对称张量的散度的散度
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
22
第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
对称的变形速率张量
对称的变形速率张量对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的张量。
在材料力学领域中，变形速率张量是一个重要的概念，它可以帮助我们理解和分析物体的变形特性。
变形速率张量是一个二阶张量，具有三个主轴和三个主值。
其中的主轴对应着物体的主要变形方向，而主值则表示了物体在该方向上的变形速率大小。
对称的变形速率张量具有一个重要的特性，即其主轴与物体的对称轴一致。
这意味着物体在变形过程中，对称轴上的变形速率是相同的，而其他方向上的变形速率可能不同。
为了更好地理解对称的变形速率张量，我们可以以一个弹性材料的拉伸变形为例。
当一个弹性材料受到拉伸力时，其会发生变形，形成一个拉伸状态。
在这个过程中，材料会沿着拉伸方向发生线性的变形，而在垂直于拉伸方向的方向上则几乎不变形。
这意味着材料的变形速率在拉伸方向上是最大的，而在垂直于拉伸方向的方向上则是最小的。
因此，这个变形过程中的变形速率张量是对称的。
对称的变形速率张量在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在材料的弹性和塑性变形分析中，对称的变形速率张量可以帮助我们确定材料的变形特性和应力分布情况。
此外，在流体力学中，对称的变形速率张量也被用来描述流体的剪切变形和应变率分布。
在工程实践中，我们通常使用应变率传感器来测量物体的变形速率。
这些传感器可以将物体的变形速率转化为电信号，从而实现对变形速率的测量。
通过测量不同方向上的变形速率，我们可以得到对称的变形速率张量的主值和主轴。
这些数据可以用于进一步分析和设计工程结构。
对称的变形速率张量是描述物体在变形过程中各个方向上的变形速率的重要工具。
它的应用范围广泛，可以帮助我们理解和分析材料和流体的变形特性，以及设计和优化工程结构。
通过测量和分析变形速率张量，我们可以更好地理解物体的变形行为，并应用于实际工程中。
张量运算的注意点
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的
数，也可以用后面矢量运算
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯
度），张量扩张。Βιβλιοθήκη 书中公式，P • P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
当A为反对称张量时，有
J为哑指标，相消。留下自
由指标i，运算ei 后加上
A • a ijk wk eie j • ases ijk wk a jei w a
(最新整理)张量基础知识
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
对称的 bregman散度
对称的bregman散度
Bregman散度是一类用于衡量两个概率分布之间的差异的函数。
对称的Bregman散度是一种特殊的Bregman散度，它具有对称性，即对于分布P和Q，Bregman散度的值与P和Q的顺序无关。
假设我们有两个概率分布P和Q，它们的密度函数分别为p(x)和q(x)。
对称的Bregman 散度定义如下：
\[D_B(P,Q)=B(p,q)+B(q,p)\]
其中，B(p,q)是Bregman散度的标准定义：
\[B(p,q)=\sum_{i}p_i\cdot\left(f(q_i)-f(p_i)-f'(p_i)\cdot(q_i-p_i)\right)\]
这里，f是凸函数，f'是f的导数。
对称的Bregman散度的对称性使得它在交换P和Q时保持不变。
这种性质在一些概率模型和信息理论的应用中很有用，例如在生成对抗网络（GANs）中，对称的Bregman散度可以用作损失函数来度量生成分布与真实分布之间的差异。
需要注意的是，具体的Bregman散度形式取决于所选择的凸函数f。
在实际应用中，根据具体的问题和需要选择适当的凸函数。
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
在球系中的旋度、散度、梯度的物理求法
2 (r sin A r )drdd r 同理沿 方向的发散量为 (A r sin ) | d drd (A r sin ) | drd
u 1 u 1 u 、 、 。所以 u 的 r r r sin
────────── 收稿日期：2001-06-12 作者简介：田广志（1957-） ，男，河北省遵化市人，唐山师范学院物理系副教授。 - 52 -
田广志
王继仓：在球系中的 u 、 A 、 A 物理求法
进行： A r | dr A r | d dr (r A ) | r dr d (r A ) | r d
3 矢量场 A （ r、、 ）的旋度 A
在球系中令 A(r、、) A r r A A 。
第 23 卷第 5 期 Vol. 23 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2001 年 9 月 Sep. 2001
在球系中的 u 、 A 、 A 的物理求法
田广志 1 王继仓 2
(1.唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000；2.丰南市黄各庄中学，河北 丰南 063300) 摘 要：据梯度、散度、旋度的定义，用物理的方法给出了在球坐标系中的表达式；此方法也可以推广到其
A MP A PQ A QR A RM (A r) | d (A r) | d d (A r sin ) | d d (A r sin ) | d
流体力学 数学基础
高等流体力学第一章第章预备知识●场论与正交曲线坐标•场：具有物理量的空间=f t •物理量()f R t 空间位置，§1.1 向量及张量的基本运算一向量运算符号规定、向量运算符号规定1、爱因斯坦（Einstein ）求和符号定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的指标（哑指标）如：i i 112233a =a +a +a e e e e ++()12112233i i j j 12k a b k =k a b +a b +a b +3k +e e i克罗内尔2、克罗内尔（Kronecker ）δ符号定义：任意两个正交单位向量点积用表示ij δ1i=j =δ=⎧e e i =1i j ij 0i j ⎨≠⎩123i j ，，，3、置换符号任意两个正交单位向量叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号i j ijk ke e e e ×=ijk e j i ⎧0j k 231i j k 123123ijk e ⎪=⎨，，中有个或个自由指标值相同，，中按顺序任取个排列 1 i j k 132133⎪−⎩，，中按顺序任取个排列e e 123123i j ijk k a b e a a a ==e e 123b b b()()()()()()() a b c d a c b d b c a d ××=−i i i i i三、向量分量的坐标变换i i i i =a a ′′=e e a 和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方i i a a ′，i i ′e e ，a 向余弦）为(123)j j j l m n j =，，，，各坐标轴方向余弦e e e ()()123i i i i i i i a a a i =, , ′′′′==e e e e i i 123123l l l m m 1′e ()()123i i i i i i i a a a i=, , ′′′′==e e e e i i 12′′e e 123123 m m m n n n 23′′e e 3′e例如：阶的基本算()()()1121311123112233a a a a l a l a l a ′′′′=++=++e e e e e e i i i 四、二阶张量的基本运算二阶张量是两个向量的并积表示为：()B j 123i i j j i j i j ij i j a c a c b i =, , ===e e e e e e ，ac =！i j j i≠e e e e二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则()i j i j i ja b c d ±±e e ab cd =()()()c =c =c =c i i i i a b a b b a b a ()()()i i i i ab cd =a b c d =b c ad =ad c b b b d b d d b ()()()()()()==i i i i i i i i c ab d =c a c a a c ()××ab c =a b c 2、二阶张量分量的坐标变换B=b b =′′′′e e e e ij i j i j i j()()()ij i j i i j j i j i j ij b b b ′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ′′，i j i j i i j j ij i j i j b b b ′′′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ，例如：()()()j ()()()()()()11211122112312111213b b b b ′′′′′′′′=++e e e e e e e e e e e e i i i i i i ()()()()()()()()()()()()211221221222231223311321321322331323b b b b b b ′′′′′′′′′′′′++++++e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e i i i i i i i i i i i i 1111121213132l m b l m b l m b l =+++12122222323m b l m b l m b ++313132323333l m b l m b l m b +++T =−）二阶单位张量()()22ij ij ji ij ji T T T T ++5）二阶单位张量：ijδϕgradϕϕϕϕ∂∂∂=++i j kl x y z∂∂∂∂x y z∂∂∂在直角坐标系中的梯度●重要性质：2、向量梯度的定义、性质定义个●定义：一个二阶张量向量的散度的定义物理量的散度可用来判别场是否有源1、向量的散度的定义如：Q=d d i v sd =++V xy z ΔΩ∫∫∫⎜⎟∂∂∂⎝⎠y x z ∂∂∂a a a 则有div x y z++∂∂∂a =◆流体力学中x z y div y x z∂∂∂++P p p p =则应力张量散度x y z∂∂∂3、有源场与无源场∂()xx xy xz p u+p v+p w x =∂()yx yy yz p u+p v+p w y∂+∂∂()zx zy zz p u p v p z+++∂三物理量的旋度三、物理量的旋度⎛⎞⎞a a rot y y x x z z y zz x x y ∂∂⎛∂∂∂∂⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠a a a a a =i +j +k xy z ∂∂∂=∂∂∂a a a xyz◆流体力学中速度旋度为：δ解：rot rot rot rot ωω=+×=×V V R R ()()0δi ωω×=R x z x y z y x x z z y ωωωωωω−−+−−−k ()()()y x x y ⎥⎢⎥∂∂∂⎦⎣⎦2222ωωω=i+j+k =ωx y z j ∴ rot 2δ=V ω§1.3 哈密顿（x ∂ix ∂i=div ∂∂∇=i i i a a e a =e a =rot i i x x ∂∂∇×××=∂∂a a e a =e a i i i i x x ∂∂i i2i j x x x x 2∂∂∂∇=∇∇==∂∂∂∂i i a a a a e e i j i i§1.4 广义高斯（Gauss ）定理与斯托克斯（Stokes ）定理一广义高斯定理、广义高斯定理d dA τ∇=∫i i a n a d dA τ∇=∫n Aτ∫A τϕϕ∫ d dA τ∇×=×∫∫a n a 二、斯托克斯定理A τ标量势向量势和场()A ldA dl ∇×=∫∫i n a a i 三、标量势及向量势、调和场可以证明0∇×∇a =a =∇×i =a =b 式中称为向量的标量势，称为向量的向量势ϕ 0∇∇a ϕa b a流体力学中速度势为单位质量力=●流体力学中，速度势，单位质量力的势定义为ϕϕ∇V −∇f = U f U ●如向量处处是无旋的，即，，同时又是无散的即=0∇×a ϕ∇a =是无散的，即则其势必满足此时向量场称为调和场=0∇i a ϕ=0ϕϕ2∇∇=∇i 此时，向量场称为调和场，为调和函数ϕa。
矢量和张量
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义： 矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。 矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方 向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定 是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号 矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地， 一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者 亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数， 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标 不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的 转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一 个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢 量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组 成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有
0 场论与张量基本知识
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
张量第一章
第一章 笛卡儿张量§1.1 指标表示法一：指标标号，自由指标x x =1 y x =2 z x =3 i x 1=i ，2，3基矢量i e =1 j e =2 k e =3i e 1=i ，2，3 任意一个矢量 i a 1=i ，2，3 332211e a e a e a a ++=二：求和约定 哑标在一个单项式中，同一个指标重复出现两次，则将该指标按顺序1，2，3轮换求和。
该重复出现的指标为哑标。
如：332211b a b a b a b a i i ++=三：Kroneker ij δ⎨⎧≠==ji j i ij1δii δ=3 ， ijj i j ij ij i j ij ijhj ih e e x x x a δλδαλδδδ=-=-=)(四：Levi —Civita 符号 i j k e⎪⎩⎪⎨⎧-=非循环序列逆循环序列（循环序列),,(0),,1),,(1k j i k j i k j i e ijk1、循环序列： 1312231123===e e e2、逆循环序列： 1132213321-===e e e3、非循环序列： i ,j ,k 中有两个以上的指标取相同值4、奇置换和偶置换： 在i ,j ,k 的具体序列中将指标顺序进行调换，奇数次为奇置换，偶数次为偶置换，序列偶置换属于原序列，奇置换则 循环↔逆循环，非循环序列任何置换均为非循环序列。
kj ijk i kk j j i i k j i ijk b a e c b a e b a c e c c e b b e a a ba c a a a e a a a a a a a a a a ==⨯====⨯===222321333231232221131211五：求导的简化法()()i ix ,=∂∂()i ix ,ϕϕ=∂∂()jk i kj i u x x u ,2=∂∂∂数量场Φ的梯度 i i e e x e x e x g r a d ,332211φφφφφ=∂∂+∂∂+∂∂=向量场v 散度： i i v x v x v x v v d i v ,332211=∂∂+∂∂+∂∂=向量场的旋度：ki j k i j e e v e x v x v e x v x v e x v x v r o t v ,321122133113223)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=§1.2 坐标变换旧坐标系 321x x ox ：321,,e e e新坐标系 321x x x o ''' ：321,,e e e ''''11新旧坐标系间方向余弦为：332313333222122231211111332211)()()()()()('''''''''''''''αααααααααe x e x e x e x e x e x则新旧坐标关系为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''''''''321332313322212312111321x x x x x x ααααααααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''321333231232221131211321x x x x x x ααααααααα j j i i x x '='α k j k j x x ''=α基矢量关系为j j i i e e ''=α k j k j e e ''=α k i j k j i ''''=δαα jk k i j i δαα='' 即变换系数矩阵为正交矩阵对a ， j j i i e a e a a =='' k j k j i i e a e a ''''=α 两边点乘j e ' ，有： j j j j a a ''=αj j i i a a ''=α k j k j a a ''=α即：矢量分量变换与坐标变换服从相同规律。
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
全对称张量的维数-概述说明以及解释
全对称张量的维数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述全对称张量是线性代数和数学物理学中重要的概念之一。
它们在许多领域中都有广泛的应用，尤其在表示论、场论和统计力学等领域中发挥着重要作用。
全对称张量的维数是其特征之一，其计算方法也是人们关注的焦点之一。
本文将首先给出全对称张量的定义和性质，然后详细介绍全对称张量的维数计算方法。
通过对全对称张量维数的研究，我们可以更深入地理解全对称张量的特征和结构。
同时，全对称张量维数的计算方法也在应用中起到重要的指导作用。
在正文部分，我们将先对全对称张量进行详细的定义和性质的介绍。
全对称张量具有一些独特的特点，如对称性、不变性等。
我们将通过数学公式和示例来解释这些特点，并给出相关的证明。
接着，我们将介绍全对称张量的维数计算方法。
全对称张量的维数计算是一个常见的问题，涉及到组合数学和多项式求解等数学工具。
我们将给出具体的计算步骤，并通过一些实例来说明。
最后，在结论部分，我们将总结全对称张量的维数特征，并对其应用进行展望。
全对称张量的维数不仅仅是一个数值，它还有一些重要的物理和几何意义。
我们将探讨全对称张量维数在表示论、场论和统计力学等领域中的应用，并展望其未来的研究方向。
通过本文的阐述，我们希望读者能够更加全面地了解全对称张量的维数特征和计算方法。
全对称张量作为一个重要的数学工具，其在各个领域的应用不可忽视。
希望本文能够为相关领域的研究者提供有益的参考，并促进相关理论的发展和应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容（第1.2小节）：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
下面将逐个介绍各个部分的内容安排和目的。
引言部分（1.1小节）将概述本文的主题，并对全对称张量的背景和相关知识进行简要介绍。
同时，展示全对称张量在数学和科学领域中的重要性和应用前景。
引言的目的是为读者提供一个整体的认识，使其能够更加清晰地理解和把握全对称张量的定义和维数计算方法。
正文部分（2小节）将是本文的核心内容，主要包含两个小节：全对称张量的定义和性质（2.1小节）以及全对称张量的维数计算方法（2.2小节）。
高等流体力学-第4讲
·二次曲面 F ( r ) = ± 1 可看作二阶对称张量的几何表示，是有心二次曲面； ·在主轴坐标系下：如果主值 λ1 λ 2 λ 3 同号，表示的半径分别为：
G
1
1
1
λ1
λ2
λ3
的椭球面；
·在主轴坐标系下： 如果主值异号，则表示的双曲椭圆面。
G 1 (5) 对称张量 S 与矢径的内积为 ： S ⋅ r = gradF 2
∇P= ∂ pi i "i ∂xk
1 2
n
其梯度运算的结果是一个 (n+1) 阶张量 。
( )
JGJG ∂aij JGJGJG ∂ JG ek aij ei e j = ek ei e j ∇A = ∂xk ∂xk
(
)
1.5 张量初步
1.5.6 张量的微分运算
¾ 张量的散度运算 n 阶张量P 的散度 — 定义为哈密顿算子与张量P 的左向内积：
ei′ = α ij ei′
α isα js = α siα sj = δ ij
ai′ = αij a j a j = α ji ai′
′ = αisα jt pst pij ′ pij = αsiαtj pst
1.5 张量初步
1.5.5 二阶张量
⎛ p11 ⎜ {pij } ↔ ⎜ p21 ⎜p ⎝ 31 p12 p 22 p32 p13 ⎞ ⎟ p 23 ⎟ p33 ⎟ ⎠
+
p11 p31
p11 p12 ⎞ ⎟− p =0 + p33 p21 P22 ⎟ ⎠ p13
由根与系数的关系得知: —— 二阶张量的三个不变量 ——
I1 = p11 + p22 + p33 =λ1 +λ2 +λ3
张量
(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把 哑标可以局部地成对替换 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字， 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会 影响它的含义。 影响它的含义。
3．求导数的简记方法 将求导符号简记为
eijk ekqr 0 δ iq δ ir δ iq δ ir = 0 δ jq δ jr = = δ iqδ jr − δ irδ jq （非和） 非和） δ jq δ jr 1 0 0
eijkeijk = 6
（1）矢量的叉积
v e1 r v v c = a × b = a1 b1
r r r v a = ai ei , b = b j e j
应力张量根据切应力互等定理，为对称张量。 应力张量根据切应力互等定理，为对称张量。 当坐标系变化时，应力分量也发生变化， 当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐 标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零， 标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零， 仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。 仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时 坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说， 坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主 应力是应力矩阵的特征值， 应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方 。（可参看 可参看Mathcad.） 向。（可参看 ） 平面应力状态的主应力和主方向可按照材料 力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代 数的方法。
2. 指标符号 记为x 把 x, y , z 轴，记为 1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可 各轴的基矢量记为e 简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为 1,e2,e3,可简 ， ， ） 各轴的基矢量记为 可简 记为e 在此坐标系中的矢量v的分量记为 的分量记为v 记为 i, 在此坐标系中的矢量 的分量记为 1, v2, v3, 可简 记为v 应力分量记为可简记为σ 记为 i, 应力分量记为可简记为 ij 。 3. Einstein 求和约定 力 f 在位移 上做功 在位移s上做功 3 r r w = f ⋅ s = f1s1 + f 2 s2 + f 3s3 = ∑ f i si 最后一个等式在符号∑ 有两个同样的指标i。 最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标 约定凡在一项中有一对相同的指标， 约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一 指标全程求和，求和符号略去不写： 指标全程求和，求和符号略去不写：
张量分析
第一篇 张量分析第一章 矢 量 §1—1 矢量表示法物理中的位移、速度、力都是矢量。
利用三维空间中的有向线段ν表示矢量是最直观的表示法，如图1-1所示。
有向线段的长度v 代表矢量的大小。
这种方法不依赖于坐标系的选择。
矢量的分量表示法是另一种表示方法，选定一个坐标系。
比如通常的正交直线坐标系，即卡氏坐标系，然后确定矢量对于该坐标系的分量(,,)x y z v v v ν(1-1a)这一有序数也可视作一个单行矩阵。
矢量也可以用基矢与其对应分量写成x y z iv jv kv ν=++ (1-1b)其中,,x y z iv jv kv 称为分矢量。
而i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1) (1-1c)是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢(称为标架)。
§1-2指标符号上面所述用分量(,,)x y z v v v 或用基矢量i,j,k 来表示矢量的方法，在推广到比三维更高的空间时就有困难了。
因此，发展了另一种记法。
把x 、y 、z 分别记为111,,x y z 这样，一个n 维空间的矢量(无法用直观图表示)用分量表示时为123(,,,...,)n v v v v ν= (1-2a)它可视为一个M 维的单行矩阵，且可写为{}i v ν= (1,2,3,...,)i n =同理，基矢i,j,k 可分别写为123,,e e e ，n 维空间的基矢i e (1,2,3,...,)i n =。
而与式(1-1b)对应的写法为112233n n e v e v e v e v ν=++++ (1-2b)相应的分矢量为11,,,i i e v e v ，其中1e =(0,…,0,1,0,…,0) (1-2c)↑ 顺序第i 个这里i 叫做v 的下标，也有记作jv (如本书第三章以后章节所出现)的，这时j 称为上标。
有些量比矢量更复杂，只用一个下(或上)指标还不够，还要采用更多的指标，比如,,,ij ij ijk A B C ，等等。
场的势·狭义相对论· 四维张量
场的势·狭义相对论· 四维张量我开始冒出这个念头是上课听老师讲到洛仑兹规范。
为什么用这个规范书上并没有讲，而是粗略地给出了与相对论原理有关。
到底是何关系呢？我们学了近一个学期的电磁场，其实大部分时间是在学习如何用现成简单的模型去解释计算电磁场，以及和电磁场有关的各种器件的性质及运用的计算，而对电磁场的本质接触的并不是很深。
而我从中学开始就看过一些相对论的书，但是真正的理解却谈不上。
所以我想去更深入地对其加以研究，以便对电磁场有一个更深的了解。
下面就是这几个星期以来我看书思考的一点点收获。
（一） 洛仑兹条件：在《电磁场与电磁波》的第八章天线中，为了求解激发的电磁波，需要解有源麦克斯韦方程：E j HJ j Eωμωε∇⨯=-⎧⎨∇⨯+⎩求解的过程中要将E 和H 用位函数Φ和A 替换：B AE j A ω=∇⨯⎧⎨=--∇Φ⎩得到两个非齐次的亥姆霍兹方程：2222v A A J ωμεμρωμεε⎧∇+=-⎪⎨∇Φ+Φ=-⎪⎩当边界趋于无穷远时，这两个方程的解即电磁场的位函数就是：''(')()'4'(')1()'4'jk r r V jk r r v V J r eA r dV r r r e r dV r r μπρπε----⎧=⎪-⎪⎨⎪Φ=⎪-⎩⎰⎰ 再通过位函数可以反求场量E 和H 。
而在用位函数进行替代的时候，考虑到A 只规定了旋度，所以可有无穷多个取值，我们用洛仑兹条件对其加以限制：0A j ωμε∇+Φ=（二） 场我们看到位函数的定义显然是两个散度旋度分别为零的两个量，通过这两个量可以完全地决定电磁场这个场的的状态。
场到底是一种什么东西呢？那就先从它开始吧。
从中学开始接触电磁场，书本上说场是一种特殊的物质，物体可以通过它，不接触就可以相互作用。
场它看不见，摸不着，却着实存在。
结果我心中还是迷迷糊糊的，只是记住了书上说的那些概念和性质，而场还依然神奇。
圆柱坐标散度的推导方法有哪些
圆柱坐标散度的推导方法有哪些在研究物理学、数学以及工程学等领域中，圆柱坐标是一种重要的坐标系统。
在这个坐标系统中，存在一个重要的概念，即散度。
散度是一个描述矢量场的性质的数学概念，用于表示一个矢量场在某一点上的流动性。
圆柱坐标散度的推导方法有几种，下面将介绍其中的三种方法。
方法一：直接计算圆柱坐标的散度可以通过直接计算来推导。
在一个三维空间中，考虑一个矢量场v(r, θ, z)，其中 r、θ 和 z 分别表示圆柱坐标的径向、角度和高度。
圆柱坐标下的散度可以表示为：∇·**v** = (1/r) ∂(r * v_r)/∂r + (1/r) ∂v_θ/∂θ + ∂v_z/∂z其中∇·表示散度算符，∂ 表示偏导数，v_r、v_θ 和 v_z 分别表示矢量场在 r、θ 和 z 方向上的分量。
根据这个表达式，我们可以直接计算圆柱坐标下的散度。
这种方法适用于简单的矢量场，且计算相对较为简单。
方法二：利用坐标转换公式另一种推导圆柱坐标散度的方法是利用坐标转换公式。
在圆柱坐标系中，坐标之间的转换关系可以通过一组公式来表示：x = r * cosθy = r * sinθz = z通过这些公式，我们可以将圆柱坐标下的矢量场转换为直角坐标下的矢量场。
然后，可以使用直角坐标下的散度的计算公式计算圆柱坐标下的散度。
最后，再将结果通过坐标转换公式转换回圆柱坐标系。
利用坐标转换公式推导圆柱坐标散度的方法可以适用于各种复杂的矢量场，但是计算过程相对复杂一些。
方法三：利用张量的散度定理圆柱坐标散度的推导还可以利用张量的散度定理。
根据张量的散度定理，一个矢量场的散度可以表示为该矢量场的散度张量的迹。
在坐标系的变换下，散度张量的迹是保持不变的。
通过利用张量的散度定理，我们可以将圆柱坐标下的矢量场转换为协变矢量的散度形式，并利用散度张量的性质进行计算。
这种方法相对于前两种方法更加抽象，但是在某些特殊情况下可以简化计算。
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对称张量的散度的散度
对称张量的散度的散度，也称为二阶对称张量的散度的二阶导数，可以表示为以下公式：
∇ · (∇ · T) = ∂²T_xx/∂x² + ∂²T_yy/∂y² + ∂²T_zz/∂z² + 2(∂²T_xy/∂x∂y + ∂²T_xz/∂x∂z + ∂²T_yz/∂y∂z)
其中，T 是二阶对称张量，∇ ·表示散度运算符，∂²/∂x² 表示 x 方向上的二阶偏导数，∂²/∂y² 表示 y 方向上的二阶偏导数，∂²/∂z² 表示 z 方向上的二阶偏导数，∂²/∂x∂y 表示 x 方向上的 y 方向二阶混合偏导数，∂²/∂x∂z 表示 x 方向上的 z 方向二阶混合偏导数，∂²/∂y∂z 表示 y 方向上的 z 方向二阶混合偏导数。
这个表达式展示了对称张量散度的散度的所有二阶偏导数项之和。
对称张量散度的散度可以用于描述二阶对称张量场的弯曲程度。