探索性问题解决策略

探索性问题的解决策略扬州大学附属中学 何继刚数学问题由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成，这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。

条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。

高考题中一般对这类问题有如下思考方法：（1）直接法；（2）观察—猜测—证明；（3）赋值法；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）从特殊到一般；（7）从特殊到一般再到特殊；（8）等价转化。

（一）解决条件追溯型问题的主要策略条件追溯型问题是针对一个结论，条件未知尚需探究，或条件增删尚需确定，或条件正误尚需判断。

解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。

例1 当[]1,0∈x 时，不等式()()0sin 11cos 22>-+--θθx x x x 恒成立吗？若恒成立，请给出证明。

若不恒成立，请简述理由，并求出该不等式恒成立的条件。

解法1 反例：当2πθ=时，该不等式不恒成立。

若该不等式恒成立，令x=0, x=1， 由已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，设()()θθsin 11cos )(22x x x x x f -+--=θθθθsin )sin 21()sin cos 1(2++-++=x x()()θθθθθθθθθsin cos 14sin 21sin sin 2cos 22sin 21)sin cos 1(22+++-+⎪⎭⎫⎝⎛+++-++=x 由0cos ,0sin >>θθ 可知1sin 2cos 22sin 210,0sin cos 1<+++<>++θθθθθ结合原不等式对任意[]1,0∈x 恒成立可知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++-=>>0)sin cos 1(4sin 21sin )(0cos 0sin 2min θθθθθθx f 可得212sin >θ 所以)(1252122Z k k k ∈+<<+ππθππ解法2 反例同上。

令x=0, x=1 由已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，当()1,0∈x ，原不等式变为0cos 1sin 12>+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθx x x x令t xx=-1 +∈R t 即0cos sin 2>+-θθt t 令θθθθθθsin 41cos sin 21sin cos sin )(22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t t f 所以0sin 41cos )(min >-=θθt f解得212sin >θ 所以)(1252122Z k k k ∈+<<+ππθππ 评注：本题先令x=0和x=1得到0cos ,0sin >>θθ，大大的缩小了θ的考察范围，为后面的解答提供的很大的方便。

这种从特殊入手，探究一般规律的思维方法应在解题实践中认真学习。

例2 已知数列{}n a 的首项a a a (1=为常数），()2242*21≥∈+-+=-n N n n n a a n n 。

（1）{}n a 是否可能是等差数列？若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由。

（2）设)2,(,*21≥∈+==n N n n a b b b n n ，n S 是数列{}n b 的前n 项的和，试求使{}n S 是等比数列的实数a ，b 满足的条件。

解：（1）由已知条件a a =1，(),......4,3,224221=+-+=-n n n a a n n 所以 2228422-=+-+=a a a 542129223-=+-+=a a a 882234-=+=a a a 22212-=--=-a a a a a 3223-=-a a a 3434-=-a a a若{}n a 成等差数列，则2312a a a a -=-，得1=a ；由2334a a a a -=-，得0=a ，矛盾。

所以{}n a 是不可能是等差数列。

（2）因为 2n a b n n +=，211)1(++=++n a b n n 22)1(2)1(4)1(2++++-++=n n n a n()22222≥=+=n b n a n n22422+=+=a a b当1-≠a 时，0≠n b ，{}n b 从第2项起是以公比为2的的等比数列。

所以()()()()1222121222111-++=--++=--n n n a b a b S 。

2≥n时，()()()222122222212221111--+⋅+---=--+⋅+--+⋅+=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n 若{}n S 是等比数列，则()21≥-n S S n n为常数。

如果1-≠a ，则022=--a b如果1-=a ，则()32,012≥==-n b b b n n ，得()20≥=n b nb b b b S n n =+++=∴ (21)若{}n S 是等比数列，则0≠b综上，{}n S 是等比数列，实数a ，b 满足的条件为⎩⎨⎧+=-≠221a b a 或⎩⎨⎧≠-=01b a 评注：本题是数列探究性问题，往往通过特殊的个体总结出一般的规律（1）要否定一个结论，只要通过前面几项即可，（2）的证明必须对每一项都要满足，所以要对第一项进行检验。

另一方面，)2(1≥-n S S n n为常数，也可以理解为 t a b a a b a n n =--+⨯+--+⨯+-222)1(222)1(1（t 与n 无关）对n ≥2恒成立，即方程0)22()1(2)2)(1(1=--⨯-+⨯-+-a b t t a n 对n ≥2恒成立，在条件a ≠1下，同样可得022=--a b （此时t 必等于2）这里运用了代数恒等思想。

（二）解决结论探索型问题的策略结论探索型问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

探索结论之后论证结论是解决这类问题的一般形式。

有时运用定义或定理直接导出结论，有时可通过具体到抽象，特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明，有时通过类比，联想，猜测出结论，再加以证明。

例 3 已知正方体的棱长为P a ,和Q 是该正方体表面上的两点，求线段PQ 长的最大值。

思路分析：由于点P 、Q 在正方体六个面上的相对位置有共面、相邻、相对等情况，应分别观察讨论，可以先从最简单的共面→相邻→相对进行。

解：P 与Q 在正方体六个面上的位置关系可分为三类：（i ）在同一个面上；（ii ）分别在相邻的两个面上；（iii ）分别在相对的两个面上。

分别对三种情况进行讨论：（1）P 、Q 在同一个面上时，根据正方形的性质，由正方形边长为a 可知有a PQ 2||≤；（2）当P 、Q 分别在两个面上（如右图）， 在面1AD 中，作11D A PS ⊥于S ，连SQ ， 由面⊥AD 面11C A ，得⊥PS 面11C A ，故SQ PS ⊥， （图在数学高考题型与方法研究P227/）2222223)2(a a a SQ PS PQ =+≤+=∴，即a PQ 3||≤（此处a SQ 2≤，是使用（1）的结果）。

（3）若P 与Q 在相对的两个面内（如右图）， 过P 作⊥PS 面C B 1于S ，连SQ ，显然PS 是两平行平面D A 1与C B 1间的距离，故a PS =；又⊥PS 面C B 1，而⊂SQ 面C B 1， （图在数学高考题型与方法研究P227/） SQ PS ⊥∴，根据（1），a SQ 2≤， 2222223)2(a a a QS PS PQ =+≤+=∴，即.32a PQ ≤ 而当P 与A 重合，Q 与1C 重合时，a AC PQ 31==，故PQ 的最大值为.3a评注：这是一个立体几何的“结论探索题”，首先应发挥你的空间想象力，考虑这两个点在正方体六个面上的相对位置有哪几种，然后分别在每种情况下求PQ 长的最大值。

实际上，我们在讨论立体几何问题时常常可以与平面几何中相关问题进行类比，从中寻找出解题思路，此题可以与平面几何中“求正方形的周边上两点P 、Q 的最大距离”类比。

（图在数学高考题型与方法研究P227/最下面）当P 、Q 在同一边时，PQ 最大值是a ；在相邻边上，最大值是a 2；在相对边上，最大值也是a 2. 故综合得PQ 的最大值为对角线长a 2.我们不仅可以从中找出分类讨论的方法，而且也可以猜测出正方体面上两点间最大距离也应是其对角线长.3a在立体几何与平面几何的图形元素之间，这样的类比很多，如（正）四面体与（正）三角形，平行六面体与平行四边形，正方体与正方形，球与圆等等。

另外，此题中，证明a PQ 3≤后，还不能断言a 3就是最大值，必须找出等号成立的情形，方可下结论。

（三）解决存在判断型问题的策略存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后进行演绎推理，或导出矛盾，即可否定假设，或推出合理结论验证后即可肯定结论，对于“存在”，“不存在”已肯定的问题，或直接用条件证明或采用反证法说明。

例4 如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，61=AA ，Q 为1CC 的中点，1,3,,,1111111==∈∈∈N D M A D C N B A M AA P（1）若二面角1A PM N --的余弦值为31， 试确定P 点的位置。

（2）在棱1AA 上是否存在点P ，使得⊥1QA面若存在，确定P 点的位置；若不存在，请说明理由解：设t P A =1，建立如图所示的坐标系， )0,2,4(--=,3,0(t -= 设平面PMN 的法向量为1n =（x y z 则有⎩⎨⎧=-=--03024tz y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==t x z t y 63令z=6 得)6,2,(1t t n -=而平面MP A 1的法向量)0,0,1(2=n31|364|||22=++-=t t t解得3±=t 又0>t 3=∴t即P 为1AA 的中点（2）若存在，则有MN Q A ⊥1 而()3,4,41-=A()()080324)4(41≠=⋅+-⋅+-⋅-=⋅∴MN Q A所以在棱1AA 上不存在点P ，使得⊥1QA面PMN 评注：本题是立体几何的位置确定的探索性问题，（1）一般是已知P 点的位置，求二面角，但在此已知二面角来确定P 的位置，可运用方程求解待定参数。