面面垂直推线面垂直定理
线面垂直面面垂直的性质定理
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB
a
l
A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
【精选】立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理
①面面平行→线面平行（面面平行性质定理1） ②面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
复习 空间中的垂直关系
判定直线与直线垂直的方法：
① 定义(成角90°) ② 线线平行→线线垂直（a∥b，a⊥c则b⊥c） ③ 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义）
直线和直线垂直的性质：
① 线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理）
复习 空间中的平行关系
判定直线与直线平行的方法：
① 定义(在同一平面内且不相交的两条直线) ② 平面几何方法： ③ 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ④ 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ⑤ 面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
直线和直线平行的性质：
① 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 线线平行→面面平行（面面平行判定定理推
论2）
判定平面与平面垂直的方法
①定义 ②线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理）
平面与平面垂直的性质
①面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理）判定直线与平面垂直的方法：
①线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理） ②面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理） ③线线平行→线面垂直（线面垂直判定定理推论1）
直线和平面垂直的性质：
① 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义） ② 线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理） ③ 线面垂直→线线平行（线面垂直判定定理推
论）
判定直线与平面平行的方法：
① 定义（直线与平面没有公共点） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 面面平行→线面平行（面面平行性质定理1）
直线和平面平行的性质：
① 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ② 线面平行→面面平行（面面平行判定定理）
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质
∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE与平面ABC不垂直． 点评：①“折叠”问题一定要弄清折迭前后， 图形的哪些位置与数量关系发生了变化，哪 些没有发生变化． ②探索某种位置关系是否具备，通常是先假 定具备这种位置关系，然后结合条件进行推 理，如果产生矛盾，则不具备这种位置关系， 否则具备这种位置关系．
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与
平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面
与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无
数条直线与已知平面平行，这无数条直线在
同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外 一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，
4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面 有无数个平面与已知直线平行，这无数个平 ．． 作垂线，则垂足必落在交线上． 面的交线为l”弄混错用．
(3)解：∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F， ∴BF⊥平面CDEF， 即BF⊥平面DEF. ∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2. 四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2. 1 1 2 ∴S△DEF＝ (1＋2)× 2－ ×2× 2＝ 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF＝3× 2 × 2＝3.
(文)在空间中，用x、y、z表示不同的直线或 平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立， 则x、y、z分别表示的元素是( ) A．x、y、z都是直线 B．x、y、z 都是平面 C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、 z是平面 解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不 一定平行，故B错；一条直线与一个平面都 和同一个平面垂直时，直线可能在平面内， 故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
两个平面垂直的判定和性质
VC 面ABC, AC 面ABC, BC 面ABC
两个平面垂直的判定和性质(3)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析 重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。 难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成 及推理。
复习与回顾 两个平面垂直的判定方法
3、如图， , l, AB a, AB l, BC , DE , BC DE,
求证： AC DE.
归纳小结 1、两个性质：
①性质定理，面面垂直 线面垂直. ②性质定理的推论，面面垂直+线面垂直
直线在平面内。 2、一种方法：由平面外一点作平面的垂线段, 垂 足位置确定的方法，即垂足应在两个互相垂直的 平面的交线上。
当面面垂直时，作辅助线一般在一个平面内作 交线的垂线。
3、一种思想（转化思想）
线线垂直 线面垂直 面面垂直
作业： P36 10（1）、12、13、14
； 优游开户 ；
快の速度退！ 因为他看到了那双明亮の眸子之后,非常清楚,雨后此刻已经完全把他当做了敌人,他也很清楚,雨后和敌人交战の时候,是多么の恐怖. "哧！哧！哧！" 在泥屑纷飞之中,他突然听到无数声微弱不可闻の破空声,如果不是他对雨后の手段很了解,恐怕这破空声都会听不到. 他没有犹豫,竟然立刻闭上了眼睛,手中の长剑瞬间化成漫天の剑影,一边爆退,一边护住全身. "砰,砰,砰！&#
证明线面垂直的三种途径
证明线面垂直问题是高考数学试题中的常见题型之一，主要考查同学们的空间想象能力和数学运算能力.对于简单的证明线面垂直问题，通常可直接运用直线与平面垂直的定义进行证明，对于一些较为复杂的证明线面垂直问题，利用定义法无法证明结论，此时需利用转化思想，把线面垂直问题转化为线线垂直问题、面面垂直问题、空间向量问题来求解.下面重点探讨一下如何证明线面垂直.一、利用线面垂直的判定定理进行证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与此平面垂直.运用线面垂直的判定定理，需通过证明线线垂直来推出线面垂直.而证明线线垂直的常用手段有：（1）利用等腰三角形的三线合一性质（或等腰梯形上下底的中点连线与上下底垂直）；（2）利用菱形的对角线互相垂直；（3）利用勾股定理；（4）利用圆的性质：圆的直径所对的圆周角是直角.例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.求证：BM⊥平面ACC1A1.证明：∵点M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，∵AA1⋂AC=A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1.要证BM⊥平面ACC1A1，需要在平面ACC1A1内找到两条与BM垂直的相交直线，即AC与AA1.再利用线面垂直的判定定理加以证明.在证明BM⊥AC时，需要用到等腰三角形的三线合一性质，而证明AA1⊥BM 时，需用到直棱柱的侧棱与底面垂直的性质.例2.如图1，六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1//BB1//CC1//DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1=CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1()0＜λ≤1，平面BEF 与平面ABCD的交线为l.求证：直线l⊥平面B1BDD1.证明：如图1所示，连接AC、BD，∵AA1=CC1，AA1//CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1(0＜λ≤1)，∴ AE= CF，∴AE=CF，AE//CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴AC//EF，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF，∵平面BEF⋂平面ABCD=l，AC⊂平面ABCD，∴AC//l，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，∵BD⋂BB1=B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC//l，∴l⊥平面B1BDD1.要证明l⊥平面B1BDD1，需先根据菱形的对角线互相垂直的性质证明AC⊥BD，以及线面垂直的性质证明AC⊥BB1，从而根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1BDD1；最后根据平行线的性质证明结论.例3.如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB=BC=4，CD=PD=2，求证：PD⊥平面PAB.证明：如图2所示，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵AB//CD，BC⊥CD，∴四边形BEDC为矩形，在RtΔAED中，DE=BC=4，AE=2，∴AD=AE2+DE2=25，∵ΔPAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=4，∵在ΔPAD中，PD=2，∴PA2+PD2=20=AD2，∴PD⊥PA，在RtΔBCD中，BC=4，CD=2，∴BD=BC2+CD2=25，∴在ΔPBD中，PB2+PD2=20=BD2，∴PD⊥PB，而PA⋂PB=P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.我们利用勾股定理、等边三角形的性质、矩形的性质，在平面PAB中找到与PD垂直的两条相交直线PA、PB，证明PD⊥PA、PD⊥PB，便可根据线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB.图2解题宝典图1 36二、利用面面垂直的性质定理进行证明面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在解题时，往往要先根据面面垂直的定义证明两个平面互相垂直；然后确定两个平面的交线，运用面面垂直的性质定理证明线面垂直.例4.如图3，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点，求证：BC⊥平面PCE.证明：如图3所示，在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE，∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2=AF，∴四边形AFCD是正方形，∴∠BAE=∠CDE=∠CFB=90°，且CF=AD=2，∵E是棱AD的中点，∴AE=DE=1，∵AB=3，∴BC=CF2+BF2=5，CE=CD2+DE2=5，BE=AE2+AB2=10，∴BE2=BC2+CE2，∴BC⊥CE，∵PA=PD，E是棱AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，PE⋂CE=E，∴BC⊥平面PCE．先结合图形确定平面PAD与平面ABCD的交线，根据等腰三角形三项合一的性质证明PE⊥AD，进而证明PE⊥平面ABCD，便可根据面面垂直的性质定理证明PE⊥BC；然后由勾股定理和正方形的性质可证明BC⊥CE，即可根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCE.三、利用空间向量法进行证明当几何体中出现（或可以构造）两两互相垂直的三条线时，可以考虑建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，通过空间向量运算，来证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即可证明直线与平面垂直.例5.如图4，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.解：存在.理由如下：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.PA⋂DA=A，PA⊂平面ADP，DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示.则D()0,0,0，A()0,2,0，B()0,2,2，C()0,0,2，P(2,2,0)，则DB=()0,2,2，而E为PA中点，所以E()1,2,0，DE=()1,2,0，设PF=λPC()0≤λ≤1，而PC=()-2,-2,2，则PF=()-2λ,-2λ,2λ，所以F()2-2λ,2-2λ,2λ，得AF=()2-2λ,-2λ,2λ，设平面BDE的法向量为n =()x,y,z，则ìíîn ∙DB=2y+2z=0，n ∙DE=x+2y=0，取y=1，则{x=-2，z=-1，得n =()-2,1,-1，当AF⊥平面BDE时，AF//n ，则2-2λ-2=-2λ，解得λ=13，所以Fæèöø23，23，23，故PF=.首先根据线面垂直的性质定理、正方形的性质及线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ADP，即可确定两两互相垂直的三条线，据此建立空间直角坐标系；然后求出所需的各点的坐标、直线的方向向量AF、平面BDE的法向量n ；再根据AF//n ，计算出λ的值，最终求出PF的长度.在证明线面垂直时，通常要用到线面垂直的判定定理来寻找垂直关系，即便是采用空间向量法，也需要根据线面垂直的判定定理证明几何体中存在两两互相垂直的三条线，才能建立空间直角坐标系.同学们在解题受阻时，要学会灵活运用转化思想，将问题进行合理的转化，以拓宽解题的思路.本文系黑龙江省教育科学“十四五”规划教研专项重点课题《信息技术环境下的高中数学直观想象核心素养的培养研究》（课题编号：JYB1422308）研究成果.（作者单位：黑龙江省大庆铁人中学）图3F图4解题宝典37。
线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系
线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊线线垂直、线面垂直还有面面垂直的那些事儿。
你看哈，线线垂直就像是两个小伙伴在打架，谁也不让谁，非要争个上下。
比如说，一条直线直直地站着，另一条直线冲过来和它成了直角，这就是线线垂直啦，简单直接！那线面垂直呢，就像是一个勇敢的战士面对着一堵墙，直直地站在那，和墙面成了直角。
而且不管墙面怎么变化，这个战士都坚定不移，这就是线面垂直哦。
面面垂直可就更有趣啦！想象一下两个大板子，一个板子立得直直的，另一个板子和它碰到一起，还形成了直角，这就是面面垂直。
你说它们之间有没有关系呢？当然有啦！线线垂直可以推出线面垂直，就好像是一个小小的胜利积累成了大的成功。
而线面垂直又能推出面面垂直，就像一步一步升级打怪一样。
这三者的关系就像一个有趣的链条，一环扣一环，是不是很有意思呀？稿子二：亲爱的小伙伴，咱们来唠唠线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系呗！先说线线垂直，这就好比两根针，针尖对着针尖，谁也不退缩，这就是垂直啦，多干脆！线面垂直呢，就像是一根旗杆立在地面上，直直的，和地面成了直角，稳稳当当。
不管刮多大风，它都不会歪。
面面垂直呢，你就想想两块大木板，相互靠在一起，还成直角，是不是感觉很结实？其实呀，它们之间的关系可密切啦！如果线线垂直了，那么就有可能出现线面垂直的情况。
就好像是积累了足够多的小胜利，终于迎来了大突破。
而线面垂直一旦成立，面面垂直也就不远啦。
这就像多米诺骨牌，一个接着一个倒，顺理成章。
比如说，在一个房间里，墙面和地面就是面面垂直的，这都是因为线线垂直和线面垂直在背后起作用呢。
怎么样，是不是觉得这三者的关系很神奇，也很有趣呀？。
线线、线面、面面垂直的证明
例 9. 如图，在四棱锥 S ABCD 中，平面 SAD 平面 ABCD ． 四边形 ABCD 为正方形，且 P 为 AD 的中点， Q 为 SB 的中点． （Ⅰ）求证： CD 平面 SAD ； （Ⅱ）求证： PQ // 平面 SCD ；
例 10. 在等腰梯形 ABCD 中， AD / / BC ， AD
线线、线面、面面垂直的证明方法
一、线线垂直的常用证明方法 *1.共面垂直的常用方法
（1）勾股定理逆定理
（2）等腰（或等边）三角形的中线
（3）菱形对角线互相垂直 （4）1:1:2的直角梯形中的隐藏垂直关系 （5）特殊的三角形
例 1. 如图，在三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB 与 侧面 SAC 均为等边三角形， BAC 90°， O 为 BC 中点． 求证：SO⊥AO
a 平面
ab
b 平面
两个条件
例 3.如图，四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， DAB 60 ，
AB 2 AD ， PD 底面 ABCD．
证明： PA BD
例 4. 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，
SD 平面 ABCD ， E 是 SD 上的点．
例 2.如图： PD 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形，
AB // CD ， ADC 90 ， PD CD 2 AD 2 AB 2
求证：(1) BC ⊥BD
(2) BC ⊥PD
2.异面垂直的证明（重点考察内容）
定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么，这条直 线垂直于这个平面内的任意一条直线
求证： AC BE ；
二、线面垂直的常用证明方法 *1.由线线垂直推出线面垂直
两个平面垂直的判定和性质(201911整理)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析 重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。 难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成 及推理。
复习与回顾 两个平面垂直的判定方法
的平面角。
AB是⊙O的直径，故∠ACB=90o.
∴面VBC⊥面BAC。 又D、E分别是VA、VC的中点，
则DE//AC。 而AC⊥VC，即DE⊥VC， 那么DE⊥面VBC。 运用面面垂直的判定及面面垂直的性质。 转化关系：二面角是直二面角 面面垂直
线面垂直
解法二：∵VC⊥面ABC，AC 面ABＣ，
a .
例2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的 动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面, D、E分别是VA、VC的中点。直线DE与平面 VBC有什么关系？试说明理由。 解法一:
VC 面ABC, AC 面ABC, BC 面ABC
VC AC,VC BC. 则∠ACB就是面VBC果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α ⊥ β, α β, AB ⊂α, AB ⊥α 于B。
求证：AB .
E
BA
C
证明：在平面 内作BE⊥CD，垂足为B。
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角。 由α ⊥β可知AB⊥BE。
又AB⊥CD，BE与CD是 内两条相交
直线，
AB .
ED
BA
C
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结 ；
面面垂直判定定理
面面垂直在解析几何中的应用
判定定理的应用
在解析几何中，利用面面垂直的判定定理可以确定两个平面是否垂直，进而解决与垂直相关的问题。
空间角的计算
通过面面垂直的关系，可以计算两个平面之间的夹角，即二面角的大小。
面面垂直的推广与应用前景
推广至一般曲面
在机械工程中的应用
将面面垂直的概念推广至一般曲面， 研究曲面间的垂直关系及其性质。
判定条件的证明
条件一的证明
假设有两个平面α和β，且α∩β=l ，如果直线m⊥α且m⊂β，那么 根据面面垂直的定义，我们可以 得出α⊥β。
条件二的证明
假设有两个平面α和β，且直线 m⊥α，如果m∥β，那么我们可 以过直线m作一个平面γ，使得γ 与β相交于一条直线n。由于m∥n 且m⊥α，根据线面垂直的性质定 理，我们可以得出n⊥α。又因为 n⊂β，所以根据面面垂直的判定 定理，我们可以得出α⊥β。
条件三的证明
假设有两个平面α和β，它们的法 向量分别是n1和n2。如果 n1·n2=0（即n1和n2互相垂直） ，那么根据面面垂直的定义，我 们可以得出α⊥β。
03
面面垂直的性质
面面垂直与线面垂直的关系
01
如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。
02
如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点并垂直于 第二个平面的直线在第一个平面 内。
机械制造
在机械制造中，许多零部件需要保持 严格的垂直关系以确保设备的正常运 行。例如，机床的主轴与工作台需要 保持垂直，以确保加工的精度和效率 。
06
面面垂直的拓展与延伸
面面垂直与空间向量的关系
空间向量法
利用空间向量的数量积判断两个平面的法向量是否垂直，从而确定两个平面是否垂直。
7.5直线平面垂直的判定和性质
3
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, ∴MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G,பைடு நூலகம்
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的 菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB;
(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC.
∵E是PC的中点,故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,
故AE⊥PD. 易知BA⊥PD,故PD⊥平面ABE.
下图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)证明BD∥面PEC;
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点,
∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
• • • • • • •
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的 位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
m n a
解析:直线l与平面α内的两条直线都垂直,因为不知道 b c 这两条直线是否相交,所以无法确定直线l与平面α的 位置关系. 答案:D
4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E 是AB的中点.
面面垂直的判定与性质10.23
已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =CD， A平面 ， AB⊥CD且AB交CD于B. 求证：直线AB⊥平面β . 证明： 在平面β 内过B点作BE⊥CD，
AB CD BE CD
ABE是二面角α CD β 的平面角
α A
D
α β
β
E
ABE 90。
ABE 90
二面角α CD β 为直二面角 。
B C
平面α 平面β 。
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直. 简记：线面垂直，则面面垂直 符号语言： 图形： 若l , l , 则
l
1.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面， C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC 平面PBC.
面面垂直性质定理运用
1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
P b a
b a
c
c P
2.已知平面 平面 ，直线a满足a , a , 判断直线a与平面的位置关系， 并证明.
2.如图，在四面体ABCD中，BD 2a, AB AD CB CD AC a, 求证：平面ABD 平面BCD.
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别 有什么性质？
a
l
b l
c
l
类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？？
面面垂直的性质定理(最全)word资料
线面、面面垂直的性质定理教学目标：1. 掌握垂直关系的性质定理,并会应用。
2. 通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。
3. 通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点。
课时安排： 1课时.教学手段： 多媒体.教学过程：一、复习引入线线垂直 线面垂直 面面垂直二 、性质定理的引入（一）问题探究一为了改善小区电力供应， 决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？答：令它们都垂直于地面！【抽象概括】定理6.3 如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）b a b a //,⇒⊥⊥αα （数学语言，学生归纳）※归纳线面垂直的性质：1、线线垂直2、线线平行 （图形符号）【练习】（二）问题探究二在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你怎么保证电线杆都垂直于地面呢？答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！【抽象概括】a bαααααααααα⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥n n m m n m n m nm n m nm n m n m ,//)4(//,)3(,//)2(//,)1(.__________中，正确的命题序号有表示平面，则下列命题表示直线，、若定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另一个平面. (文字描述) (数学语言，学生归纳) （图形符号） ※归纳面面垂直性质：线面垂直 线面垂直 面面垂直【练习】设两个平面互相垂直，则（ ）A. 一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面B. 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C. 过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D. 分别在两个平面上的两条直线互相垂直分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.四 、 小结： 线线平行 线面平行 面面平行1、线线垂直 线面垂直 面面垂直2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.五、作业：P49 B3 、 P70 C2P68 A5－A8 在书上⎪⎩⎪⎨⎧⊥=⊥l m m l βαβα ,β≠⊂α⊥⇒m αβm l .MN 2AB MN 1M BC MN BC C B MN D C B A ABC D 1111111垂直的所有平面与直线）找出与（的关系，说明理由与）判断（于内，且平面在中，在长方体例⊥-D 1C 1B 1A 1D C B A N M .A B PBC PAB ABC PA PABC 2B C ⊥⊥⊥，求证：面面，面中，如图，在四面体例C B A P一请您介绍一下面瘫对人们日常生活造成哪些危害面瘫也叫面神经炎,医学上称为面神经麻痹,在日常生活中很常见,许多病人承受着面瘫后遗症所带来的困扰,它给这些病人在生活上、工作上及社会交往上带来很多不便,甚至造成心理上的伤害。
线面垂直与面面垂直的判定
线面垂直与面面垂直的判定线线垂直判定（1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角。
b a ,所成角为 90⇒b a ⊥（2）等腰三角形三线合一、勾股定理的逆定理等。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
c b c a b a ⊥⇒⊥,//（4）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα 线面垂直判定（1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。
若a 垂直于α内任一直线⇒α⊥aαα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,(2)线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
α⊂⊥⊥c b c a b a ,,,且c b ,相交⇒α⊥a （线线垂直⇒线面垂直）(3)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,面面垂直判定(1)面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
βα,所成的二面角为直二面角⇒βα⊥(2)面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l例1、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD F 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDF ； （2）平面PAC ⊥平面BDF ．【练习1】 如图，已知BD ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，N 是棱AB 的中点． 求证：CN ⊥AD .【练习2】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)求证：P A ∥平面EDB ； (2)求证：PB ⊥平面EFD .【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。
平面与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及性质1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线.②垂直于同一个平面的两条直线.③垂直于同一直线的两平面.2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(3) 两面角的平面角的取值范围是注意：二面角的平面角必须具备三个条件：1.角的顶点在二面角的棱上；2.角的两边分别在二面角的两个面内；3.角的两边分别与二面角的棱垂直。
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面. 例题1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m, l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α. 答案：A2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是( )A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行解析过P点存在一平面与α平行，则该平面内过P的直线有无数条都与α平行. 答案：D3.（2009·广东）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④解析当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确. 答案 D4.（2008·湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )A. n⊥βB. n∥β，或n属于βC. n⊥αD. n∥α,或n属于α解析∵n与β的位置关系各种可能性都有，∴A、B都不对.当n不属于α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l, 又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;当n属于α时，显然成立.故C不对，D正确. 答案：D5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α, n∥α,则m⊥n; ②若α⊥γ, β⊥γ,则α∥β；③若m∥α, n∥α,则m∥n; ④若α∥β, β∥γ, m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是( )A.①③B.②③C.①④D.②④解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错，选C. 答案：C题型分类题型一直线与平面垂直的判定与性质例一：如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 解析：(1)因M为AB中点,只要证△ANB 为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB. (2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴AN=BN ，∴△ABN 为等腰三角形，又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD.(2)连接PM 、CM,∵∠PDA=45°,PA ⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC ，∴PA=BC.又∵M 为AB 的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC.由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD=C,∴MN ⊥平面PCD.注意：垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来..21PC AN =∴.21PC BN =∴题型二 面面垂直的判定与性质 【例2】 在四棱锥P —ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB ＝60°的菱形,侧面P AD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD . (1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．方法与技巧1.证明线面垂直的方法证明(1)取AD的中点G，连接PG、BG、BD.∴△P AD为等边三角形，∴PG⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∴BG⊥AD，∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB.(2)连接CG，与DE相交于点H，在△PGC中作HF∥PG，交PC于点F，连接FD、EF.∴FH⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.∵H是CG的中点，∴F是PC的中点．∴在PC上存在一点F，即PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.（1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直 a ⊥α；（3）判定定理2：a ∥b ，a ⊥α可推出b ⊥α；（4）面面平行的性质：α∥β，a ⊥α可推出a ⊥β；（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l ，a 属于α，a ⊥l 可推出a ⊥β.2.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°;（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a ⊥α，b 属于α a ⊥b ；（4）线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α a ⊥b.3.证明面面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：a 属于α，a ⊥β α⊥β.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的方法.综合练习一、选择题1.若l 为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ可推出α⊥β; ②α⊥γ,β∥γ可推出α⊥β;③l ∥α,l ⊥β可推出α⊥β.其中正确的命题有( );,,:1)2(αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⊂l n l m l A n m m 、判定定理A.0个B.1个C.2个D.3个解析对于①，α与β可能平行，故错.②③正确，故选C.2.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )A.若a⊥b, a⊥α,则b∥αB.若a∥α, α⊥β,则a⊥βC.若a⊥β, α⊥β,则a∥αD.若a⊥b, a⊥α, b⊥β,则α⊥β解析A中，b可能在α内；B中，a可能在β内,也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b α或b∥α,又b⊥β,∴α⊥β. 答案：D3.a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a, b属于α, a⊥b，则α⊥β;②若a属于α, a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α, b⊥β, a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b 不垂直；对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的.答案 ②⑤4.下面四个命题： ①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.②④D.③④解析 a ∥b 推不出a 平行于b 所在的平面，反之也不成立.∴①不正确.由线面垂直的定义知②正确.a 、b 不相交时，a 、b 可能平行，此时a 、b 共面.③不正确.当α∥β时，α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等.反之，设A 、B 、C 是α内三个不共线的点，当β过△ABC 的中位线时，A 、B 、C 三点到β的距离相等，但此时α、β相交，④正确. 答案 C二．解答题1.四面体ABCD 中,AC=BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且 ∠BDC=90°. 求证：BD ⊥平面ACD. 证明 如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF.,22AC EF∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EGAC ，FG BD.又AC=BD ， 在△EFG 中，EG2+FG2= AC2=EF2.∴EG ⊥FG. ∴BD ⊥AC. 又∠BDC=90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD=C ，∴BD ⊥平面ACD.2. Rt △ABC 所在平面外一点S,且SA=SB=SC ，D 为斜边AC 中点.（1）求证：SD ⊥面ABC ；（2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面SAC.证明:（1）如图所示，取AB 中点E ，连结SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，故DE ∥BC ，且DE ⊥AB,∵SA=SB ，∴△SAB 为等腰三角形，∴SE ⊥AB.∵SE ⊥AB ，DE ⊥AB ，SE ∩DE=E ，∴AB ⊥面SDE.而SD 属于面SDE ，∴AB ⊥SD.在△SAC 中，∵SA=SC ，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC.∵SD ⊥AC,SD ⊥AB,AC ∩AB=A,∴SD ⊥面ABC.（2）若AB=BC ，则BD ⊥AC ，由（1）可知，SD ⊥面ABC ，而BD 属于面ABC ，∴SD ⊥BD ，.21AC FG EG ==∴21∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC。
点、线、面之间的位置关系——垂直关系 - 简单 - 讲义
点、线、面之间的位置关系——垂直关系 知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图．直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号语言表述：,,,,l a l b a b a b A l αα⊥⊥⊂=⇒⊥ 图像语言表述：3.线面垂直的性质定理：符号语言表述：,//a b a b αα⊥⊥⇒ αl图像语言表述：4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（,,,,a b a c b c b c M a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥）（3）平行线垂直平面的传递性（,a b b a αα⊥⇒⊥）（4）面面垂直的性质（,,,l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥）（5）面面平行的性质（,a a ααββ⊥⇒⊥）（6）面面垂直的性质（,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥图像语言表述：αβm a b α3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：,,,l m m l m αβαββα⊥=∈⊥⇒⊥ 图像语言表述：4.面面垂直的性质（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.5.证明面面垂直的方法（1）面面垂直的定义（2）面面垂直的判定定理（,a αβααβ⊥⊂⇒⊥）三、垂直模型总结1.勾股定理222a b c AC CB +=⇒⊥2.等腰三角形三线合一cba C B AD CB Aαβm l,AB AC D =为BC 重点AD BC ⇒⊥3.直径所对的圆周角为直角BD CD AD BA AC ==⇒⊥4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD 中BD AC ⇒⊥5.正方形、矩形临边垂直,AB BC BC CD ⊥⊥6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD 中，,E F 为,CD BC 的中点⇒AE DF ⊥DCB A O DCB A DCBA F EDCB A7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中AD ⇒⊥面ABC ,,,AD AB AD BC AD AC ⊥⊥⊥EFD CBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•云南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．2．（2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．3．（2016秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE【解答】解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB=，即AE⊥EB．∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．可得：BE⊥DE，因此BE⊥平面ADE．同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE．可得A，B，D正确．而DE⊥CE不正确．故选：C．4．（2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选：D．5．（2017春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC，PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），∴图中直角三角形有4个．故选：D．6．（2017•青州市模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）A．10 B．20 C．30 D．40【解答】解：设BC=x，∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，∴AB=x，AD=2x，BD=，∵∠BCD=120°，CD=40，∴cos120°=，解得x=40或x=﹣20（舍）．∴AB=40．故选：D．7．（2017秋•赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；故选：B．8．（2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．故选：C．9．（2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解答】解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对故选：D．10．（2015秋•东昌区校级期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【解答】解：连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心．故选：A．二．填空题（共4小题）11．过平面外两点，可作0或1个平面与已知平面平行．【解答】解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，∴这样的平面可能有，可能没有，故答案为：0或1．12．（2015春•上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的垂心．【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故答案为：垂．13．（2015春•上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是3．【解答】解：∵△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，∴AB==5，过C作CM⊥AB，交AB于M，连结PM，由三垂线定理得PM⊥AB，∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长，由，得CM==，PM===3．∴点P到斜边AB的距离为3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面A1B1BA∴AD⊥A1C1∵AD=，A1D=，AA1=2，由AD2+A1D2=，得A1D⊥AD∵A1C1∩A1D=A1∴AD⊥平面A1DC116．（2017秋•东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（6分）（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）。
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面面垂直推线面垂直定理
面面垂直，一面内有一直线垂直于这两面交线，得到线面垂直。
已知α⊥β，
α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。
求OP⊥β。
过O在β内作OQ⊥l，由二面角知识可知
∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
因为α⊥β所以∠POQ=90°，即OP⊥OQ，因为OP⊥l，l∩OQ=O，l?β，OQ?β，所以OP⊥β。
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
直线与平面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条
直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数
学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论
入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线
也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
该推论意味
着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。
由性质定理2可知，过空间内一点无论是否在已知平面上，有且只有一条直线与平面
垂直。
下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。