导数在函数中的作用
导数在高中数学函数中的应用体会
导数在高中数学函数中的应用体会高中数学中，导数是用来计算相关物理和数学问题的重要工具。
它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律。
导数可以在高中数学函数中应用于计算函数上某一点处的切线斜率，检验函数是单调递增还是单调递减，找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
就我的经历而言，我在学习高中数学函数时写的第一篇文章就是关于导数的。
当时，我很好奇物理世界发生的变化情况，于是我开始通过导数算法去研究函数上的斜率如何可以帮助我们来解决问题。
随后，我发现，通过计算函数上某一点处的切线斜率，我们可以检验函数是单调递增还是单调递减、找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
这些工作都是有效的，能够更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于解决微积分问题，因为这种方法可以更快、更精确地求出积分的具体值。
同时，导数的应用也有助于我们更深入地理解函数的变化趋势。
总之，导数在高中数学函数中可以实现很多功能，它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律，是科学家深入探究科学现象的重要手段。
导数在高中数学函数中还可以应用于计算函数两点的位移的大小，计算函数在某一区间上的变化情况，以及在某一时刻函数处于最大或最小状态等。
同时，导数也可以用于求解定积分中的某一特定点处的函数值，以及求解一元微分方程。
甚至可以用来探究不同时刻函数变化对物理世界的影响。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于建立函数与其他函数的图形之间的关系，进而更深入地研究函数的变化规律，从而能够给我们带来新的认识。
最后，应用导数的另一个方面就是开发算法，用于解决物理和数学问题，例如在量子力学中，可以利用导数算法来求解相关的微分方程。
总的来说，导数在高中数学函数中的应用十分广泛，它能够让我们更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题，为研究人员提供有效的研究手段。
对我来说，学习高中数学函数中的导数过程是一次有趣的体验。
导数在函数中的作用
导数在函数中的作用导数是微积分中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、经济学等领域。
在函数中，导数可以告诉我们函数在其中一点上的变化率，以及函数在该点上的斜率。
一、导数的定义和概念在一个函数中，导数描述了函数曲线在其中一点上的切线的斜率，也可以理解为函数在该点附近的局部线性逼近。
设函数y=f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则函数在该点处可导，导数记为f'(x)，数学符号表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h其中lim表示极限，h表示一个趋近于0的数。
该定义实质上是求一个极限值，表示的是函数在该点处的瞬时变化率。
导数与函数的变化速度有直接关系，导数大，则说明函数的变化速度快。
二、导数的计算公式对于大多数常见函数，存在一系列的计算导数的公式，这些公式可以帮助我们快速计算函数的导数。
以下是一些常用的导数计算公式：1.常数函数导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数导数：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数导数：如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4. 对数函数导数：如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.基本四则运算导数法则：如果f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下公式：a. 导数的线性性质：[af(x)]' = af'(x)，其中a是常数；b.和差的导数规则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；c.乘积的导数规则：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；d.商的导数规则：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^26.复合函数的导数：如果函数y=g(u)和u=f(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))在x处可导，且有以下公式：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)以上是一些常见的导数计算公式，可以用于计算各种复杂函数的导数。
导数的定义与性质解析
导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。
切线的斜率即为导数的值。
- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。
- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。
- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。
- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。
- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。
- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。
综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数产生的实际意义是什么
导数产生的实际意义是什么1、导数的实质：导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
3、作用：导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
扩展资料：一、导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质1、单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
2、凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
导数在函数中的常见应用
导数在函数中的常见应用
导数是高中数学重要内容之一，纵观近几年高考试题，以函数为载体，以导数为工具，考查函数的相关知识已成为高考的一大热点。导数在函数中的应用通常有"利用导数求函数解析式"，"利用导数求函数单调性"，"利用导数求函数最值和值域"， 等，下面作一介绍。
一、 利用导数求函数解析式
求解此类问题主要是运用导数极值理论和几何意义去解决问题。
例1 已知函数f(x)= ax4+bx2+c的图象经过（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2 求函数f(x)的解析式。
解：将点（0，1）代入f(x)= ax4+bx2+c 可得c=1
∴ f(x)= ax4+bx2+1
解：f(x)=2x3-9x2+12x+1 f'(x)=6x2-18x+12
令f'(x)=0x=1或x=2
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下：
X 0 (0,1) 1 （1，2） 2 （2，3） 3 f'(x) + 0 － 0 ＋ f(x) 1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10
函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率。
例5 已知函数f(x)=x3－3x在x=1和x=－1处取得极值，若过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求切线的方程。
解：设切点坐标为(x0,x03-3x0) 由题意：f'(x)= 3x2-3 所以在点(x0,x03-3x0)的切线斜率为3x02-3，则切线方程为：y-( x03-3x0)=( 3x02-3)(x- x0)
导数在函数中的应用——题型总结
导数在函数中的应用一.根底知识1.函数的导数与单调性在*个区间，假设()f x '>0，则函数)(x f y =在这个区间单调递增；假设()f x '<0, 则函数)(x f y =在这个区间单调递减.2.函数的导数与极值〔1〕极大值：如果在0x 附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，且()f x '=0，则0()f x 是极大值； 〔2〕极小值：如果在0x 附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，且()f x '=0，则0()f x 是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数)(x f y =在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值.(2) 求函数)(x f y =在区间[a, b]上最大值与最小值的步骤：①求函数)(x f y =在区间〔a,b 〕的极值；②将函数)(x f y =的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f(*)；(2)求函数的导数f′(*)，解方程f′(*)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(*)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．本卷须知1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2.(1)f′(*)＞0在(a ，b)上成立是f(*)在(a ，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(*)，f′(*0)＝0是函数f(*)在*＝*0处有极值的必要不充分条件．3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(*)的定义域；(2)求导数f′(*)；(3)由f′(*)＞0(f′(*)＜0)解出相应的*的围．当f′(*)＞0时，f(*)在相应的区间上是增函数；当f′(*)＜0时，f(*)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．4.(1)注意实际问题中函数定义域确实定．(2)在实际问题中，如果函数在区间只有一个极值点，则只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．二.题型训练题型一 求曲线切线的方程例1.函数f (*)＝*3－4*2＋5*－4.(1)求曲线f (*)在*＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (*)的切线方程． 变式1.曲线y ＝*e *＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．*－y ＋1＝0B ．2*－y ＋1＝0C ．*－y －1＝0D ．*－2y ＋2＝02.直线y ＝k*＋1与曲线y ＝*3＋a*＋b 相切于点A (1,3)，则a －b 的值为( )A ．－4B ．－1C ．3D ．－2题型二.求函数的单调区间例2.函数f (*)＝e *(a*＋b )－*2－4*，曲线y ＝f (*)在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4*＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (*)的单调性，并求f (*)的极大值．练习：1. 设函数f (*)＝*(e *－1)－12*2，则函数f (*)的单调增区间为________． 2.函数f(*)＝13*3＋a*2＋b*(a ，b ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f(*)的单调区间；(2)假设f(1)＝13，且函数f(*)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上不存在极值点，求a 的取值围．题型三.分类讨论求函数的单调区间例3.函数f (*)＝*2＋a*＋b ln *(*>0，实数a ，b 为常数)．(1)假设a ＝1，b ＝－1，求函数f (*)的极值；(2)假设a ＋b ＝－2，讨论函数f (*)的单调性．练习：1.函数f(*)＝*2－(a ＋2)*＋a ln *＋2a ＋2，其中a≤2.(1)求函数f(*)的单调区间；(2)假设函数f(*)在(0，2]上有且只有一个零点，数a 的取值围．2.a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+〔1〕求()f x 的单调区间〔2〕证明：当0≤x ≤1时，()f x + 2a -＞0.3. 设函数()x f x e ax 2=－－(Ⅰ)求()f x 的单调区间(Ⅱ)假设a=1，k 为整数，且当*>0时，()()x k f x x 10'>-++，求k 的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进展分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进展分类讨论．(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域进展的，千万不要无视了定义域的限制．题型四.单调性的逆用例4.函数f (*)＝*3－a*2－3*.(1)假设f (*)在[1，＋∞)上是增函数，数a 的取值围；(2)假设*＝3是f (*)的极值点，求f (*)的单调区间．练习：1.函数f (*)＝(*＋a )2－7b ln *＋1，其中a ，b 是常数且a ≠0.(1)假设b ＝1时，f (*)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值围；(2)当b ＝47a 2时，讨论f (*)的单调性． 2.假设函数f (*)＝*2＋a*＋1*在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞)C．[0,3] D ．[3，＋∞)3.函数f (*)＝13*3－*2＋a*－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的围是________．4. 函数f 〔*〕=3213x x ax b -++的图像在点P 〔0,f(0)〕处的切线方程为y=3*-2 (Ⅰ)数a,b 的值；(Ⅱ)设g 〔*〕=f(*)+1m x -是[2,+∞]上的增函数，数m 的最大。
导数在函数单调性中的应用
导数在函数单调性中的应用
随着科学技术和互联网的进步，导数在函数单调性中的应用受到了人们的广泛
关注。
导数是求解函数单调性的关键，其扮演了重要的技术作用。
导数可以描述函数及其变化的趋势，更精确地了解函数的单调性。
在求解单调
函数的时候，可以借助导数来鉴定函数的最值问题，即函数有极大值和极小值时，导数一定为零。
当导数恒大于等于零时，函数为单调递增；当导数恒小于等于零时，函数为单调递减。
导数在函数单调性中的应用也使得函数单调性更容易理解。
当函数满足单调性
条件时，就可以得到函数的最大值和最小值，有利于准确反映函数的特点。
此外，导数在函数单调性中的应用还使得求解函数的过程更为简易。
根据导数
的定义，对导数进行进一步处理，就可以获得单调函数的解析解法。
总之，导数在函数单调性中的应用为求解函数单调性提供了有用的信息，有利
于提高函数求解的准确性和效率，从而在互联网技术的发展道路上发挥着重要的作用。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
3.2导数在函数中的应用(单调性)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.2导数在函数中的应用（单调性）考纲定位 会利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.【考点整合】1、导数与函数单调性的关系：（设()f x 在区间(,)a b 有定义，且存在导函数()f x '）单调递增单调递减 在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0在某区间(,)a b 内，有()f x ' 0 【典型例题】一、判断函数的单调性1、利用导数判断下列函数的单调性：（1）33y x x =+ （2）4,[2,)y x x x =+∈+∞二、求函数的单调区间2、求下列函数的单调区间：（1）3211232y x x x =+- （2）232ln y x x =-小结：利用导数判断函数单调性的步骤： ； ； ； .三、判断含有参数的函数的单调性3、已知函数3()1f x x ax =--.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的范围；（2）若函数()f x 在(-1,1)上单调递减，求实数a 的范围；四、高考真题演练4、（2008 湖北）若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A.[1,)-+∞ B.(1,)-+∞ C.(,1]-∞- D.(,1)-∞-5、（2009 江苏）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .6、（2011 江西）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.7、（2010 全国）设函数2()1x f x e x ax =---.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，有()0f x ≥，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P2页 第题【课后反思】。
导数的几何物理意义
导数的几何物理意义
函数的导数是数学中非常重要的概念，它包括一系列在几何物理意义上很有用的问题。
函数的导数是一种用来衡量函数的变化率的工具，通常按其函数变化率的正负和极限来命名，这些概念能在几何物理意义上应用于平面及空间的微分，使函数的增减率得以测量，
更有利于函数的研究。
从几何物理角度讲，函数的导数有以下三个意义：
第一，当函数图像的斜率发生变化时，函数的导数可以描述斜率的变化，可以知道图
像斜率及其变化趋势。
推而广之，通过导数，可以解释函数的几何物理变化情况。
第二，导数对函数的单调性（函数变化趋势）有积极作用，可以用来判断函数特定变
化点的凸凹性、增减性，从而来推理图形的类型；
第三，导数可以用来判断函数的极值点，当导数的值为零时，说明所求点是极值点，
可以帮助我们找到图像上的最高点和最低点。
从以上对导数的几何物理意义出发，我们可以用来分析函数特定点处的增减性、极限
行为以及极值点等情况。
总之，函数的导数是一种很有用的工具，可以帮助我们更好的理
解函数的变化率、单调性，以及其中的极限概念。
第二课时 导数在函数中的应用
第二课时导数在函数中地应用【学习目标】1.理解导数在研究函数地单调性和极值中地作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程地根、曲线交点个数等问题中有广泛地应用.3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数地单调性与导数地关系；能利用导数研究函数地单调性，会求不超过三次地多项式函数地单调区间；4.结合函数地图像，了解函数在某点取得极值地必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次地多项式函数地极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次地多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中地一般性和有效性.【重点难点】①利用导数求函数地极值；②利用导数求函数地单调区间；③利用导数求函数地最值；④利用导数证明函数地单调性；⑤数在实际中地应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合地问题；⑦导数与解析几何相综合地问题.【高考要求】B 级【自主学习】1． 函数地单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应地闭区间上地单调性是一致地.(3) 求可导函数单调区间地一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 地；② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内地一切实根；③ 把函数)(x f 地间断点（即)(x f 地无定义点）地横坐标和上面地各个实根按由小到大地顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 地定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内地，根据)(x f '地符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内地增减性.2．可导函数地极值⑴ 极值地概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近地所有点都有（或），则称)(0x f 为函数地一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值地步骤：① 求导数)(x f '；② 求方程)f'＝0地；(x③ 检验)(xf'＝0地根左右地符号，如果在根地左侧附近为正，右侧附近为负，(xf'在方程)那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根地左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(xf在这个根处取得.3．函数地最大值与最小值：⑴ 设y＝)f是定义在区间[a ,b ]上地函数，y＝)(x(xf在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(xf在[a ,b ]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2) 求最值可分两步进行：① 求y＝)(xf在(a ,b )内地值；② 将y＝)(xf、)(bf比较，其中最大地一个为最大值，最小地一个为最小f地各值与)(a值.(3) 若函数y＝)(xf为函数地；若函数yf为函数地，)(bf在[a ,b ]上单调递增，则)(a＝)(bf为函数地，)f为函数地.(xf在[a ,b ]上单调递减，则)(a[典型例析]2例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处地切线为l:3x-y+1=0，若x=3时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c（2）求y=f(x）在［-3，1］上地最大值和最小值.例2已知f(x)=e x-ax-1.（1）求f(x)地单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a地取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a地值；若不存在，说明理由.例3某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘地产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)地边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船地年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)地单调递减区间，并说明单调递减在本题中地实际意义是什么？[当堂检测]1.函数y=f(x)地图象过原点且它地导函数g=)f 地图象是如图所示地一条直线，则(xy=f(x)图象地顶点在第象限.2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时,)(x f '0，)(x g '0（用“＞”,“＝”或“＜”填空).3.（2008·广东理）设∈a R ，若函数y=e ax +3x ，∈x R 有大于零地极值点，则a 地取值范围为.4. 函数y=3x 2-2lnx 地单调增区间为，单调减区间为.5.（2008·江苏，14）f(x)=ax 3-3x+1对于x ∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a=.6函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定是函数.(用“增”、“减”填空)kavU4。
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导数在函数中的作用
导数是微积分中的重要概念，广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。
它是描述函数在其中一点上的变化率的工具，具有很多实际应用。
在本文中，我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。
首先，导数可以用于研究函数的单调性。
函数的导数可以告诉我们函
数在其中一点上是增加还是减少。
如果导数大于零，那么函数在该点上是
递增的；如果导数小于零，那么函数在该点上是递减的。
当导数等于零时，表示函数在该点上取得极值，对于凸函数来说，如果导数从正数递减到0，然后再从0递增到正数，那么该点就是极小值点；如果导数从负数递增到0，然后再从0递减到负数，那么该点就是极大值点。
通过导数，我们可
以更好地理解函数的增减趋势，并画出函数的增减图，这对于很多实际问
题的研究和解决都非常有帮助。
其次，导数可以用于研究函数的凸性和拐点。
函数的导数在其中一点
上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。
如果导数在其中一点的左侧小
于右侧，则说明函数曲线在该点上凹下去；如果导数在其中一点的左侧大
于右侧，则说明函数曲线在该点上凸出来。
当导数发生变化的点称为函数
的拐点，拐点是函数曲线转折的地方。
通过研究函数的凸性和拐点，我们
可以更好地理解函数的形状和性质，从而解决实际问题。
第三，导数可以用于研究函数的极限。
在微积分中，极限是一个非常
重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
通过导数，我们可以
计算函数在其中一点的导数值，并通过计算导数的极限得到函数在该点的
极限值。
这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要，也是微积分中一些
重要定理（如极值定理和洛必达法则）的基础。
第四，导数可以用于求解函数的最值问题。
最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在其中一区间的最值点。
当导数从正数递减到零再递增到负数时，函数在此处取得极大值；当导数从负数递增到零再递减到正数时，函数在此处取得极小值。
利用导数求解最值问题，我们可以优化一些实际问题，如最大利润、最短路径等。
最后，导数还可以用于解决一些实际问题。
例如，导数可以用于描述和计算速度、加速度、斜率、切线和曲率等物理和几何概念。
在自然科学和工程技术中，导数广泛应用于求解运动学、力学、电磁学、化学反应速率等问题。
在经济学中，导数可以用于描述和计算边际效应、弹性、需求函数等概念。
总结起来，导数在函数中的作用主要有以下几个方面：研究函数的单调性、函数的凸性和拐点、函数的极限、函数的最值问题以及解决实际问题。
导数是微积分的关键概念之一，它提供了一种描述函数变化的工具，不仅帮助我们理解函数的性质和形状，还可以应用于解决很多实际问题。
因此，对于学习和掌握微积分知识的人来说，理解和应用导数是非常重要的。