7.5(二)两个正态总体时的置信区间解析
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
置信区间计算与解读
置信区间计算与解读在统计学中，置信区间是用来估计总体参数的范围的一种方法。
通过置信区间，我们可以对总体参数的真实值进行估计，并且给出一个区间，该区间内有一定的概率包含了总体参数的真实值。
在实际应用中，置信区间计算与解读是非常重要的，下面将详细介绍置信区间的计算方法以及如何解读置信区间的结果。
### 置信区间的计算方法在统计学中，置信区间的计算方法主要依赖于样本数据的分布以及所选择的置信水平。
一般来说，置信水平通常选择为90%、95%或者99%，代表我们对总体参数的估计的可靠程度。
常见的计算方法包括：1. **正态分布情况下的置信区间计算**：当总体服从正态分布时，可以使用Z分布进行置信区间的计算。
计算公式为：$$CI = \bar{x} \pm Z \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中，$\bar{x}$为样本均值，$s$为样本标准差，$n$为样本容量，$Z$为置信水平对应的Z值。
2. **t分布情况下的置信区间计算**：当总体服从正态分布但样本容量较小（小于30）时，应使用t分布进行置信区间的计算。
计算公式为：$$CI = \bar{x} \pm t \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中，$\bar{x}$为样本均值，$s$为样本标准差，$n$为样本容量，$t$为置信水平和自由度对应的t值。
3. **比例的置信区间计算**：当需要估计总体比例时，可以使用二项分布进行置信区间的计算。
计算公式为：$$CI = \hat{p} \pm Z \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$其中，$\hat{p}$为样本比例，$n$为样本容量，$Z$为置信水平对应的Z值。
### 置信区间的解读在得到置信区间的计算结果后，我们需要正确解读置信区间，以便对总体参数进行合理的估计。
一般来说，置信区间的解读应包括以下几个方面：1. **置信水平**：置信区间的解读首先要明确所选择的置信水平，例如95%的置信水平表示在重复抽样的情况下，有95%的置信区间会包含总体参数的真实值。
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
第七章第三节(2)两个正态总体
下面分两种情况讨论。
(1) 若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可 采用两样本t区间。此处
sw
m 1 s x2 n 1 s y2
mn2
2
7 2110.5536 9 3256.2222 16
52.4880
t1
t1
m n 2 t0.975 16 2.1199
假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种 平均亩产量差的置信区间.( =0.05）。
解：以x1 , …, x8记甲品种的亩产量，y1 , …, y10记乙 品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 x
y =487.0000，sy2=3256.2222， n=10
2
l,
2 y
x y s0 t1
l
2
l
其中
s s / m s / n,
2 0 2 x
4 s0 4 4 sy sx 2 2 m m 1 n n 1
例1 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件 相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验， 结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙 品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩） 分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426
1 m 1 n 2.1199 52.4880 1 8 1 10 52.7797
2
m n 2 sw
故1 -2的0.95置信区间为
[569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797] [29.5953, 135.1547]
两正态总体均值差的置信区间
两正态总体均值差的区间估计基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体均值差μ1-μ2在两总体方差已知、未知但相等、未知但样本量相等、未知但已知方差比、未知近似、未知精确的置信区间估计方法。
最后对理论结果进行程序模拟。
设X i ~Ν(μ1,σ1),i =1,2,...,n ，为正态总体X ~Ν(μ1,σ1)的一i.i.d.，样本均值X -=1n i =1n X i ，样本方差S X 2=1n -1 i =1n X i -X - 2。
设Y i ~Ν(μ2,σ2),i =1,2,...,m ，为正态总体Y ~Ν(μ2,σ2)的一i.i.d.，样本均值Y -=1m i =1m Y i ，样本方差S Y 2=1m -1 i =1m Y i -Y - 2。
一、两总体方差σ12=σ102、σ22=σ202已知定理1：X -Ν μ1,σ1n ,Y -Ν μ2,σ2m .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t n n;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn ,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&属于Element [n,整数域Integers ]]&True定理2：X --Y -Νμ1-μ2,⇔X --Y --(μ1-μ2)Ν[0,1].转换分布TransformedDistribution X -Y,X 正态分布NormalDistribution μ1,σ1n ,Y 正态分布NormalDistribution μ2,σ2m转换分布TransformedDistribution(X -Y )-(μ1-μ2), X 正态分布NormalDistribution μ1,σ1n ,Y 正态分布NormalDistribution μ2,σ2m //完全简化FullSimplifyNormalDistribution μ1-μ2,NormalDistribution [0,1]下面简要给出求μ1-μ2置信区间的方法：由α2≤Φ≤1-α2,得μ1-μ2的置信水平为1-α的置信区间为X --Y --Z1≤μ1-μ2≤X --Y --Zα2即X --Y --Z1-α2≤μ1-μ2≤X --Y -+Z1其长度：L =2Z 1-α2以下是程序模拟：需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ10=10;μ20=1;σ10=3;σ20=4;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ10,σ10],2000];Y =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ20,σ20],1000];α=0.05;"(一)两方差已知""1.计算法"n =长度Length [X ];m =长度Length [Y ];M =平均值Mean [X ]-平均值Mean [Y ];σ=Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α2;{M -Q σ,M +Q σ}"2.MeanDifferenceCI"MeanDifferenceCI X,Y,KnownVariance → σ102,σ202 ,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [M,σ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Q σ"相对区间长度："r =L M "(二)两方差未知"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]];2 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态总体均值差的置信区间.nb求分布参数正态分布{μ2,σ2}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [Y,正态分布NormalDistribution [μ,σ]];"1.计算法"n =长度Length [X ];m =长度Length [Y ];M =平均值Mean [X ]-平均值Mean [Y ];σ=Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α2;{M -Q σ,M +Q σ}"2.MeanDifferenceCI"MeanDifferenceCI X,Y,KnownVariance → σ12,σ22 ,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [M,σ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Q σ"相对区间长度："r =L M(一)两方差已知1.计算法{8.75322,9.31447}2.MeanDifferenceCI {8.75322,9.31447}3.NormalCI{8.75322,9.31447}区间长度：0.561248相对区间长度：0.0621273(二)两方差未知1.计算法{8.75899,9.30871}2.MeanDifferenceCI {8.75899,9.30871}3.NormalCI{8.75899,9.30871}区间长度：正态分布\\正态分布统计分析\\两正态总体均值差的置信区间.nb30.549724相对区间长度：0.0608516二、两总体方差σ12=σ22未知σ12=σ22未知,由定理2,知X--Y- Ν μ1-μ2,σ,X--Y- -(μ1-μ2)σΝ[0,1]。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。
这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。
下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。
双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。
首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。
我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。
如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。
2.计算样本平均值。
对于每个总体，计算对应样本的平均值。
3.计算差值。
对于每个配对样本，计算它们的差值。
如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。
4.计算标准差。
计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。
5.确定置信水平。
选择一个置信水平，通常为95%。
这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。
6.计算临界值。
确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。
7.构建置信区间。
使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。
另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。
在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。
2.计算样本比例。
对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。
3.计算差异。
对于每个配对样本，计算它们的比例之差。
4.计算标准误差。
计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。
两正态总体方差比的优化置信区间
两正态总体方差比的优化置信区间
优化置信区间主要是用来衡量两正态总体方差比的一种数学方法，即把两假设方差（样本数据方差）认为恒定，然后在给定的置信水平下，估计其比例。
正态总体方差比优化置信区间是一种基于双端检验建立置信区间的方法，通过对两个正态总体方差之间的比率，即方差比进行置信估计。
这种方法使用观测值的中值来表示方差比的置信区间，然后通过根据中心极限定理和检验数据的可信度来估计置信区间范围。
优化置信区间的优点是可以提供有效的方差比估计，可以让研究者对定性数据的多变量关系进行更有效的评估，并准确地进行估计和检验。
此外，优化置信区间也可以帮助研究者根据样本所反映的定量数据关系，来提高研究结果的可靠性和可信度。
总之，优化置信区间主要用于衡量两正态总体方差比。
通过该方法，用户可以在对多变量数据关系进行评估和检验时，获取更高精度的结果和更高可靠度，更有效地开展研究。
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体是指一个总体服从正态分布，且这两个分布的均值和方差都相等。
在双正态总体中，我们常常需要估计总体参数的区间估计，即估计参数的真实值落在哪个区间内。
对于双正态总体的均值μ，我们可以使用Z分数进行区间估计。
假设我们想要在95%的置信水平下估计μ的区间为(a,b)，则有：P(μ-a < X < μ+b) = 0.95其中，X是从双正态总体中抽取的样本，a和b是未知的参数。
为了解决这个问题，我们可以利用双正态总体的对称性质，即在均值μ两侧的概率相等。
因此，我们可以使用Z分数的对称性质，得到：P(μ-a < X < μ+b) = 0.975这意味着，在95%的置信水平下，μ的区间为(a,b)的概率为0.975，也就是说，μ的真实值落在这个区间内的概率为0.975。
对于双正态总体的方差σ^2，同样可以使用Z分数进行区间估计。
假设我们想要在95%的置信水平下估计σ^2的区间为(d,e)，则有：P(σ2-d < X2 <σ2+e) = 0.95其中，X2是从双正态总体中抽取的样本的方差，d和e 是未知的参数。
同样，我们可以利用双正态总体的对称性质，得到：P(σ2-d < X2 < σ2+e) = 0.975因此，在95%的置信水平下，σ2的区间为(d,e)的概率为0.975，也就是说，σ2的真实值落在这个区间内的概率为0.975。
需要注意的是，对于双正态总体的均值和方差的区间估计，我们需要先确定置信水平和区间长度。
一般来说，置信水平为95%是比较常见的选择，区间长度一般为2倍标准误差。
具体的参数和区间长度需要根据实际情况进行调整。
正态总体的置信区间
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
S 2是样本方差
若未知, 利用样本方差构造统计量
2
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
给定 ,
先查2分布的临界表
求得12,22使得
P{
2
12 }
1
2
,
P{
2
2 2
}
2
一 般 取 12
说明：标准正态分布具有对称性，利用双侧分位数来
计算未知参数的置信度为1 的置信区间，其区
间长度在的有这类区间中是最短的.
注意
(1)
区间长度
L
2
n u 2
当给定时，置信区间的长度与n有关.
当然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必
须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体
分析，适当替2
统计量
X X
Z
S2
S
~ t(n 1)
n
n
服从自由度为n-1的t分布
P{t (n 1) 2
X
S
t (n 1)} 1 2
n
P{t (n 1) 2
X S
t (n 1)} 1 2
n
即P{ X S t (n 1) X S t (n 1)} 1
(2) 置信度为1- 的置信区间并不唯一。
结论
若概率密度函数的图形是单峰且对称, 当n固定时，取两端对称的区间，其长 度为最短。
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读在统计学中，置信区间是用来估计总体参数的范围，通常表示为一个区间，该区间内包含了总体参数的真实值的概率。
置信区间的计算与解读在统计学中是非常重要的，下面将详细介绍置信区间的计算方法以及如何解读置信区间的含义。
一、置信区间的计算方法1. 对于均值的置信区间计算：当总体标准差已知时，均值的置信区间计算公式为：置信区间 = 样本均值± Z值 * （总体标准差/ √样本容量）其中，Z值是置信水平对应的标准正态分布的临界值，常用的置信水平包括90%、95%、99%等。
2. 对于比例的置信区间计算：当总体比例未知时，比例的置信区间计算公式为：置信区间 = 样本比例± Z值* √（样本比例 * （1-样本比例）/ 样本容量）同样，Z值是置信水平对应的标准正态分布的临界值。
3. 对于方差的置信区间计算：当需要估计总体方差时，方差的置信区间计算公式为：置信区间 = （n-1）*样本方差/ χ²分布上分位数 - （n-1）*样本方差/ χ²分布下分位数其中，χ²分布是自由度为n-1的卡方分布，上下分位数分别对应置信水平的一半。
二、置信区间的解读方法1. 置信水平的解读：置信水平表示在重复抽样的情况下，置信区间包含总体参数真实值的概率。
例如，95%的置信水平表示在多次抽样中，有95%的置信区间会包含总体参数的真实值。
2. 置信区间的宽度：置信区间的宽度反映了估计的不确定性，置信区间越宽，估计的不确定性越大；反之，置信区间越窄，估计的不确定性越小。
3. 置信区间与假设检验的关系：置信区间可以用来进行假设检验，如果假设的值落在置信区间内，则无法拒绝原假设；反之，如果假设的值不在置信区间内，则可以拒绝原假设。
4. 置信区间的实际意义：置信区间提供了对总体参数的估计范围，可以帮助我们更好地理解样本数据与总体之间的关系，从而做出合理的推断和决策。
通过以上介绍，我们了解了置信区间的计算方法和解读技巧。
两个正态总体均值及方差比的置信区间
置信区间为决策者提供了关于两个正态总体均值和方差比的不确定性估计。在许多实际应用中，如质量控制、生物统 计和金融等领域，这种不确定性估计对于制定决策和预测具有重要意义。
置信区间的精度
置信区间的精度取决于样本大小、总体分布以及所使用的统计方法的性质。在实践中，为了获得更精确 的置信区间，需要综合考虑这些因素，并选择适当的统计方法。
结合研究背景和实际应用场景，分析结果对实践的指 导意义和价值。
提出改进建议
根据分析结果，提出对未来研究的改进方向和建议。
05
总结与展望
研究成果总结
置信区间的计算方法
通过使用样本数据和适当的统计方法，可以计算出两个正态总体均值和方差比的置信区间。这些方法包括参数方法和 非参数方法，其中参数方法假设数据符合正态分布，而非参数方法则不依赖于数据分布的假设。
两个正态总体均值及 方差比的置信区间
目录
• 引言 • 两个正态总体均值的置信区间 • 两个正态总体方差比的置信区间 • 实际应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
确定两个正态总体均值和方差比在一 定置信水平下的区间范围，为统计推 断提供依据。
解决实际生活中比较两个总体参数的 问题，如质量控制、医学研究Fra bibliotek经济 分析等领域。
公式：方差比的置信区间计算公式为 $left[frac{sigma_1^2}{sigma_2^2} pm t_{alpha/2,df} cdot sqrt{frac{hat{sigma}_1^2}{hat{sigma}_2^2} cdot left(frac{1}{n_1} + frac{1}{n_2}right)}right]$，其 中 $t_{alpha/2,df}$ 是t分布的临界值，$n_1$ 和 $n_2$ 是两个总体的样本量，$hat{sigma}_1^2$ 和 $hat{sigma}_2^2$ 是两个总体的样本方差。
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
n1
n2
n1
( Xi 1)2
i 1
n2
(Yj 2 )2
F1
2
(n2
1,
n1
1),
j 1
n1
n2 n1
i 1 n2
( Xi 1)2 (Yj 2 )2
F (n2 2
1, n1 1)
j 1
7
02 两个正态总体参数的置信区间
(4)
方差比
2 1 2 2
的置信区间 ( 1 ,
2
未知)
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
1, n1
1),
S12 S22
F0.025 (n2
1, n1
1) [
0.1767,
1.6136 ]
(2) 由公式 1 2 的置信区间为
11
( X Y ) t (n1 n2 2)
2
n1 n2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
查表得 t0.025 (28) 2.0484
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
7.5(二)两个正态总体时的置信区间解析
西华大学数学与计算机学院
13
例6
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
甲、乙两台机床加工同一种零件, 在机床甲
加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件
中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm),
由所给数据算得 s1 0.245, s2 0.357, 在置信度
2 2
0.98下, 试求这两台机床加工精度之比 1 2 的置
2
总体的样本均值 , S1 , S 2 分 别 是 第 一 、 二 个 总 体 的样本方差 .
2
2
讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.
西华大学数学与计算机学院
1
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
因为X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 , 所以X Y 是1 2 的无偏估计 , 由X , Y 的独立性及
西华大学数学与计算机学院
18
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
2 1 1 S12 1 S12 P 2 2 2 1 , S F ( n 1, n2 1) 2 S 2 F1 ( n1 1, n2 1) 2 2 2 1
1 于是得 2 的一个置信度为 1 的置信区间 2
2 2 1 2 , Y ~ N 2 , , X ~ N , 1 n n 1 2
西华大学数学与计算机学院
2
2 2 1 2 , 可知 X Y ~ N , 1 2 n n 1 2
一种新的催化剂, 为慎重起见, 在试验工厂先进行 试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 8 次试验, 得到得率的平均值 x1 91.73. 样本方差 s1 3.89, 又采用新的催化剂进行了n2 8 次试验, 得到得率 的平均值 x2 93.75, 样本方差 s2 2 4.02,假设两总 体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等, 求 两总体均值差 1 2的置信水平为0.95的置 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
两个正态总体均值及方差比的置信区间
x1 x2 Sw t0.025(28)
1 1 (4 0.93), 10 20
即所求置信区间为 (3.07, 4.93).
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2.
两个总体方差比
2 1
的置信区间
仅讨论总体均值 1, 22为2 未知的情况.
B民族 175.3
177.8 167.6
，
180.3
157.5 182.9
设样本分别来自总体
N (1, 2 ) , N (2 , 2 ) , 1 ,
2 , 2 未知，两样本独立，求
1 2 的置信水
平为0.90的置信区间。
，
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~ F (n1 1, n2 1), (n2 1)
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P F1
/ 2 (n1
1, n2
1)
S12 S22
2 1
2 2
F
/ 2 (n1
1, n2
1)
1,
P
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件
上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下
工人 操作
4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00
机器人操 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00 作
双正态总体置信区间
F n 1, m 1
则 a,b 满足
Pa
S12
2 1
/ S22
/
2 2
b
1
取 a F n 1, m 1 , b F1 n 1, m 1 .
2
2
不等式等价变形后即得
2 1 2 2
的双侧置信区间:
12
2 2
F1 2
S12 / S22
n 1, m
1
,
F
2
S12 / S22
n 1, m
1
相应的置信区间观测值为
2 1
2 2
F1 2
s12 / s22
n 1, m
1
,
F
2
s12 / s22
n 1, m
1
课堂提问
双侧 1 的置信区间
J
1
2 ,
X
Y
X
Y Sw
1
1 1 nm
2
~
t(n
m
2)
则 J 符合选取的要求;
则 a,b 满足
P
a
X
Y
1
2
b
1
Sw
1 1 nm
取
a=
t1 2
n
m
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3
( 2) 1 和 2 均为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X Y z 2
S1 S2 n1 n2
2
2
.
西华大学数学与计算机学院
西华大学数学与计算机学院
8
2
n1 n2 8, 0.05,
t0.025 (14) IDF.T(0.975,14) 2.1448,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 且 s 3.96, n1 n2 2
2 w
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6
0.05,
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
n1 10, n2 20,
查 表 得:
t0.025 ( 28) 2.0484,
2 2 9 1 . 10 19 1 . 20 2 又 sw 1.36607, 28
于是 1 2的一个置信度为0.95的置信区间为
2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
( n1 1) S1
2
由于
1
2
~ ( n1 1),
2 2
( n2 1) S2
2
2
2 2
~ 2 ( n2 1),
且由假设知
( n1 1) S1
1
2
与
2 2
( n2 1) S2
2
4
( 3) 1 2 2 , 但 2 为未知,
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y t ( n n 2) S w S w . 1 2 2 n n 1 2
2
总体的样本均值 , S1 , S 2 分 别 是 第 一 、 二 个 总 体 的样本方差 .
2
2
讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.
西华大学数学与计算机学院
1
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
因为X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 , 所以X Y 是1 2 的无偏估计 , 由X , Y 的独立性及
2 2 1 2 , Y ~ N 2 , , X ~ N , 1 n n 1 2
西华大学数学与计算机学院
2
2 2 1 2 , 可知 X Y ~ N , 1 2 n n 1 2
1 1 2 x1 x2 t 0.025 ( 28) S w (4 0.93 ), 10 20
即
(3.07, 4.93).
7
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例4
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 其中 S . n1 n2 2
2 w
2
2
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5
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
例3 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速 度, 随机地取 I 型子弹10发, 得到枪口速度的平 均值为 x1 500 m/s, 标准差为 s1 1.10 m/s, 随机地取 II 型子弹20发, 得枪口速度的平均值 为 x2 496 m/s, 标准差为 s2 1.20 m/s. 假设 两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生 产过程可认为它们的方差相等. 求两总体均值 差 1 2 的一个置信度为0.95的置信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
或
X Y
1
2
1
2
2
n1
2
~ N 0, 1,
n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 X Y z 1 2 . 2 n1 n2
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2 2
2
相互独立,
根据F分布的定义, 知
S1 1
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1),
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10
2 2 S1 1 P F1 ( n1 1, n2 1) 2 F ( n1 1, n2 1) 1 , 2 2 2 S 2 2
22Leabharlann 于是 1 2的一个置信水平为 0.95的置信区间为
1 1 2 x1 x2 t 0.025 (14) S w ( 2.02 2.13), 8 8
即 (4.15, 0.11).
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9
1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
一种新的催化剂, 为慎重起见, 在试验工厂先进行 试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 8 次试验, 得到得率的平均值 x1 91.73. 样本方差 s1 3.89, 又采用新的催化剂进行了n2 8 次试验, 得到得率 的平均值 x2 93.75, 样本方差 s2 2 4.02,假设两总 体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等, 求 两总体均值差 1 2的置信水平为0.95的置 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
§7.5 正态总体均值与方差的区间估计
（二）两个正态总体的情况
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设给定置信度为 1 , 并 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 第一个总体 N ( 1 , 1 )的 样 本 , Y1 , Y2 , , Yn2 为 第 二
2
个 总 体N ( 2 , 2 )的 样 本 , X ,Y 分 别 是 第 一 、 二 个