33知识讲解_两角差的余弦公式_基础

两角差的余弦公式

【学习目标】

1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.

2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

【要点梳理】

要点一：两角差的余弦公式

1．两角差的余弦公式的推导：

（1）如图，在平面直角坐标系xoy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==

由向量数量积的概念，有

||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-，结合向量数量积的坐标表示，有

cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+

所以cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （*）

（2）由以上的推导过程可知，,αβ是任意角，则αβ-也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的αβ-[]0,π∈。为此，我们讨论如下：

由于αβ-是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角[]0,2θπ∈，使cos cos()θαβ=-。

①若[)0,θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-。

②若[),2θππ∈，则(]20,πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-

由以上的讨论可知，对于任意的,αβ，都有：

cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ()C αβ-

2．公式的记忆

右端为,αβ的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。

要点诠释：

(1)公式中的αβ、都是任意角。

(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ-≠-。

(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。

要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用

1．逆用

cos cos sin sin αβαβ+=cos()αβ-

要点诠释：

公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50cos20sin50sin 20︒︒+︒︒能迅速地想到

()cos50cos 20sin 50sin 20cos 5020cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=

。 2．角变换后使用 []cos cos ()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++。

3．移项运用

cos cos cos()sin sin αβαβαβ=--

sin sin cos()cos cos αβαβαβ=--

4．特殊化使用

cos()cos cos sin sin sin 222

πππ

αααα-=+= 5．以β-代β []cos ()cos cos()sin sin()αβαβαβ--=-+-

即()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-

【典型例题】

类型一：利用差角的余弦公式进行证明

高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1

例1．求证：

（1）cos()cos cos sin sin +=-αβαβαβ

（2）sin()sin cos cos sin ±=±αβαβαβ

【思路点拨】（1）用β-代β，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用sin()cos ()2παβαβ⎡⎤+=-+⎢

⎥⎣⎦及两角和的余弦公式可证得。

【证明】（1）cos()αβ+=[]cos ()cos cos()sin sin()αβαβαβ--=-+-

=cos cos sin sin αβαβ-

（2）sin()cos ()cos ()22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =cos()cos sin()sin 22

ππαβαβ-+- =sin cos cos sin αβαβ+

sin()cos ()cos ()22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤-=--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

=cos(

)cos sin()sin 22

ππαβαβ--- =sin cos cos sin αβαβ- 举一反三：

【变式1】2222cos 2cos sin 2cos 112sin

=-=-=-ααααα

证明：cos 2cos()cos cos sin sin ααααααα=+=- =2

2cos sin αα-

=22cos (1cos )αα--

=22cos 1α-

=22(1sin )1α--

=212sin α-

类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式

例2．化简：52cos 2cos 663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【答案】 0

【解析】

原式 5522

cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin cos sin 666633

x x x x x x π

π

ππππ=+++ 22

cos 2cos sin sin 2sin cos 333333x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

1

1sin cos 02222x x ⎛⎛=++-= ⎝⎭⎝⎭

。

【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。

举一反三：

【变式1】化简：cos(

3)cos(3)sin(3)sin(3)4334x x x x ππππ⋅--⋅++-。

【答案】

4 【解析】

原式=cos(

33)43x x ππ++- =cos(

)34ππ+ =cos cos sin sin 343

4π

πππ-

=12

=4

类型三：利用差角的余弦公式求值

例3．求值：

（1）cos15︒

（2）cos40cos70cos20cos50︒︒+︒︒

（3）cos(α－35°)·cos(25°+α)+sin(α－35°)·sin(25°+α)；

【思路点拨】（1）利用156045=-求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把α－35°和25°+α看