33知识讲解_两角差的余弦公式_基础

合集下载

33知识讲解_两角差的余弦公式_基础

两角差的余弦公式【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。

为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。

①若，则。

②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= 2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。

要点诠释：(1)公式中的都是任意角。

(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。

(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。

要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用=要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由xoy O Ox ,αβO ,A B (cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ== ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=- cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+ cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ+,αβαβ-αβ-[]0,π∈αβ-[]0,2θπ∈cos cos()θαβ=-[)0,θπ∈cos cos()OA OB θαβ⋅==- [),2θππ∈(]20,πθπ-∈cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==- ,αβcos()αβ-cos cos sin sin αβαβ+()C αβ-,αβαβ、()cos cos cos αβαβ-≠-cos cos sin sin αβαβ+cos()αβ-能迅速地想到。

3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦,余弦,正切公式正弦,余弦,
复习引入
1,两角差与和的余弦公式: 两角差与和的余弦公式:
cos(α ± β ) = cosα cos β sinα sin β
2,诱导公式五: 诱导公式五:
sin ( cos (
π
2 π
2
-α) = cosα -α) = sinα
sin (α + β )
π π π sin 求: α , cos + α , tan(α ) 4 4 4
例3, , π 4 3 (1)α , β ∈ (0, ), cos α = , cos(α + β ) = ) 2 5 5 (2)tan(α + β ) = 3, tan(α β ) = 2 ) 求: tan 2α , tan 2 β
探求新知
= sin α cos β + cos α sin β
sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β
sin (α ± β ) = sinα cosβ )
tan α + tan β = 1 tan α tan β
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中,cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
6 证法1: 证法1: 右边=2(sin π cos α + cos π sin α ) 6 6 1 3 =2( cos α + sin α ) 2 2 =cos α + 3 sin α =左边 1 3 证法2: 证法2:左边=2( cos α + sin α ) 2 2 π π =2(sin cos α + cos sin α ) 6 6 π =2sin( + α ) =右边 6 化为某个角的一个一个三角函数形式注:该题将 cos α + 3 sin α 化为某个角的一个三角函数形式 π 即 cos α + 3 sin α = 2sin( + α ) 6

两角和与差的余弦公式

两角和与差的余弦公式余弦公式是用来计算三角形中一个角的余弦值的公式。

它通常用于计算三角形的边长或角度。

余弦公式有两种形式，分别对应两角和与差：1.两角和的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C与角A的差的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)这两个公式可以用来计算三角形中的角度，也可以用来计算边长。

下面我们通过一些例子来说明如何应用这两个公式。

例1：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=7，AC=8、计算角C的余弦值。

解：根据余弦公式，我们需要先计算出角A和角B的余弦值，然后代入两角和的余弦公式中。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)代入具体数值，得到：cos(C) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8)=(25+64-49)/80=40/80=0.5所以角C的余弦值为0.5例2：已知三角形ABC，边长分别为AB=4，AC=5，BC=6、计算角C与角A的差的余弦值。

解：根据余弦定理，我们需要先计算出角C和角A的余弦值，然后代入两角差的余弦公式中。

使用余弦定理计算角C的余弦值：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=(16+25-36)/40=5/40=0.125使用余弦定理计算角A的余弦值：cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)=(6^2+5^2-4^2)/(2*6*5)=(36+25-16)/60=45/60=0.75代入两角差的余弦公式，得到：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)= (0.125)(0.75) + (sqrt(1 - 0.125^2))(sqrt(1 - 0.75^2))综上所述，这就是两角和与差的余弦公式的用法。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算来求值、化简和证明.

练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin

两角和与差的余弦公式

两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。

其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。

在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。

一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。

二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。

根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。

3.1.1两角差的余弦公式

原式=cos25 °cos35 °－sin25°sin35° 原式 ° ° =cos(25°+35°) =cos60° ° ° °
二、给值（式）求值给值（ 4 π 5 例2：已知sinα = , ∈ ，π）,cosβ =- , α （ 5 2 13 （ β 是第三象限角，求 cos α -β）的值。 π （思考：若将例2 去掉，思考：若将例2中的条件 α ∈ ，π）去掉，
提示：提示：（1）C=180°－(A+B),（2）正、） ° （）弦值的符号。弦值的符号。所以cosC= －cos(A+B) 所以余
33 = －cosAcosB+sinAsinB = 65
解后回顾: 解后回顾三角形中的给值求值
三.给值求角给值求角
−
π
4
π
3
小结：
1、两角和与差的余弦公式： cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
系等.
作业
P137习题3，4，5， 8
《世纪金榜》知能提升作业二十五世纪金榜》
Cα + β : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
记忆方法：记忆方法：
余余正正符号反
（一）运用公式求值
例1.利用差角余弦公式求 cos15 的值 1.利用差角余弦公式求
cos15o = cos ( 45o − 30 o ) 分析: 分析 o o o cos15 = cos ( 60 − 45 )
B (cos β ,sin β )
cos(α − β ) OA • OB = | OA | • | OB |

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

两角和与差的正弦、余弦与正切公式

b=
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2

3.1两角差的余弦公式

探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α ＋β 和β 的三角函数值，如何求cosα 的值？ ( )
cosα ＝cos[(α ＋β )－β ].
＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ
思考2：利用α －(α －β )＝β 可得 cosβ 等于什么？ cosβ ＝cos[(α －β )－α ]＝ cos(α －β )cosα ＋sin(α －β )sinα .
答案：C
2．cos60° cos15° ＋sin60° sin15° 等于( A．cos30° B．sin60° C．cos45°
) D．cos60°
解析：原式＝cos(60° －15° )＝cos45° . 答案：C
3．cos(－40° )cos20° －sin(－40° )sin(－20° )＝________.
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
例利用公式求值:sin15 1.
练习：

（） 72 cos 42 cos72 sin 42 1 sin

(2)sin 54 x cos 36 x cos 54 x sin 36 x
13 又∵cos(α－β)＝， 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝
2
13 2 1－＝ 14
3 3 . 14 由 β＝α－(α－β)得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ，∴β＝ . 2 3

知识讲解_两角差的余弦公式_基础

知识讲解_两角差的余弦公式_基础两角差的余弦公式是高中数学中的重要知识点，它是由余弦函数的性质推导出来的。

在解决数学问题中，有时候需要求解两个角之间的差，这就是两角差的概念。

两角差可以表示为角A与角B之差，记作A-B。

当然，这里的角度指的是以弧度制表示的角度。

两角差的余弦公式是指通过已知的角度和已知的三角函数值，来求解两角差的余弦值的公式。

设有两个角A和B，已知cos(A)和cos(B)，我们需要求解cos(A-B)。

首先，我们知道余弦函数的和差公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)利用这个和差公式，我们可以先求解cos(A + B)，然后再求解cos(A - B)。

我们设cos(A + B) = C，sin(A + B) = S。

根据和差公式，我们有：C = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)S = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)接下来，我们需要用到三角函数的平方和相等于1的性质。

即sin^2(x) + cos^2(x) = 1、利用这个性质，我们可以将C和S表示为关于cos(A)和cos(B)的表达式。

将上面两个等式相加，我们有：C + S = (cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)) + (sin(A)cos(B) +cos(A)sin(B))= cos(A)(cos(B) + sin(B)) + sin(A)(cos(B) - sin(B))= 2cos(A)cos(B)将上面等式右边的2cos(A)cos(B)代入cos(A + B) = C，我们得到：cos(A + B) = 2cos(A)cos(B)再利用和差公式cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，我们可以得到：cos(A - B) = cos(A + (-B))= cos(A)cos(-B) - sin(A)sin(-B)= cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)所以，我们求得了cos(A - B)的表达式。

两角差的余弦公式

§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(√) 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(×) 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(√) 4．任意角α，β，cos α－cos β＝cos(α－β)．(×)题型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简求值解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1(2018·广安期末)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是()A.22B．－22 C.12D．－12考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简、求值答案 A解析cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22.题型二给值求值例2(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)等于()A．－32B．－12 C.12 D.32考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求值答案 D解析因为sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，所以(cos α－cos β)2＝14，(sinα－sin β)2＝74－ 3.两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－ 3. 所以cos(α－β)＝32. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求值解因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思感悟给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β.②α＝α＋β2＋α－β2.③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．跟踪训练2 已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解 ∵π4<β<α<3π4，∴0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2.又sin(α＋β)＝－35，∴π<α＋β<3π2，从而有cos(α＋β)＝－45.∵cos(α－β)＝1213，∴sin(α－β)＝513.∴sin(β－α)＝－513.∴cos 2α＝cos [(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＝－3365. 题型三给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求角解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 引申探究若本例条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝5314”，则β的值是什么？解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±1114，当cos(α＋β)＝－1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3；当cos(α＋β)＝1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114＝cos(α＋β)，且α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，∴β＝π3.反思感悟求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求角解由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π，则β＝π2.两角差的余弦公式的应用典例如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝35.(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513，∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. [素养评析] 从已给信息得出角α，β的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.1．(2018·滨州期末)cos 165°等于( ) A.12 B.32 C ．－6＋24 D ．－6－24 考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案 C解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋24.故选C. 2．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案 A解析依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×55＋35×255＝2525. 3．(2018·河南商丘九校联考)cos(－40°)·cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案 12解析原式＝cos(－40°)cos 20°＋sin(－40°)sin 20° ＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.4．已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，求α－β的值．考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求角解 ∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，求α－β的值．考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式综合应用解因为a ⊥b ，所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0.因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2.1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值．(2)确定角所在的范围(找区间)．(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.。

高三数学复习课件【两角和与差的正弦、余弦和正切公式】

课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三角函数求值中.
返回
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
返回
2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB

课时1 两角差的余弦公式

所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝3143，
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝71×1134 ＋4 7 3×3143＝12.
(备选题)若 cos(α－β)＝ 55，cos 2α＝ 1100，并且 α，β 均为锐角且 α＜ β，求 cos(α＋β)的值．
则 cos(α－β)的值为( A )
A．－6635
B．－3635
63 C.65
33 D.65
解析：因为 α 为锐角，且 cos α＝1123，所以 sin α＝ 1－cos2α＝153.因
为 β 为第三象限角，且 sin β＝－53，所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－45，所以
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1123×－45＋153×－35＝－6635.
二、提出问题 1．两角差的余弦公式是怎样推导出来的？ 2．两角差的余弦公式的展开式有什么特征？怎样记忆？ 3．两角差的余弦公式还有哪些方面的应用？
1．了解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式在求值、化简中的应用，提高学生数学运算的能力．
2．灵活应用两角差的余弦公式解决求值、求角等问题，培养学生数学运算的能力.
－8 2＋3 D. 15
解析：因为 cos2π＋β＝－sin β＝－13，所以 sin β＝31.又 α，β 都是锐角，
所以
cos
β＝2
3
2 .
因为 sin32π－α＝－cos α＝－54，所以 cos α＝54.又 α，β 都是锐角，所
以 sin α＝35，
所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×232＋35×13＝8

《两角差的余弦公式》课件

1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式的几何意义，能够熟练应用公式进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05

两角差的余弦公式

两角差的余弦公式余弦公式是解决三角形的常见方法之一，它可以用来计算三角形中的一些角的大小，当我们已知三角形的三边长度时，余弦公式可以非常方便地帮助我们解答。

余弦公式的表达式如下：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度，C表示待求的角度。

在这个公式中，我们可以将C换成A或B，来计算其他两个角的大小。

如果我们已知角A和边a的长度，要计算其他两个角的大小，可以使用以下公式：cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)这些公式中都使用了余弦函数，因为它们可以直接用来计算角度。

当我们已知三边的长度，通过余弦公式，我们可以得到每个角的余弦值，然后再通过反余弦函数（arccos）来计算角度的大小。

余弦公式非常重要，并且在实际问题中有很广泛的应用。

下面我们将通过一个例题来说明如何使用余弦公式。

例题：已知一个三角形的两边分别为a = 6cm，b = 8cm，夹角为C = 45°，求第三边c的长度和另外两个角的大小。

解题思路：1. 根据余弦公式，我们首先可以计算出夹角C的余弦值。

将已知量代入公式，得到cosC = (8² + 6² - c²) / (2 * 8 * 6)。

2.接下来，我们可以通过反余弦函数来计算角C的大小。

使用计算器或数学工具，我们可以得到C≈37.38°。

3. 然后，我们可以通过余弦公式计算第三边c的长度。

将已知量代入公式，得到c = √(8² + 6² - 2 * 8 * 6 * cosC) ≈ 4.22cm。

4.最后，我们可以通过补角定理计算其他两个角的大小。

根据补角定理，角A=90°-C≈52.62°，角B=180°-A-C≈90°。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________．解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－22 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45，可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B4.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B5.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)6.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sin A cos A2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A 3.正切的二倍角公式：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)这些公式在三角函数的学习中非常重要，可以用于简化计算，推导其他公式，解三角方程等。

以上是两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的简要描述。

详细阐述这些公式需要更多的字数，下面将对每个公式进行更详细的解释。

1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B这个公式表示角A和角B的和的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦加上角A的余弦乘以角B的正弦。

2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这个公式表示角A和角B的差的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦减去角A的余弦乘以角B的正弦。

3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B这个公式表示角A和角B的和的余弦等于角A的余弦乘以角B的余弦减去角A的正弦乘以角B的正弦。

第三章两角差的余弦公式

1 π 4 3 解：由 cosα＝，0<α< ，得 sinα＝ . 7 2 7 π π 13 由 0<β<α<2，得 0<α－β<2. 又∵cos(α－β)＝14， 13 2 3 3 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ 1－14 ＝ 14 . 由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
自测自评
1．cos345° 的值等于( 2－ 6 A. 4 2＋ 6 C. 4 ) 6－ 2 B. 4 2＋ 6 D．－ 4
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
解析：cos345° ＝cos(－15° ＋360° )＝cos(－15° )＝cos15° 2 3 2 ＝cos(45° －30° )＝cos45° cos30° ＋sin45° sin30° ＝ × ＋ 2 2 2 6＋ 2 1 × ＝ . 2 4
温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
规律归纳解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未知角用已知角表示出来．
人教A版必修四· 新课标· 数学
版块导航
由三角函数值求角问题 5 10 【例 3】已知 α、均为锐角， sinα＝， β 且 cosβ＝， 5 10 求 α－β 的值．
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.

两角差的余弦公式课件

两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
公式简记符号使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍然成立.
(3)公式的灵活应用首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

33知识讲解_两角差的余弦公式_基础