2.4逆变换和逆矩阵
第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)
11
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
未知量
常数项
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
0 1 1 2 (1) 0 1 1 2
00 0 0
00 0 0
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 【考情分析】考试要求 1. 二阶逆矩阵，B 级要求；2. 二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；3. 二阶矩阵的简单应用，B 级要求．理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，会利用矩阵求解方程组．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，会求二阶矩阵的特征值与特征向量，利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题．理解矩阵的简单应用． 【知识清单】 1. 逆变换与逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 2．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量. (3)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征方程． (4)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．【课前预习】1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式． 解析：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 2. （选修4-2P 65习题2.4第7题）已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值． 解析：由题意，知AA －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3.（选修4-2P 54例4改编）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解析：因为 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 所以 (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 012－10. 4. (选修4-2P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2 －6 的特征值．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.，求矩阵A .解析：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 【典型例题】目标1 求逆矩阵与逆变换例1求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵． 解析：（法一）设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. （法二）注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. 【借题发挥】变式1 (2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －122，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1540 －1. 解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d c d ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 变式2 已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1，试求出(AB )－1. 解析：反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. 【规律方法】求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 【同步拓展】(2017·常州期末)已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．解析：解法一∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ，∴X=A ﹣1B==．解法二：∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ， ∴=，∴，解得，∴X=．目标2 特征值与特征向量的计算与应用例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解析：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0，x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【借题发挥】变式1 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 变式2 （2015·江苏高考）已知R y x ∈,，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0． 从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【规律方法】1．求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．2．根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．【同步拓展】已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 目标3 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)例3 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解析： (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【规律方法】已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为：(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.【同步拓展】已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.【归纳分析】1.不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2.逆矩阵的性质：(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .3.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．4. 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 【课后作业】 1．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵B A 1-. 解析：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1, 故a =-1,b =0,c =0,d =21∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12. 所以B A1-=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3 . 2. 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 41－1的特征值及对应的特征向量． 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－4－1λ＋1＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)，令f(λ)＝0，得到M 的特征值λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤41；当λ2＝－2时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3. 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值． 解析：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M－1N 变换下的函数解析式．解析：由M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，得M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x .5. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－2，c －3d ＝6，a ＋b ＝2，c ＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝3，d ＝－1，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 13 －1. 6. 已知α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2b ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，且a ＋b ＋m ＝3，求a ，b ，m 的值． 解析：因为α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋5m ＝－3，－2＋5b ＝15，由a ＋b ＋m ＝3，解得a ＝16，b ＝175，m ＝－1730.7. (2016·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1的一个特征值为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1.解析：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－11. 8. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解析：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知 M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1， 又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2， 同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y ·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e 1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.9. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解析：(1)因为2×4－1×3＝5≠0，所以M 存在逆矩阵M －1，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 45 －15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5， 令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0， 令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.10.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解析：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x ′－y ′＝4， 所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.11. 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解析：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 【提优训练】1．利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8. 解析：设M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53.。
逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案 苏教版选修4-2(1)
2.4 逆变换与逆矩阵2． 4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质． 3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，若是已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原先的(x ，y )，咱们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵关于二阶矩阵A ，B ，假设AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B . 3．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，那么逆矩阵是惟一的．(2)假设二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，那么AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，假设矩阵A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 4．逆矩阵的求法一样地，关于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？什么缘故？【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是不是每一个二阶矩阵都可逆？【提示】 不是，只有当⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0不可逆． 3．假设二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 依照逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝[]AC B－1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判定以下矩阵是不是存在逆矩阵，假设存在，请把它求出来；假设不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 0.【思路探讨】 矩阵→对应的几何变换→判定是不是存在逆变换→假设存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向紧缩为原先的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原先的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在那个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0. 用几何变换的观点判定矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一样思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)依照逆变换的概念判定该变换是不是具有逆变换；(3)假设有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．假设将本例中矩阵变成以下矩阵，情形如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. 【解】 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，因此不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. (4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原先2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向紧缩为原先的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12. 求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【思路探讨】 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc 求解． 【自主解答】 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，经常使用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，依照逆矩阵的概念AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的概念列方程组求解，假设方程组有解，即可求出其逆矩阵，假设方程组无解，那么说明此矩阵不可逆，此种方式称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ：①若ad －bc ＝0，那么A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，那么A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－2111＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1. 法二 利用待定系数法．(1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探讨】【自主解答】 法一因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 且1×12－0＝12≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 012012112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2，同理B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 2. 法二因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1. ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×0 0×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112. 且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－20 2. 已知矩阵A ，B ，求矩阵AB 的逆矩阵的一样思路： 先求A －1，B －1，再求(AB )－1＝B －1A －1或先求AB ，再求 (AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10－2 1，试求出 (AB )－1.【解】 反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1， (AB )－1＝B －1A －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 454535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，试求A －1.(2021·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .【命题用意】 考查逆矩阵、矩阵的乘法，和考查运算求解能力．【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12， 因此A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察以下说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，那么B ＝C . 其中正确的选项是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不必然成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确． 【答案】 ②2．矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 b 0 d 可逆的条件是________．【解析】 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆． 【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1(k ≠0)，那么A －1等于________．【解析】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 1. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 14．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤213－1 13，那么x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 213－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0.【答案】 0n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求那个变换的逆变换的矩阵．【解】 那个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4cos －π4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22. 2．求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 1 0. 法二 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1－1－1－10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 1 0.3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，因此AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】 因为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 因此MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12.设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2 d 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c2＝0，d2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 2.5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)别离变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判定变换矩阵A 是不是可逆，若是可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】(1)设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，依题意，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.因此A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 1－1 2.(2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a b 1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1.【解】 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，因此x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1， 即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 25 35－15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1，求知足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，因此A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，因此(A －1A )X ＝A －1B ，因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)别离变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下取得了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.因此M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，因此2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2． 4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义．2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1将矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 两边的“[ ]”改成“| |”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc . 2．二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，那么当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .(1)逆矩阵与二元一次方程组令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，那么上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，那么有X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解那个方程组事实上确实是已知变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 和变换后的象⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，去求在那个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 的要紧区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数组成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 那么是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反映的是变换，二阶行列式是用来判定矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是不是可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵知足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是可逆的，那么方程组有惟一解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 3．结合上一节试总结求逆矩阵的经常使用方式有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 取得方程组，再用行列式法解方程组即可．(2)行列式法：假设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，且det(A )≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA. 利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探讨】 将方程化成一样形式→求出D ，D x 、D y →求解 【自主解答】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 1 4＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，因此x ＝D x D＝3，y ＝D y D＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一样思路：先将方程组化成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再别离求出D ，D x ，D y 然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.因此x ＝D x D＝139，y ＝D y D＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探讨】 思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1 【自主解答】 法一 (待定矩阵法) 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0. D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 11 0＝－1， 因此a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 利用行列式知识求逆矩阵，有两种情形，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判定以下矩阵是不是有逆矩阵，假设有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 31 1. 【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 3＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32－12－21. (2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 31 1＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3a a －3. 利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探讨】 找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一样思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组．【解】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 131913， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49131913⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情形．【思路探讨】 找到矩阵A 对应的几何变换→ 判定几何变换的逆变换情形→方程组解的存在情形【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x－2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1对应的变换作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情形，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情形转化为判定几何变换的逆变换的存在情形研究．假设将本例中A 变成⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，情形如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2021·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题用意】 此题要紧考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，那么x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1.那么det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－2515. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．假设二阶矩阵X ，知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，因此X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57.【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －574．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2对应的变换作用下取得点(2,1)，那么该点坐标为________．【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 00 2＝2≠0，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2可逆，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝错误!)，因此所求点的坐标为错误!. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 24 3＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 4＝1×4－2×1＝2， 因此x ＝D x D＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2， 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【解】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么由AA －1＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 35 6＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 30 6＝6， D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 15 0＝－5，因此a ＝D a D ＝－2，c ＝D c D ＝53， 同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.3．假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】 该二元一次方程组的一样形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m 2 －3≠0，解得m ≠－32.4．利用逆矩阵解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5.【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝4－6＝－2≠0，那么矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12， 如此，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05.同(1)，能够计算⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 2515， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3515 25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B . 【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，因此矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110310， ∴Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. 【证明】 因为A 是可逆矩阵，那么原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，因此Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的． 7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情形，那个地址A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35.【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35在A －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－1 1作用以后的向量， 即Z ＝A －1B . 因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有 Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】 设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，那么AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 1，因此方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ 2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方式有两种： 方式一：用代数方式：即待定矩阵法和行列式法求解； 方式二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，求(AB )－1.【解】 法一 ∵AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119－11119. 法二 ∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4 5－1 3＝12＋5＝17，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417； 又∵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717. ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情形的判定及求解方式 1．二元一次方程组的解的情形的判定．经常使用两种方式：法一：利用Det(A )与0的大小情形判定． 法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解经常使用两种方式： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么det(A )＝ad －bc ，假设det(A )＝0，判定方程组解的情形；假设det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA，令⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤αβ＝A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】 法一 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， 因此方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二 记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 16 3＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 72 6＝1×6－2×7＝－8. ∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程表现了函数方程思想的普遍应用．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】 法一 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 12－1212. 法二 矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，因此逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 12－1212. 综合检测(四)1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2－1.法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么AA －1＝E ， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1.2．试从代数和几何角度别离求矩阵的乘积⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0的逆矩阵． 【解】 代数角度：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 0＝－1，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身， 故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0. ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－321－32. 4．用矩阵方式求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】 方程组可写为：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46， 令M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1，那么det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤117 517－317217， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判定矩阵AB 是不是可逆，假设可逆，求其逆矩阵，假设不可逆，说明理由． 【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵．【解】 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，由MN ＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 0＝－2， 因此a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13. 7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】 依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2，从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有惟一解？ 【解】 二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11， 令－2m 2－9m ＋11＝0， 得m ＝1或m ＝－112，∴当m ≠1或m ≠－112时，方程组有惟一解．9．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200 1，求圆x 2＋y 2＝1在(AB )－1变换作用下的图形的方程． 【解】 (AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－3212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 14 34－3212. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P ′(x ′，y ′)在(AB )－1作用下的点为P (x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1434－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤ 1434－32 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －323 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －32y ，y ′＝3x ＋12y ，因为点P ′(x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，因此⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －32y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12y 2＝1，化简得4x 2＋y 2＝1.10．设a ，b ∈R ，假设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0－1b ，把直线l ：2x ＋y －7＝0变换为另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，求矩阵A 的逆矩阵．【解】 设P (x ，y )为直线2x ＋y －7＝0上任意一点，那么其对应点P ′(x ′，y ′)，且知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ax －x ＋by ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝－x ＋by ，∵P ′在直线l ′： 9x ＋y －91＝0上， ∴9ax －x ＋by －91＝0， 即(9a －1)x ＋by －91＝0. ∵9a －12＝b 1＝－91－7＝13，∴b ＝13，a ＝3，∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 0－1 13. ∵det(A )＝13×3－(－1)×0＝39，。
高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修0
λ－2 3λ＋ 5
∴
的最大值为 3.
2λ－ 2 5λ＋ 8
ab
ab
(1)矩阵 A＝
与它的行列式 det(A)＝
的意义是不同的．矩阵 A 不是一个数，
cd
cd
而是 4 个数按顺序排列成的一个数表， 行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数， 不同的矩
阵可以有相同的行列式的值．
ab
(2)
＝ad－ bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
3 －3
解： (1)因为 D＝ －1
＝ 3× 4－(－ 3)×(－ 1)＝ 9≠ 0，此方程组存在唯一解． 4
1 －3
又 D x＝ 3
＝ 1× 4－ (－ 3)× 3＝ 13， 4
31
Dy＝
＝ 3× 3－ 1×(－ 1)＝ 10.
－1 3
D x 13
D y 10
所以
x＝ D ＝ 9
，y＝ D ＝
. 9
cd
ab
(1)首先计算 det(A)＝
＝ ad－ bc，当 det(A)≠ 0 时，逆矩阵存在．
cd
d
det A (2)利用 A－ 1＝
－c
det A
－b det A
a det A
，求出逆矩阵 A－ 1.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
－1 1
1a
a0
(1)
； (2)
； (3)
.
11
01
3x－ 2y mx
即为
＝
，
x－ 4y my
3x－ 2y＝ mx， ∴
x－ 4y＝ my，
3－ m x－ 2y＝0， 即
线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。 证明 因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时， 有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a
矩阵与变换
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2
ax＋by＝m 2．方程组 写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝ ， B ＝ ，当 ________ A 可逆 时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ， 所以矩阵可逆， 逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的． 矩阵 A 不是一个数， 而是 4 个数按顺序排列成的一个 数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵 可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解 ． 此方程组有_______
5．二阶矩阵 ＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。
那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 初等变换法。
初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。
首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。
2. 初等矩阵法。
初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。
我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。
3. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。
根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。
这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。
4. 特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。
这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。
综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
可逆线性变换与可逆矩阵的判定
可逆线性变换与可逆矩阵的判定可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将解释什么是可逆线性变换和可逆矩阵，并介绍如何判定它们的性质。
1. 可逆线性变换可逆线性变换是指一个线性变换，它既是一对一的（injective），又是满的（surjective）。
换句话说，对于一个可逆线性变换 T，存在另一个线性变换 T'，使得 T(T'(v)) = v 对于所有的向量 v 成立。
我们可以用一个方程来表达可逆线性变换：Tv = u，其中 T 是一个n×n 的矩阵，v 和 u 是 n 维列向量。
如果存在另一个矩阵 S，使得 ST =I 和 TS = I（I 是单位矩阵），那么 T 是可逆的。
2. 可逆矩阵可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
如果一个 n×n 的矩阵 A 可逆，那么存在另一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
一个矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
也就是说，如果det(A) ≠ 0，那么 A 是可逆的。
3. 判定可逆线性变换和可逆矩阵为了判定一个线性变换或矩阵是否可逆，我们可以使用以下方法：3.1. 行化简对于矩阵 A，通过行变换将其化为阶梯形矩阵。
如果阶梯形矩阵的每一行都不全为零，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.2. 行列式计算矩阵 A 的行列式 det(A)，如果det(A) ≠ 0，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.3. 逆矩阵计算矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}。
如果 A^{-1} 存在，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
需要注意的是，可逆矩阵和可逆线性变换具有相同的性质。
如果一个线性变换可逆，则对应的矩阵也是可逆的，反之亦然。
4. 应用可逆线性变换和可逆矩阵在许多领域都有重要应用，例如图像处理、密码学和通信系统等。
在图像处理中，我们可以使用可逆线性变换来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解矩阵的逆矩阵的情况，因此掌握求解逆矩阵的方法对于我们理解和应用矩阵具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是矩阵的逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
需要注意的是，并非所有的矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵才存在逆矩阵。
接下来，我们将介绍几种求解矩阵逆的方法。
一、初等变换法。
通过初等变换将原矩阵转化为单位矩阵，此时原矩阵经过一系列相同的初等变换得到单位矩阵，而这些初等变换也分别作用于单位矩阵上，得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
二、伴随矩阵法。
对于n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，则A的逆矩阵为1/det(A) adj(A)，其中det(A)为A的行列式。
通过求解伴随矩阵和行列式，可以得到原矩阵的逆矩阵。
三、矩阵的初等行变换法。
通过将原矩阵和单位矩阵进行横向组合，得到一个增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，直到左侧的矩阵变为单位矩阵，此时右侧的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
四、矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，可以通过矩阵的分块运算来求解逆矩阵，这种方法在一些特殊情况下比较高效。
需要指出的是，对于大型矩阵来说，直接求解逆矩阵的方法可能会比较耗时，因此在实际应用中，我们通常会利用矩阵的性质和特殊结构，采用更加高效的方法来求解逆矩阵。
总之，求解矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要问题，我们可以根据具体的矩阵结构和应用场景选择合适的方法来求解逆矩阵。
通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用矩阵，在实际问题中取得更好的效果。
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人教版高中数学教材目录人教版普通高中课程标准实验教科书数学1．3 算法案例必修一第一章集合与函数概念 1．1 集合1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型阅读与思考概率与密码必修二第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修四：第一章三角函数1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切必修三：第一章算法初步1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句公式3．2 简单的三角恒等变换信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及第一章解三角形其应用 1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论第三章导数及其应用1．2 应用举例 3．1 变化率与导数阅读与思考海伦和秦九韶 3．2 导数的计算 1．3 实习作业探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解第二章数列 3．3 导数在研究函数中的应用 2．1 数列的概念与简单表示法信息技术应用图形技术与函数性质阅读与思考斐波那契数列 3．4 生活中的优化问题举例阅读与思考估计根号下2的值实习作业走进微积分 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n 项和 2．4等比数列2．5 等比数列前n 项和第一章统计案例阅读与思考九连环 1．1 回归分析的基本思想及其初步应探究与发现购房中的数学用 1．2 独立性检验的基本思想及其初步第三章不等式应用 3．1 不等关系与不等式实习作业 3．2 一元二次不等式及其解法第二章推理与证明 3．3 二元一次不等式（组）与简单的 2．1 合情推理与演绎证明线性规划问题阅读与思考科学发现中的推理阅读与思考错在哪儿 2．2 直接证明与间接证明信息技术应用用Excel 解线性规划问题举例第三章数系的扩充与复数的引入 3．4 基本不等式3．1 数系的扩充和复数的概念 3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图第一章常用逻辑用语 4．1 流程图 1．1 命题及其关系 4．2 结构图 1．2 充分条件与必要条件信息技术应用用Word2002绘制流 1．3 简单的逻辑联结词程图 1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程 2．1 椭圆第一章常用逻辑用语探究与发现为什么截口曲线是椭圆 1.1 命题及其关系必修五：选修1-2选修1-1选修2-1:1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少 1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质 1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密的轨迹：椭圆 2.3 双曲线探究与发现 2.4 抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2-2:第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用 1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1:第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少 1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质 1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-3第一讲一二三第二讲一二第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形 1．球面三角形 2．三面角 3．对顶三角形 4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等 1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理 3．“角边角”(a.s.a.)判定定理 4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理 1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离从欧氏几何看球面平面与球面的位置关系第八讲欧氏几何与非欧几何直线与球面的位置关系和球幂定理一平面几何与球面几何的比较球面的对称性二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型球面上的距离和角三欧氏几何与非欧几何的意义球面上的距离阅读与思考非欧几何简史球面上的角选修3-4:第一讲一二三第二讲一二三平面图形的对称群平面刚体运动1．平面刚体运动的定义 2．平面刚体运动的性质对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换 3．对称变换的合成 4．对称变换的性质 5．对称变换的逆变换平面图形的对称群代数学中的对称与抽象群的概念 n 元对称群Sn多项式的对称变换抽象群的概念1．群的一般概念 2．直积第三讲一二三四对称与群的故事带饰和面饰化学分子的对称群晶体的分类伽罗瓦理论选修4-1:第一讲一二三四第二讲一二三四五第三讲一二三相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定 2．相似三角形的性质直角三角形的射影定理直线与圆的位置关系圆周角定理圆内接四边形的性质与判定定理圆的切线的性质及判定定理弦切角的性质与圆有关的比例线段圆锥曲线性质的探讨平行摄影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线第二讲一二第三讲一二三第四讲一二变换的复合与二阶矩阵的乘法复合变换与二阶矩阵的乘法矩阵乘法的性质逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵 1. 逆变换与逆矩阵 2. 逆矩阵的性质二阶行列式与逆矩阵逆矩阵与二元一次方程组 1. 二元一次方程组的矩阵形式 2. 逆矩阵与二元一次方程组变换的不变量与矩阵的特征向量变换的不变量——矩阵的特征向量 1. 特征值与特征向量 2. 特征值与特征向量的计算特征向量的应用 1. Ａa 的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用选修4-5:第一讲一二第二讲一二三第三讲一二三第四讲一选修4-2:第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1. 旋转变换2. 反射变换3. 伸缩变换4. 投影变换5. 切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用不等式和绝对值不等式不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法讲明不等式的基本方法比较法综合法与分析法反证法与放缩法柯西不等式与排序不等式二维形式柯西不等式一般形式的柯西不等式排序不等式数学归纳法证明不等式数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲一二三第二讲一二三四五六第三讲一二三第四讲一二整数的整除整除1. 整除的概念和性质2. 带余除法3. 素数及其判别法最大公因数与最小公倍数 1. 最大公因数 2. 最小公倍数算术基本定理同余与同余方程同余1. 同余的概念2. 同余的性质剩余类及其运算费马小定理和欧拉定理一次同余方程拉格朗日插值法和孙子定理弃九验算法一次不定方程二元一次不定方程二元一次不定方程的特解多元一次不定方程数伦在密码中的应用信息的加密与去密大数分解和公开密钥五六第二讲一二其他几种常用的优越法 1. 对分法2. 盲人爬山法3. 分批试验法4. 多峰的情形多因素方法1. 纵横对折法和从好点出发法2. 平行线法3. 双因素盲人爬山法试验设计初步正交试验设计法 1. 正交表2. 正交试验设计3. 试验结果的分析4. 正交表的特性正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念 1. 风险（平均损失） 2. 平均收益 3. 损益矩阵 4. 风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1. 马尔可夫性与马尔可夫链2. 转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论 1. 马尔可夫链的平稳分布2. 平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3. 平稳准则的应用案例选修4-7:第一讲一二三四分割优选法什么叫优选法单峰函数黄金分割法——0.618法 1. 黄金分割常数2. 黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史分数法 1. 分数法。
高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4_2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4） －sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。
人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)
4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25， 解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2
高中数学2.4逆变换与逆矩阵章末分层突破课件苏教版选修4_2
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
13 119 －11119.
法二 ∵A＝－41 53，∴det(A)＝－41 53＝12＋5＝17，
3 A－1＝117
17
－1547； 17
又∵B＝－13
21，∴det(B)＝－13
21＝－1－6＝－7.∴B－1＝－173
【解】
法一
∵AB＝－41
5－1 3 3
2 1
＝（（－－1）1）××（4－＋15）×＋33×32×（4＋－51×）1×2＋3×1
＝1110 113，
∴det(AB)＝1110 113＝11－130＝－119.
∴(AB)－1＝－111109 119
＝－111109 119
13 119 －11119.
二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1.二元一次方程组的解的情况的判定. 常用两种方法：法一：利用 det(A)与 0 的大小情况判定. 法二：从几何变换的角度判定. 2.二元一次方程组的求解常用两种方法：
(1)用行列式法求解 记 D＝ac db，Dx＝mn db，Dy＝ac nm， 于是方程组的解为x＝DDx，
利用矩阵求逆公式得12 13－1＝－32 －1 1.
所以原方程组的解为xy＝－32
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2.4逆变换和逆矩阵2.4逆变换和逆矩阵第一课时逆变换与逆矩阵[教学目标]一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景y x 1T 变换//y x ??→?2T 变换y x （1）这个对应终归是什么对应？ ??y x →??y x（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）（3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵例1、A=-0112,B=-2110,C=??-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？解答：B 不是，C 是思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。
所以从一般的角度加以考虑。
首先，零矩阵一定没有逆矩阵设二阶非零矩阵d c b a 的逆矩阵为??2121y y x x ，则d c b a 2121y y x x =??1001 即方程组=+=+=+=+④dy cx ③by ax ②dy cx ①by ax 100122221111 有解，①②组成的x 1,y 1的方程组要有解；③④组成的x 2、y 2的方程组也要有解现用消去法解①②方程组。
①×d 得：adx 1+bdy 1=d ②×b 得：cbx 1+bdy 1=0 两式作差得到(ad-bc)x 1=d,要有解，必须ad-bc ≠0，此时x 1=bc ad d -,将之代入②得y 1=-bcad b-对于③④，实质是将①②中a 与c,b 与d 互换，从而x 2=bc ad a -,y 2=-bcad c-2、结论：一个二阶非零矩阵??d c b a存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时d c b a -1=?------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 与原矩阵比较：分母都是ad-bc ，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵(1)0110 (2)??0101 (3)3715 解：（1）存在逆矩阵，0110-1=??0110 （2）不存在逆矩阵（3）存在逆矩阵，?3715-1=--85878183 思考3：A=-1001，B=?-0110 求A -1、B -1、(AB)-1及B -1A -1，由此看出什么规律，这个规律是否对一般的情况仍然成立？A -1=-1001,B -1=-0110,(AB)-1=--0110-1=--0110,B -1A -1=?--0110,(AB)-1=B -1A -1对于一般的??←?→?--y x y x y x A A T T BB11//变换，对应矩阵也应有(AB)-1=B -1A -1 这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B -1A -1)=A(BB -1)A -1=AEA -1=AA -1=E ，同理(B -1A -1)(AB)=E根据定义有(AB)-1=B -1A -1例3、求102112001的逆矩阵（?-210411）例4、A 、B 、C 为二阶矩阵，AB=AC ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论解：AB=AC ?A -1AB=A -1AC ?EB=EC ?B=C这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立练习：A 、B 、C 为二阶矩阵，BA=CA ，A 存在逆矩阵，则B 与C 是否相等，证明你的结论（相等）三、小结：1、一个二阶非零矩阵??d c b a存在逆矩阵的条件是ad-bc ≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时d c b a -1=?------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d 2、(AB)-1=B -1A-13、A 存在逆矩阵时，AB=AC 或BA=CA ，则B=C 四、作业：教材P63---1,2,3,6 [补充习题] 1、讨论矩阵??d b 01存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵 2、求??--01101201的逆矩阵[补充习题答案]1、d=0时不存在逆矩阵；d ≠0时，存在逆矩阵?-d d b 1012、?--0112 [情况反馈]第二课时二阶矩阵与二元一次方程组[教学目标]一、知识与技能：了解二阶行列式的定义，会用行列式和矩阵的方法求二元一次方程组的解，能用变换和映射的观点认识方程组解的意义二、过程与方法：讲授法三、情感态度和价值观：体会不同方法解题的优越性 [教学难点、重点]矩阵法解方程组原理 [教学过程] 一、情景引入消元法二求解元一次方程组ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc问题：此结论有什么规律，能否进行简单记忆？二、新课内容1、二阶行列式有关定义定义：det(A) ＝a b cd＝ad －bc因此方程组的解为x ＝m bn d a b cd y ＝am c n a b cd记：D ＝a b cd，D x ＝m b nd，D y ＝a m cn ，所以，方程组的解为?x ＝D x Dy ＝D y D这里D x 是将右边的常数列代替了x 列，D y 是将y 列用常数列代替思考：二阶矩阵??d cb a与二阶行列式a b c d 有什么不同？（矩阵是数表，行列式是一个数值）例1 求方程组?=-+=-+06540132y x y x 的解解：[方法一]原方程可以化为?=+=+654132y x y x ，D=5432=-2,D x =5631=-13,D y =6412=8所以，方程组的解为-====4213DD y D D x yx 分析二：原方程化成??=+=+654132y x y x 之后，可以用矩阵表示为AX=B,这样A -1AX=A -1B,X=A -1B[方法二] 原方程可以化为??=+=+654132y x y x ,即6432y x =??61y x =6432-161=????--12232561=-4213，故方程组的解为-==4213y x 说明：方法二的解法为矩阵法，对一般的存在逆矩阵的方程组解法有直接解方法、行列式法、矩阵法，有的还有几何法练习1：解方程组==+2321y y x （x=2,y=2）练习2：解方程1201?y x =??94 (x=4,y=1) 练习3：在矩阵M=??5221对应的变换T M 作用下，求点P(1,0)、Q(0,1)的原象点的坐标例2、给定一个二阶A ，α=??11n m ，β=??22n m ，α≠β 求证（1）若A 可逆，则有A ≠A (2)若A =A ，则A 不可逆，并说明其几何意义证明：(1)假设A =A ，则A -1A =A -1A β，=与已知矛盾，故A ≠A β(2)若A 可逆，设为A -1，则A -1A α=A -1A β，α=β与已知矛盾，故A 不可呢。
几何意义，当一个矩阵将两个不同元素变为同一元素时，必非一一对应，矩阵不可逆例3、研究0101y x =??22的解解：0101是将平面上所有的点都垂直于x 轴投影到y=x 上，通过运算也可以得到x x =??22，x=2 所以方程组有无数多个解，满足x=2直线上所有点都是其解说明：??0101不可逆，不能用行列式或逆矩阵方法求解三、小结：方程组解法——直接法、行列式法、逆矩阵法、几何变换法四、作业：教材P63---4,5,7,8,9 [补充习题]1、对于二元一次方程组A y x =n m ,其中A=??d c b a,若A 1=d n b m ,A 2=???n c m a ,用A 、A 1、A 2的行列式表示方程组的解2、T A 是绕原点旋转600的旋转变换，T B 是切变角为450沿OX 轴方向的切变变换，P ?→?A TP /(2,4)?→?BTP //,求P 和P //的坐标3、已知5342=1002A ??1021[补充习题解答]1、|A|≠0时，有唯一解x=||||1A A ,y=||||2A A ;|A|=0,|A 1||A 2|≠0时，无解；|A|=0,|A 1||A 2|=0时有无穷多个解2、P(1+23,-3+2),P //(6,4)。