概率论与数理统计知识要点

概率论与数理统计知识要点

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知识要点一概念：

1随机事件：用A,B,C等表示

互不相容：AB =

互逆：初二①且= C ,此时，B = A

互逆=>互不相容，反之不行

相互独立：P(A\ B) = P(A)或P(AB) = P(A)P(B)

2随机事件的运算律：

(1)交换律:A

(2)结合律：= ,(AB)C = A(BC)

(3)分配律：

(4 ) De Morgen 律(对偶律)

推广：U A=A A

J-1 J-1

3随机事件的概率:P(A)

有界性OSP(A)S1

若Au3 则P(A) < P(B)

条件概率P(A|B) =罟労

4随机变量：用大写X",Z表示.

若X与Y相互独立的充分必要条件是F(xo') = B(A)F r(y)

若x与丫是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是f(x, >-)= f x «A(y)若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是［心,刃=Px (x)p y(y)若X与Y不相关,贝IJcov(X,r)= 0 或R(X,Y) = O

独立=> 不相关反之不成立

但当X与Y服从正态分布时，则相互独立O不相关

相关系数：|/?(X,r)|

二两种概率模型

古典概型：P(A) =畔M : A所包含的基本事件的个数；N:总的基本事件的N

个数

伯努利概型："次独立试验序列中事件A恰好发生加次的概率

P n(rn) = C：p m q n-m

n次独立试验序列中事件A发生的次数为"到〃-之间的概率

n次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率

特别的，至少发生一次的概率P(/n>l) = l-(l-/7)n

三概率的计算公式:

加法公式：P(AB) = P(A) + P(B)-P(AB)

若 A ,3 互不相容，则P(A + B) = P(A) + P(B)

推论:P(A) = 1-P(A)

推广：

若A ,B, C 互不相容，贝IJ P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)

乘法公式:P(AB) = P(A)P(B\A)或= P(B)P(A|3)

若A ,B 相互独立，P(AB) = P(A)P(B)

推广:……AJ=P(A I)P(A2|A1)P(A3|AA2)……P(A n\A l A1……心)

若它们相互独立，则P(AA2……4)= P(A)P(A2)……p(4)

全概率公式：若A为随机事件，……B”互不相容的完备事件组，且

P(即>0

则P(A) = P© )P(A|BJ + 卩(场)P(A02) + ……+ P(B” )P() 注：常用3,B作为互不相容的完备事件组

有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概率问题.

用全概率公式解题的程序：

(1)判断所求解的问题是否为全概率问题

(2)若是全概率类型，正确的假设事件A及｛§｝要求是互斥的完备事件组

(3)计算出P(BJ,

(4)代入公式计算结果

四一维随机变量：

1 分布函数:F(x) = P(X < A)

性质：⑴0

(2)若x,

(3)若X是离散随机变量.则F(x)是右连续的

若X是连续随机变量，则FS)是连续的

(有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数)

(4)lim F(x) = 1 即F(+oo) = 1

ATM

Um F(x) = O 即F(-oo) = 0 (此性质常用来确定分布函数中的常数)利用分布函数计算概率:P(a

一维离散随机变量:

概率函数：= /・=1,2…(分布律)

性质:P(齐)X0

E PM = 1 (此性质常用来确定概率函数中的常数)

f

已知概率函数求分布函数

一维连续随机变量：

概率密度f(x)

性质：

(1)非负性/U)>0

(2)归一性：^f(x)dx = \(常用此性质来确定概率密度中的常数)

分布函数和概率密度的关系:/(X)= F\x)

(注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)利用概率密度求概率P(a

五一维随机变量函数的分布：

离散情形：列表、整理、合并

连续情形Y = g(X):分布函数法.先求Y的分布函数,再求导

六二维随机变量：

联合分布函数：F(x ,y) = P(X

性质：

(1)F(Y),Y>)=0 (2) F(s ,x) = 0

(3)F(Y> , y) = 0 (4) F(2> ,4-CO) = 1

(此极限性质常用来确定分布函数中的常数)

边缘分布函数：Fx (x) = F(x, +8)Fy(y) = F(+oo,y)

二维离散随机变量:

联合概率函数/心，丹)=P(X =x r.,y =儿) 列表

边缘概率函数：Px U)=工/心，儿) P Y(X)= S卩(舌,兀)

J •

二维连续随机变量：联合概率密度f(x,y)

性质(1) /(x,y)>0

(2)匸匚f(x,y)dxdy = \(常用此性质来确定概率密度中的常数)

联合分布函数与联合概率密度的关系

(注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)

利用联合概率密度求概率

已知联合概率密度求边缘概率密度

(注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)

二维随机变量函数的分布

1离散情形

2连续情形：

七随机变量的数字特征：

若X为离散随机变量：E(X) = f“(兀)

r-1

若X为连续随机变量：E(X) =匚MVMr

二维情形若(X , 丫)〜f(x, y)为二维连续随机变量，则

若(x,y)~“a，儿)为二维离散随机变量，则

随机变量的函数的数学期望: