谈谈“反证法”证明题中的应用

谈谈“反证法”证明题中的应用

【摘要】在数学问题的证明中，反证法是一种重要的证明方法，用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”。

【关键词】反证法存在性否定性唯一性证明矛盾

在数学问题证明中，反证法是一种重要的证明方法，反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题。要证命题“若A则B”正确，途径之一是证与其等价的逆否命题正确。即从否定B出发，作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理，最后推出与A矛盾的结论，即原命题得证。用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”四个步骤。

下面通过不同的例题来说明反证法应用。

1 存在性命题

例1：证明任何大于1的整数一定有素因子。

分析：用反证法，首先要找出问题的否定形式，即否命题。本题结论的反面是：至少存在一个大于1的整数没有素因子，我们设法导出矛盾。

证明：假设有一个大于1的整数A没有素因子，则A本身一定不是素数，又A>1，故A为合数，则它一定有一个异于1和A的真因子B，故而A>B>1，且B也不是素数（否则B为A的素因子），同理B又有一个素因子C，满足A>B>C>1，且C亦不为素数，由此我们得到A>B>C>D>…>1，也就是说，在A 和1之间有无穷多个正整数，这当然是不可能的，故而假设不成立，原命题获证。

例2：证明：A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1。

分析：这个问题看上去很简单，但是要直接证明却不容易。那么应用反证法，就可以轻松获证。

证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+EAM，同理，AB>BM，即在△AMB，AB大于其他两边。

由“大边对大角”知，

∠AMB>∠ABM，

同理，∠AMB>∠BAM。

所以

3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°。

同理，∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°。

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠EMA>360°。

但是，显然，这六个角围成了一个圆角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾，故而假设不正确，所以原命题成立。

例4：已知空间四点A、B、C、D不在同一个平面内（如图2），求证：直线AB和CD既不相交也不平行。

分析：该问题是起始性命题，很难找到直接证明的论据，而否定结论以后却很容易根据定义、公理引出矛盾。

证明：假设直线AB和CD相交或平行，由平面的基本性质中的公理3的推论2、3可知，这两条直线确定一个平面α，则有AB∈α，CD∈α，由平面的基本性质中的公理1和A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，即点A、B、C、D在同一平面α内，这与已知条件矛盾，故直线AB和CD既不相交与不平行。

立体几何中直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的定理也都是。类似题目也不少，此处不再多述。

3 唯一性命题

例5：求证方程x=sinx+α（α为常数）的解唯一。

分析：直接求解或证明是很难的，象这种唯一性命题常常采用反证法。

证明：设该方程的解不唯一，即至少有两个解x1、x2（x1≠x2），于是x1=sinx1+α，x1=sinx2+α，两式相减再化积得：

例6：试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有且只有一条。

证明：（1）存在性：

直线y=0，显然通过点，且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。

（2）唯一性：

假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点，且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数。

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有且只有一条。

例7：证明过一点和已知平面垂直的直线只有一条（如图-3）。

证明：不论点P在α内或外，设PA⊥α，垂足为A（或P）。如果过点P，除直线PA垂直外，还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β=a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于α，这是不可能的，所以过点P与α垂直的直线只有一条。

参考文献：

[1]赵雄辉.证明的方法〔M〕.湖南人民出版社.2001.85-92.