7.5(二)两个正态总体时的置信区间解析
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1 1 2 x1 x2 t 0.025 ( 28) S w (4 0.93 ), 10 20
即
(3.07, 4.93).
7
西华大学数学与计算机学院
例4
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用
§7.5 正态总体均值与方差的区间估计
（二）两个正态总体的情况
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设给定置信度为 1 , 并 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 第一个总体 N ( 1 , 1 )的 样 本 , Y1 , Y2 , , Yn2 为 第 二
2
个 总 体N ( 2 , 2 )的 样 本 , X ,Y 分 别 是 第 一 、 二 个
一种新的催化剂, 为慎重起见, 在试验工厂先进行 试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 8 次试验, 得到得率的平均值 x1 91.73. 样本方差 s1 3.89, 又采用新的催化剂进行了n2 8 次试验, 得到得率 的平均值 x2 93.75, 样本方差 s2 2 4.02,假设两总 体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等, 求 两总体均值差 1 2的置信水平为0.95的置 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
4
( 3) 1 2 2 , 但 2 为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y t ( n n 2) S w S w . 1 2 2 n n 1 2
2
2
于是 1 2的一个置信水平为 0.95的置信区间为
1 1 2 x1 x2 t 0.025 (14) S w ( 2.02 2.13), 8 8
即 (4.15, 0.11).
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1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
2 2 1 2 , Y ~ N 2 , , X ~ N , 1 n n 1 2
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2
2 2 1 2 , 可知 X Y ~ N , 1 2 n n 1 2
3
( 2) 1 和 2 均为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X Y z 2
S1 S2 n1 n2
2
2
.
西华大学数学与计算机学院
西华大学数学与计算机学院
6
0.05,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
n1 10, n2 20,
查 表 得:
t0.025 ( 28) 2.0484,
2 2 9 1 . 10 19 1 . 20 2 又 sw 1.36607, 28
于是 1 2的一个置信度为0.95的置信区间为
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 其中 S . n1 n2 2
2 w
2
2
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5
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
例3 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速 度, 随机地取 I 型子弹10发, 得到枪口速度的平 均值为 x1 500 m/s, 标准差为 s1 1.10 m/s, 随机地取 II 型子弹20发, 得枪口速度的平均值 为 x2 496 m/s, 标准差为 s2 1.20 m/s. 假设 两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生 产过程可认为它们的方差相等. 求两总体均值 差 1 2 的一个置信度为0.95的置信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
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8
2
n1 n2 8, 0.05,
t0.025 (14) IDF.T(0.975,14) 2.1448,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 且 s 3.96, n1 n2 2
2 w
2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
( n1 1) S1
2
由于
1
2
~ ( n1 1),
2 2
( n2 1) S2
2
2
2 2
~ 2 ( n2 1),
且由假设知
( n1 1) S1
1
2
与
2 2
( n2 1) S2
2
2 2
2
相互独立,
根据F分布的定义, 知
S1 1
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1),
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10
2 2 S1 1 P F1 ( n1 1, n2 1) 2 F ( n1 1, n2 1) 1 , 2 2 2 S 2 2
2
总体的样本均值 , S1 , S 2 分 别 是 第 一 、 二 个 总 体 的样本方差 .
wk.baidu.com
2
2
讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.
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1
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
因为X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 , 所以X Y 是1 2 的无偏估计 , 由X , Y 的独立性及
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
或
X Y
1
2
1
2
2
n1
2
~ N 0, 1,
n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y z 1 2 . 2 n1 n2
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即
(3.07, 4.93).
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例4
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用
§7.5 正态总体均值与方差的区间估计
（二）两个正态总体的情况
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设给定置信度为 1 , 并 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 第一个总体 N ( 1 , 1 )的 样 本 , Y1 , Y2 , , Yn2 为 第 二
2
个 总 体N ( 2 , 2 )的 样 本 , X ,Y 分 别 是 第 一 、 二 个
一种新的催化剂, 为慎重起见, 在试验工厂先进行 试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 8 次试验, 得到得率的平均值 x1 91.73. 样本方差 s1 3.89, 又采用新的催化剂进行了n2 8 次试验, 得到得率 的平均值 x2 93.75, 样本方差 s2 2 4.02,假设两总 体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等, 求 两总体均值差 1 2的置信水平为0.95的置 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
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( 3) 1 2 2 , 但 2 为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y t ( n n 2) S w S w . 1 2 2 n n 1 2
2
2
于是 1 2的一个置信水平为 0.95的置信区间为
1 1 2 x1 x2 t 0.025 (14) S w ( 2.02 2.13), 8 8
即 (4.15, 0.11).
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1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
2 2 1 2 , Y ~ N 2 , , X ~ N , 1 n n 1 2
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2
2 2 1 2 , 可知 X Y ~ N , 1 2 n n 1 2
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( 2) 1 和 2 均为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X Y z 2
S1 S2 n1 n2
2
2
.
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0.05,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
n1 10, n2 20,
查 表 得:
t0.025 ( 28) 2.0484,
2 2 9 1 . 10 19 1 . 20 2 又 sw 1.36607, 28
于是 1 2的一个置信度为0.95的置信区间为
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 其中 S . n1 n2 2
2 w
2
2
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概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
例3 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速 度, 随机地取 I 型子弹10发, 得到枪口速度的平 均值为 x1 500 m/s, 标准差为 s1 1.10 m/s, 随机地取 II 型子弹20发, 得枪口速度的平均值 为 x2 496 m/s, 标准差为 s2 1.20 m/s. 假设 两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生 产过程可认为它们的方差相等. 求两总体均值 差 1 2 的一个置信度为0.95的置信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
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n1 n2 8, 0.05,
t0.025 (14) IDF.T(0.975,14) 2.1448,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 且 s 3.96, n1 n2 2
2 w
2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
( n1 1) S1
2
由于
1
2
~ ( n1 1),
2 2
( n2 1) S2
2
2
2 2
~ 2 ( n2 1),
且由假设知
( n1 1) S1
1
2
与
2 2
( n2 1) S2
2
2 2
2
相互独立,
根据F分布的定义, 知
S1 1
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1),
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10
2 2 S1 1 P F1 ( n1 1, n2 1) 2 F ( n1 1, n2 1) 1 , 2 2 2 S 2 2
2
总体的样本均值 , S1 , S 2 分 别 是 第 一 、 二 个 总 体 的样本方差 .
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讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.
西华大学数学与计算机学院
1
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
因为X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 , 所以X Y 是1 2 的无偏估计 , 由X , Y 的独立性及
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
或
X Y
1
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n1
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~ N 0, 1,
n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y z 1 2 . 2 n1 n2
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