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）． （11）已知x ∈R ,则“|x −1|<2成立”是“x x−3<0成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．（12）有下列命题: ；“x >2且y >3”是“x +y >5”的充要条件;；“b 2−4ac <0”是“一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为R”的充要条件; ；“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的充分不必要条件; ；“xy =1”是“lgx +lgy =0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （13）（本小题满分16分） 已知幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x −k ．(I)求m 的值；(II)当x ∈[−1,2]时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B ，设命题p:x ∈A ，命题q:x ∈B ，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．(14)（本小题满分18分）设命题p ：a >0；命题q ：关于x 的不等式a −x ≥0对一切x ∈[−2，−1]均成立。
2024秋新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(十一) 改变率问题1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2，则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4D ．－2d －4解析：选D 平均速度为5－21＋d 2－5＋2×121＋d －1＝－4－2d .故选D.2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25 kg/m B ．35 kg/m C.34kg/m D ．12kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 49－4＝39－49－4＝35(kg/m)． 3．一物体做直线运动，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2，则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( )A ．－1 m/sB ．1 m/sC ．2 m/sD ．6 m/s解析：选A ∵Δs Δt＝5t ＋Δt －t ＋Δt2－5t －t2Δt＝5－2t －Δt ，∴该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt＝－1 m/s ，故选A. 4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12D ．－1解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx2－aΔx＝2a .又∵切线的斜率为2，∴a ＝1.5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32内的平均加速度为________．解析：平均加速度Δv Δt ＝32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝3112.答案：31126．过曲线y ＝x 2上两点A (2,4)和B (2＋Δx,4＋Δy )作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋22－22Δx ＝Δx 2＋4ΔxΔx＝Δx ＋4，所以当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为4.1.答案：4.17．曲线y ＝－3x 2＋2x ＋1在点(－2，－15)处的切线方程为________． 解析：由lim Δx →0－3Δx －22＋2Δx －2＋1－[－3×－22－4＋1]Δx＝lim Δx →0(－3Δx ＋14)＝14，可得所求切线方程为y ＋15＝14(x ＋2)，即14x －y ＋13＝0. 答案：14x －y ＋13＝08．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 表示位移大小，单位：m ；t 表示时间，单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度大小为8 m/s ，则常数a 为________．解析：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt＝4a ＋a Δt .当t ＝2时，瞬时速度大小为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ，可得4a ＝8，所以a ＝2. 答案：29．运动员从10 m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳t s 后运动员相对水面的高度(单位：m)为H (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，计算在2 s 时运动员的瞬时速度．解：运动员在[2,2＋d ](或[2＋d,2])这个时间区间内的平均速度为H 2＋d －H 2d＝－4.9d 2－13.1d d＝－13.1－4.9d .在平均速度表达式－13.1－4.9d 中，当d 趋近于0时，－13.1－4.9d 趋近于－13.1. 因此，在2 s 时运动员的瞬时速度是－13.1 m/s.10．若一物体的运动方程如下：(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3， ①29＋3t －32，0≤t <3. ②求：(1)物体在[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)因为物体在[3,5]内的时间改变量为Δt ＝5－3＝2，物体在[3,5]内的位移改变量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s.(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为Δs Δt＝s 0＋Δt －s 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度，即为函数在t ＝1处的瞬时改变率． 因为Δs Δt＝s 1＋Δt －s 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt＝3Δt －12，所以函数在t ＝1时的瞬时改变率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.1．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A 因为点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋a ΔxΔx＝a ，由切线方程x －y ＋1＝0知斜率k ＝1，故a ＝1.2．物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s)，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．解：物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S 1＋Δt －S 11＋Δt －1＝1＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)，即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间改变而改变(温度不变)，下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度C (t ).t 0 2 4 6 8C (t )0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0(1)2≤t ≤6；(2)2≤t ≤4；(3)0≤t ≤2. 解：(1)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.029 5－0.057 06－2＝0.006 875.(2)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.040 8－0.057 04－2＝0.008 1. (3)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.057 0－0.080 02－0＝0.011 5.。
5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1. 求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案：A
2.质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间， 则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是__7_＋__2_Δ_t_，
() A.2.1 B1.1 C.2 D.0 解析：ΔΔxy＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2．求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
例 1 已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
在1
t
2这段时间里，v
h(2) 2
h(1) 1
一般地,在t1 t t2这段时间里，
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
4.9(t1 t2) 4.8.
在0 t 48 这段时间里， 49
v 4.9 48 4.8 49
0.
9.9(m / s)
o
t
要精确地描述非匀速直线运动,就 要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度．
h(t) 4.9t2 4.8t 11
h
如何描述运动员从起跳到入水的 过程中运动的快慢程度呢？
新教材人教a版选择性必修第二册511变化率问题课件13
为1．
•
【答案】1
【解析】
lim
Δt→0
st0＋ΔΔtt－st0＝
lim
Δt→0
7t0＋Δt2－13t0＋ΔΔtt＋8－7t02－13t0＋8＝
lim (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，得t0＝1．
Δt→0
速度等于
()
A．18＋3Δt
C．6＋Δt
•
【答案】A
B．3＋1Δ8t D．9＋Δt
【解析】
Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，则平均速度为
Δs Δt
＝18＋3Δt．
2．过曲线f(x)＝
1 3
x3－2上一点
1，－53
及邻近一点
1＋Δx，－53＋Δy
作割线，当Δx＝ 3时，割线的斜率为
平均 速度
瞬时 速度
设运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h与起跳后的
时间t存在函数关系h＝h(t)，从t0到t0＋Δt时间段内的平均速度 v
＝ΔΔht ＝ht0＋ΔΔtt－ht0
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．当Δt无限趋近于
0时，平均速度
v
＝
Δh Δt
＝
ht0＋Δt－ht0 Δt
将越来越趋近于物体在
t0时刻的瞬时速度
•
【预习自测】
•
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，那么从t＝2到t＝3的平均速度为
•
A．6
B．12
•
C．15
D．18
•
【答案】C
()
2．(2020年吉林实验中学期末)已知某物体的运动方程是s＝
t3 9
＋t，
则当t＝3时，该物体的瞬时速度是
2020_2021学年新教材高中数学课时素养评价5.1.1变化率问题含解析新人教A版选择性必修第二册
十二变化率问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( )A.(5+Δt)(m/s)B.[5+(Δt)2](m/s)C.[5(Δt)2+Δt](m/s)D.5(Δt)2(m/s)【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s).2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( )A. B. C.1 D.2【解析】选B.Δs=2+Δt+-2-=Δt-,=1-,所以t=2时的瞬时速度为==.3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.-9B.-3C.9D.15【解析】选C.==3+3Δx+(Δx)2,则曲线在点P(1,12)处的切线斜率k=[3+3Δx+(Δx)2]=3,故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为( )A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26【解析】选D.设P(x0,y0),===(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.所以[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________.【解析】===-1.答案:-16.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.【解析】==2,故切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0三、解答题(每小题10分,共20分)7.一物体的运动方程为y=f(x)=x2+3,在其图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy).求:(1).(2)在x=1处的瞬时速度.【解析】(1)===2+Δx.(2)=(2+Δx)=2.8.已知s(t)=gt2,其中g=10 m/s2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度.(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.(3)求t=3秒时的瞬时速度.【解析】(1)Δt=3.1-3=0.1(s),Δs=s(3.1)-s(3)=·g·3.12-·g·32=3.05(m),则===30.5(m/s).(2)Δt=3.01-3=0.01(s),Δs=s(3.01)-s(3)=·g·3.012-·g·32=0.300 5(m),则===30.05(m/s).(3)由瞬时速度的定义,可知Δs=s(3+Δt)-s(3)=g(3+Δt)2-g·32=3gΔt+g(Δt)2,=3g+g·Δt,则v瞬时==3g=30(m/s).(15分钟·30分)1.(5分)(2020·开封高二检测)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为( )A.2B.4C.2cD.4c【解析】选B.根据题意,f(x)=x2+2c,则有==4.2.(5分)已知曲线y=-x2-2上一点P,则点P处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165°【解析】选C.因为点P在曲线y=f(x)=-x2-2上,则点P处的切线斜率为k====-1.所以点P处的切线的倾斜角为135°.3.(5分)已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=________时的速度为7.【解析】令s=f(t),由题意知==(12t+6Δt-5)=12t-5=7,所以t=1.答案:14.(5分)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[0,1],则点P横坐标的取值范围为__________.【解析】设点P(x0,y0),则===(2x0+2+Δx)=2x0+2.又切线斜率的取值范围为[0,1],所以0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.答案:5.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】==2x+Δx,则=(2x+Δx)=2x,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=2x0,由点斜式可得,所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是{a|a<2}.1.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a 的值为________.【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.=3+2ax0-9=3--9,当x0=-时,取最小值--9,因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以--9=-12,解得a=±3.又a<0,所以a=-3.答案:-32.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,其运动方程为s=at2.如果它的加速度是a=5×105m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为t0=1.6×10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度. 【解析】因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,所以=at0+aΔt,所以瞬时速度v==at0.由题意知a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,故v=at0=8×102=800(m/s).即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
新教材人教a版选择性必修第二册511变化率问题课件5
在P0(1,1)处的切线 P0T 点P无限趋近于点P0时的割线P P0的极限位 置对应的直线
图形
课前预习
过P0(1,1),P(x,x2)(x≠1)的割线 在P0(1,1)处的切线 P0T 斜率 联系 当x无限趋近于1时,割线变为切线,k1等于k2
(续表)
课前预习
√ ×
课前预习
2.如何理解割线斜率与平均速度、切线斜率与瞬时速度的关系?
课中探究
探究点二 曲线的割线与切线 [探索] 请阅读教材并结合图5-1-1解答以下 问题: (1)表达式中Δx,Δy的取值情况是怎样的? (2)如何计算函数y=f(x)在x=x1附近的平均变 化率?
课中探究
例2 (1)已知函数f(x)=x2-x,过曲线y=f(x)上的两点P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲线的割 线,已知割线PQ的斜率为2,求Δx的值; (2)求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
课中探究
[素养小结] 求曲线在某点处切线方程的三个步骤
课中探究
拓展 已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标为( C )
A.(-2,1)
B.(0,-7)
C.(2,1)
D.(3,11)
备课素材 C
备课素材
课堂评价
C
课堂评价
C
课堂评价
3.已知抛物线y=2x2上的点P(1,2)以及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则抛物线在点P处的
解:割线斜率是函数值在某个区间内的平均变化率,相当于平均速度;切线斜 率是函数值在某点处的瞬时变化率,相当于瞬时速度.
备课素材
备课素材
备课素材
备课素材
4.极限的含义 “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限 靠近而永远不能到达”的意思.数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变 量,此变量在变大(或者变小)且永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不 断地逼近而“永远不能够重合到A”,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而 不停止”,其有一个“不断靠近A点的趋势”.极限是一种“变化状态”的描述. 此变量永远趋近的值A叫作“极限值”(当然也可以用其他符号表示).
人教A版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题课件
1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为
s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实
数m的值为
()
A．2 B．1 C．－1
D．6
[析题建模] 读懂位移函数 → 明确函数求法 → 求解问题 解析：由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解 得 m＝1，故选 B. 答案：B
[典例1] 已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度． [解] (1) v ＝s33.1.1－ －3s3＝5×3.102－ .1 5×32＝5×3.1－03.1×3.1＋3＝30.5 (m/s)． (2) v ＝s33.0.011－ －3s3＝5×3.001.20－1 5×32＝5×3.01－03.0×1 3.01＋3＝30.05 (m/s)．
[方法技巧] 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝s(t)，则求物体在 t ＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量 Δt，位移改变量 Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度： v ＝ΔΔst； (3)求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
[方法技巧] 求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率， 最后由切点在切线上求曲线切线方程．
[对点练清]
1．求曲线 f(x)＝12x2＋1 在点 P1，32处的切线的斜率以及切线方程． 解：由已知可得，切线的斜率为 k＝Δlxim→0f1＋ΔΔxx－f1 ＝Δlxim→0121＋Δx2＋Δ1x－12×12＋1 ＝Δlxim→012ΔxΔ2x＋Δx ＝Δlxim→012Δx＋1＝1. 故切线方程为 y－32＝x－1，即 y＝x＋12.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题 【课件】
一般地，在t₁≤t≤t₂ 这段时间里，
新知讲解
思考
计算运动员在
段时间里的平均速度，你发现了什么?
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
提示：
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
它表示时间从1min 增加到8min 的过程中， 每增加1min, 水流量平均增加
课堂练习 4 求函数y=x² 在x=1、2、3 附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大?
解：函数y=x² 在 x=1 附近的平均变化率为
函数y=x² 在x=2 附近的平均变化率为
函数y=x² 在x=3 附近的平均变化率为
新知讲解 探究
瞬时速度与平均速度有什么关系? 求运动员在t=1s 时的瞬时速度?
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
表5.1-1
当△t<0时、在时间段[I+△,1]内
当△>0时，在时间段[1,1+△r]内
△t
当△t<0时，在时问段[1+△t,1]内
—0.01 —0.001
-4.951 —4.9951
—0.0001 —0.00001
1平均变化率也可以用式 表示，其中△y,△x 的意义是什么? 有什么几何意义?
解： △x=X₂-x₁ 是相对于x₁ 的一个增量，且△x值可正可负，但不能为零.
△y=f(x₂)-f(x₁)
观察图象，可以看出 表示曲线 y=f(x) 上两 点(x₁,f(x₁))、(x₂,f(x₂)) 连线的斜率
变化率问题高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
y
的值为( B )
x
2.[北师大版教材习题]某物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数
关系为s=t2-1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:
(1)t=0;(2)t=2;(3)t=4.
解
Δ
物体的平均速度为Δ
=
(1)当 t=0,Δt 无限趋近于 0
[(+Δ)2 -1]-( 2 -1)
象出现?
提示 当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小
的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.
2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为( C )
A.4
B.16
C.8
解析 曲线在点 A 处的切线斜率为
D.2
2(2+x)2 -2×22
k= lim
n 0
趋近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限趋近于点 P0 时,kn 无限
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零
过关自诊
1.如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现
=无限趋近于
Δ
估计当t=0时,瞬时速度为0 m/s;
0,
(2)当t=2,Δt无限趋近于0时,
Δ
Δ
无限趋近于4,
估计当t=2时,瞬时速度为4 m/s;
(3)当t=4,Δt无限趋近于0时,
Δ
Δ
估计当t=4时,瞬时速度为8 m/s.
无限趋近于8,
20202021学年新教材数学选择性第二册课时作业511变化率问题含解析.docx
r练基础］1.质点运动规律为s C0 = r2 + 3,则从3到3+力，的平均速度为()A. 6 + AtB. 6 + At +错误！C、3 + At D. 9 + At2.〜木块沿一光滑斜而有由下滑，S则得下滑的水平距寓s(单住:m)与酎问1 (单住：s)之间的函教关系式为5(0 =错误!产，当$ = 2 酎，此木块在水平方向的瞬酎速度为( )A. 2B. 1C.错误！D。
错误！3.~直编运动的物体，队酎间［到1 + 4 酎，物体的住移为』S,贝!J li 错误！错误！为( )A.从酎间■到1 +山~段酎间内物体的平均速度B.在f酎刻酎该物体的瞬酎速度C.当酎间为山酎物体的速度D.在酎间r +山酎刻物体的瞬酎速度4.巳知曲y = %2 - 1 上两点A (2, 3),B f2 + Jx,3 + Ay),当zlx = 1酎，直线AB的斜率吴____________ ；当= 0.1酎，直线AB的斜率.5.~物体的运动方程为s = ^t2 + 8,则该物体在t = 酎的瞬酎速度为1.求抛物线y二计+ 2工+3在点(1,6)处的切夜方程、［提能力］6.(多选题)~球沿某〜斜面有由滚下，测得滚下的垂直阻寓/?(单住:m)与酎问t (单住：sj之间的函教关絮为h (t) = 2t2 + 2f,则下列说法正确的是( )A.前3s内球滚下的垂直距寓的增量= 24 mB.在附问［2,3J内球滚下的垂直距寓的增量= 12 mC.前3s内球的平均速度为8 m/sD.在酎问［2, 3］内球的平均速度为12 m/s7.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的蒿艮h r单住:m)与起跳j后的酎问札单住：s)存在函数关条儿(t) = -4.9z2 + 6o 5^ + 10,则瞬酎速度为0m/s的酎刻s.8.巳知抛物线 > =工2 + 4与直线 > =工+10。
(U求它们的交点；(2J抛物夜在变点处的切线方程.［成厥难］10、若~物体运动方程如下：S =错误！其中住移s的单住：m,酎问$的单住：So求:(1J物体在1£［3, 5］内的平均速度；(2)物体的初速度；(3)物体在t= 1酎的瞬酎速度.1. 解析：错误！=错误！=错误！=错误！=6+』f. 答案:A2.解析：As = ^(2 +J/J 2一错误!X22=错误！[4 + 4At+(At)2-4J=错误！[(At)1 + 4J/J・••错误！=错误\At +错误！• .错误！错误！=错误！错误！=错误！o故此木块在水平方向的瞬酎速度为错误！m/s.故选C.答秦：C3.解析：由瞬酎速度的求法可知li错误！错误!表示在[酎刻酎该物体的瞬酎速度.答秦：B4.解析：当酎，直线AB的斜率kl —错误！—错误！—错误！— 5.Jx = Oo 1酎，直线A8的斜率Jyki =力工=错误！=4。
新教材人教A版选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 作业
课时作业(十二) 变化率问题[练基础]1．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt2．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1C.12D.143．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，则li m Δt →0 Δs Δt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，直线AB 的斜率是________．5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则该物体在t ＝________时的瞬时速度为1.6．求抛物线y ＝x 2＋2x ＋3在点(1,6)处的切线方程．[提能力]7．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是( )A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 mB ．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 mC ．前3 s 内球的平均速度为8 m/sD ．在时间[2,3]内球的平均速度为12 m/s8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0 m/s 的时刻是________s.9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.(1)求它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．[战疑难]10．若一物体运动方程如下：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3， 其中位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．。
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课时跟踪检测(十一) 变化率问题
1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2
,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4
D ．－2d －4
解析：选D 平均速度为5－21＋d 2
－5＋2×1
2
1＋d －1
＝－4－2d .故选D.
2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )
A.2
5 kg/m B ．3
5 kg/m C.3
4
kg/m D ．1
2
kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4
9－4
＝
39－49－4
＝3
5
(kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2
,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( )
A ．－1 m/s
B ．1 m/s
C ．2 m/s
D ．6 m/s
解析：选A ∵Δs Δt ＝
5t ＋Δt －t ＋Δt
2
－5t －t
2
Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体
在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0
Δs
Δt
＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2
在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12
D ．－1
解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx
2
－a
Δx
＝2a .
又∵切线的斜率为2,∴a ＝1.
5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13
t 3
,则该物体在时间间隔
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32内的平均加速度为________．
解析：平均加速度Δv Δt ＝32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝31
12
.
答案：3112
6．过曲线y ＝x 2
上两点A (2,4)和B (2＋Δx,4＋Δy )作割线,当Δx ＝0.1时,割线AB 的斜率为________．
解析：因为k AB ＝Δy
Δx ＝
Δx ＋22－22Δx ＝Δx 2
＋4Δx
Δx
＝Δx ＋4,所以当Δx ＝0.1时,
割线AB 的斜率为4.1.
答案：4.1
7．曲线y ＝－3x 2＋2x ＋1在点(－2,－15)处的切线方程为________． 解析：由lim Δx →0
－3Δx －2
2
＋2Δx －2＋1－[－3×－2
2
－4＋1]
Δx
＝lim Δx →0(－3Δx ＋14)＝14,可得所求切线方程为y ＋15＝14(x ＋2),即14x －y ＋13＝0. 答案：14x －y ＋13＝0
8．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2
＋1做直线运动(s 表示位移大小,单位：m ；t 表示时间,单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度大小为8 m/s,则常数a 为________．
解析：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2
＋1－a ·22
－1＝4a Δt ＋a (Δt )2
,所以Δs Δt
＝4a ＋a Δt .当t ＝2时,瞬时速度大小为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ,可得4a ＝8,所以a ＝2. 答案：2
9．运动员从10 m 高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的．设起跳t s 后运动员相对水面的高度(单位：m)为H (t )＝－4.9t 2
＋6.5t ＋10,计算在2 s 时运动员的瞬时速度．
解：运动员在[2,2＋d ](或[2＋d,2])这个时间区间内的平均速度为H 2＋d －H 2
d
＝－4.9d 2
－13.1d d
＝－13.1－4.9d .
在平均速度表达式－13.1－4.9d 中,当d 趋近于0时,－13.1－4.9d 趋近于－13.1. 因此,在2 s 时运动员的瞬时速度是－13.1 m/s.
10．若一物体的运动方程如下：(位移s 的单位：m,时间t 的单位：s)s ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
3t 2
＋2，t ≥3， ①29＋3t －32
，0≤t <3. ②
求：(1)物体在[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解：(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2,物体在[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52
＋2－(3×32
＋2)＝3×(52
－32
)＝48,
所以物体在[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝48
2＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v 0,即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为Δs Δt
＝
s 0＋Δt －s 0
Δt
＝
29＋3[0＋Δt －3]2
－29－3×0－3
2
Δt
＝3Δt －18,
所以物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0Δs
Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度,即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为Δs Δt
＝
s 1＋Δt －s 1
Δt
＝
29＋3[1＋Δt －3]2
－29－3×1－3
2
Δt
＝3Δt －12,
所以函数在t ＝1时的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
1．若曲线f (x )＝x 2
＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1
D ．a ＝－1,b ＝－1
解析：选A 因为点(0,b )在切线x －y ＋1＝0上,所以b ＝1.又lim Δx →0
f 0＋Δx －f 0
Δx
＝lim Δx →0
Δx
2
＋a Δx
Δx
＝a ,由切线方程x －y ＋1＝0知斜率k ＝1,故a ＝1.
2．物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s),求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．
解：物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为
S 1＋Δt －S 1
1＋Δt －1
＝
1＋Δt ＋1－1＋1
Δt
＝2＋Δt －2
Δt
＝
2＋Δt －22＋Δt ＋2
Δt
2＋Δt ＋2
＝
1
2＋Δt ＋2
(m/s),
即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为
12＋Δt ＋ 2
m/s.
3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变),下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度C (t ).
t 0 2 4 6 8
C (t )
0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0
(1)2≤t ≤6；(2)2≤t ≤4；(3)0≤t ≤2. 解：(1)v ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪0.029 5－0.057 06－2＝0.006 875.
(2)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.040 8－0.057 04－2＝0.008 1. (3)v ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪0.057 0－0.080 02－0＝0.011 5.。