平面向量的线性运算以及坐标运算

一、同步知识梳理

1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量) 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加（减）法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

3、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方

向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+．

二、同步例题分析

例1、判断下列命题的真假。

（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量AB 与向量BA 的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量a 的单位向量是

a a

；（10）若//a b ，则a b =；

（11）若a b =，则a b =；

b

a

C B

A

a b C C

-=A -AB =B

（12）若a b =，则//a b ；（13）若a b =，则a b =。

例2、给出下列几个命题： （1） 若//, //a b b c ，则//a c ；

（2） 若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； （3） 在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； （4） 若, m n n k ==，则m k =。 其中不正确命题的个数为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

例3、如图，在ABCD 中，1

, , 3

AB a AD b AN AC ===

，M 为BC 的中点，则MN =________。

（用, a b 表示）

变式：1、化简下列各式：

（1）+BC AB ； （2）AB AC BD CD -+-； （3）NQ QP MN MP ++-。

2、已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且=++，那么一定有（ ）

A ．AP P

B 2= B ．2=

C ．PB AP 2=

D ．AB PB 2=

3、已知R λμ∈、，则在以下各命题中，正确的命题共有 （ ） （1）0, 0a λ<≠时，a λ与a 的方向一定相反； （2）0, 0a λ>≠时，a λ与a 的方向一定相同；

M D

（3）0, 0a λ≠≠时，a λ与a 是共线向量； （4）0, 0a λμ>≠时，a λ与a μ的方向一定相同； （5）0, 0a λμ<≠时，a λ与a μ的方向一定相反。

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

4、已知任意平面四边形ABCD 中，EF 分别为AD 、BC 的中点。求证：1

()2

EF AB DC =+

5、如图，在五边形ABCDE 中，若ACDE 是平行四边形，且AB a =，AC b =，AE c =，试用, , a b c 表示向量

, , , BD BC BE CD 及CE 。

例8、设两个非零向量 a b 、

不共线， （1）若, 28, 3()AB a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线。 （2）试确定实数k 使得ka b +与a kb +共线。

变式：如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 中点，AE 交BD 于M ，试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点。

B

A

三、课后作业

1、若有以下命题：

① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则=； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ //，//，则//； ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。

2、已知下列各式：

①CA BC ++AB ； ②OM BO MB +++AB ③CD BD AC -+-AB ④+++ 其中结果为零向量的个数为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 3、在ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）

A ．=+

B ．=-

C ．=-

D ．=-

4、若a 与b 的方向相反，且>a b ，则a+b 的方向与a 的方向 ；

此时+a b

-b ．

5、若8,5,AB AC ==则BC 的取值范围是

6、（广东卷）如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =( ) A.12BC BA -+ B. 1

2

BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA +

7、在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状____

8、设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a

λ+=与2132e e b

+-=共线，则λ=__________________

9、设21,e e 是两不共线的向量，若21212133,82,e e CD e e BC e e AB -=+=+=，试证D B A ,,三点共线．

A

C

B

图1