浙大高等代数
2012年浙江大学高等代数原版真题
(σ Ⅱ冯
+…
+‰ 丌 ")2°
j=l
(i)求 此二次型的方阵;
C◆ 当口 为实数9给 出此二次型为正定的条件.
7.
令 /和
'均
〃是域K上 的线性空间,ffo〃 Κ(/,〃)表示 /到
〃所有线性映射组成的线性空
间.证 明:对 /,g∈ 助 〃r(/,〃),若 Im歹 ∩1mg=0,则 /和 g在 Ho昭K(/,〃)中 是线性
设A是 n阶复矩阵,证 明存在常数哪等于零的多项式g⒄),ht幼 使得g(彳 )是可以对角
考博 化的矩阵,双夂)是幂零矩阵,且 Ⅱ=g(Ⅱ)+Ⅸ彳>
研
,存在矩阵P使得P丬 立P为 对角矩阵?并 求
5,
考
扬 出这样的矩阵P和 对角矩阵。(lO求 卜2时 矩阵彳的Jordan标 准犁.
飞
梦 令 二 次 型 Hale Waihona Puke f× l丿 ¨,工Ⅱ)=∑浙汪
共
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2012年 玫读硕士学位研究生入学考试试题
考试科 囝 、
高等代数 ’
编号 ⒃1
,写 F± 试卷或萆稿纸上均无效 。
1.
3 4
2 阵 犭满足 /F^似 =″ ,证 明 彳的行列式等 471 于 【. 03 设 /是 四阶幂等矩 阵满足 (DⅡ =饿 ˉ ¨+/s,(2)《Ⅱ)≡ r【 Jl)ˉ ¨+F-Z￡ ),晖 44 明所有的 亻f都 相似于一个对角矩陴 ,彳 j特 征值之和等于矩阵 彳j的 秩 。 QQ7 设 砂是 n维酥氏空间的正交变换 ,证 明砂最多可 以表示为 n+1个 镜面反射 的复含 。
无关的。
浙江大学2019年高等代数试题及解答
n
x ∈ C : |x − aii| ⩽
|aij |
j=1,j̸=i
(1) 若 r 为 A 的特征值, 则 r ∈ D1 ∪ D2>
n j=1,j̸=i
|aij
|
,
∀1 ⩽ i ⩽ n,
则
A
可逆.
4. (15 分) 设 a1, a2, · · · , an 为互不相同整数, a1a2 · · · an + 1 不是某个整数的平方, 证明:
10. 必要性. A 是正规矩阵, 则用数学归纳法可证明 A 能酉相似对角化, 即存在酉矩阵 U, 使得 U ∗AU = diag{λ1, . . . , λn}, 于是 U ∗AA∗U = diag{|λ1|2, . . . , |λn|2}, 两边矩阵的迹相等可得想证 明的等式.
充分性. 用数学归纳法可证明存在酉矩阵 U, 使得
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浙江大学 2019 年高等代数试题参考解答
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浙江大学 2019 年高等代数考研试题
1. (15 分) 设 n × n 矩阵 A = (aij) 满足:
aii = i
aj,j+1 = −j
其余元素均为 0, 求 |A|.
ak,k−1 = −1
(1 ⩽ i ⩽ n) (1 ⩽ j ⩽ n − 1)
3. (1) det(rE − A) = 0, 从而存在 x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Cn\{0}, 使得 (rE − A)x = 0. 假设 |xk| = max1⩽i⩽n |xi|, 则由
n
(r − akk)xk −
akj xj = 0
j=1,j̸=k
移项后取绝对值并用绝对值不等式可得:
浙江大学2015 年硕士研究生入学考试试题(高等代数)
8 ． f ( x ) 为 一 多 项 式 ， g ( x ) 是 A 的 最 小 多 项 式 ， 证 明 ： f A 可 逆 的 充 要 条 件 是
( f ( x), g ( x)) 1
9.
lim A
n
n
0 A的所有特征值 | | 1
10.双线性函数巴拉巴拉， i 全迷向子空间关于以上定义的运算构成空间？ ii．全迷向子空间含于其正交补。
(a1 , a2 ,..., a s ) = (b1 , b2 ,..., bt ) A ，证： n t r ( A) s min{r ( A), t}
3. f : v w 为线性满映射 i． w, f
1
( ) ker( f ) （ 为 v 上任一个向量满足 f ( ) ）
*
6.所有正交变换构成 G i．G 关于线性变换的合成和逆变换封闭 ii．G 为有限集还是无限集 iii．G 是什么代数结构 7.A 为对称阵， A 6 A 11A 6 0........( I )
3 2
求
max max x
A || x| x 2 3 x3 （第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）
ii．适当定义乘法和用下面定义的加法： 证明 v ker( f ) { ker( f ) | v} 构成空间 iii．适当定义同构映射，证明： v ker( f ) 与 Im f 同构
4.空间 v 上的线性变换 f ，可以找到子空间 U ,W ，使 f 在 U 上为可逆线性变换，在 W 上 为幂零线性变换，且 v u w 5． b 0, Ax b 证明： A x b 有解的充要条件为 r ( A) n 1
1999浙江大学高等代数答案
式的平方。
可表示为一个整数多项分必要条件是在有理数域上可约的充个不同的整数，证明是一、分年)(1)())(()(f n ...,,)101999(,21,21x f a x a x a x x a a a n n +---= 一、证明：充分性：若()f x 能表示成一个整数多项式的平方，显然()f x 在有理数域上可约必要性：由于()f x 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式()(),g x h x 有 ()()()f x g x h x =，()()()()0,0g x h x ∂>∂>，由于1i n ∀≤≤，()1i f a =，即()()1i i g a h a =，则()()0i i g a h a -=令()()()F x g x h x =-，则()(),F x n ∂<或()0F x =，由于有n 个不同的数为 ()0F x =的根，从而()F x 为零多项式，即()()g x h x =，即()()2f x g x =，就有()f x 能表示成一个整数多项式的平方二：解；()111T T n E αααα-=-=()2由于T T T T T T n n n n E E E E αααααααααααα⎡⎤⎡⎤-+=-+-=⎣⎦⎣⎦，从而 1T T n n E E αααα-⎡⎤⎡⎤-=+⎣⎦⎣⎦ 三：证明：()1由于存在m 阶可逆矩阵1P 和n 阶可逆矩阵2P ，有[]120m A P E P =，即[][]11220000m n m P A P P E P E -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，令1200n m P Q P E -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然Q 可逆，则 []0m A E Q =()2令10m E B Q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然可知m AB E = 四：证明：n x P ∀∈，不妨设1ni i i x a α==∑，又x x Ax Ax =-+，则 1n i i i Ax a A α==∑，从而2Ax V ∈，又()()20A x Ax A A x -=-=，从而可知1x Ax V -∈即12x V V ∈+，即12n P V V ⊆+，任取12x V V ∈，所以0Ax =，且存在1,,n k k ，有1n i i i x k A α==∑，又2A A =，从而可知 211n ni i i i i i Ax k A k A x αα=====∑∑，从而0x =，即{}120V V =，所以12n P V V =⊕五：证明：由于B 正定，则存在可逆矩阵C 有T n C BC E =，又由于A 对称，从而 T C AC 也对称，即存在正交矩阵F ，使{}1,,T T n F C ACF diag D λλ==，即 ()(),T T n CF BCF D CF ACF E ==，若取()11T S F C --=，则有,T T B SS A SDS ==六：证明：()1若A 的一个特征值0λ，有01λ>，则此时0n E A λ-为严格对角占优矩阵，即0n E A λ-可逆，这与0λ为A 的特征值矛盾，从而， 1λ≤()2，令[]111Tx =，则 110111n i i n ni i a Ax x x a λ==⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑，从而0λ为A 的一个特征值 七：证明：由于A 正定，从而，存在可逆矩阵C 有，TA C C =， ()()()()()()()()()222,,,T T T T T T T T T A C C C C C C C C C C C C A A αβαβαβααββααββααββ∴==≤==由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数12,k k ，使120k C k C αβ+=，即120k k αβ+=，即,αβ线性相关八：证明：()1设A 的特征多项式为()fλ，B 的特征多项式为()g λ，由于,A B 无公共特征值，从而()()(),1f g λλ=，所以()f B 可逆，由于AX XB =，故对于n *∀∈，均有 n n A X XB =，就有()()f A X Xf B =，所以()00Xf B X =⇒=，即AX XB =只有零解；()2,,n n x y k ⨯∀∈∈，由()()()x y A x y x y A Ax xA Ay yA x y A +=+++=+++=A +A()()()()A kx A kx kx A kAx kxA k Ax xA k x =+=+=+=A所以A 是一个线性变换，由于A 和A -无公共特征根，即根据()1的结论就有()AX X A =-只有零解，即0AX XA +=只有零解，从而A 可逆，即A 为一个可逆线性变换。
浙江大学2000年研究生高等代数试题
三、 （20 分） （1） A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P 1 AP, P 1CP 同时为 对角形； （2） A 是正定阵， B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的 特征值全大于 0. 四、 （20 分）设 n 维线性空间 V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B 与 A 可交换
下证不可能是情形二。 （反证法）若不然为情形二，就是 ( f ( x), g ( x)) 1 则
u ( x), v( x) P[ x]s.t u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1L (*)
由已知条件， f 与g 有一公共复根（设为 ） ，则 f ( ) g ( ) 0 ，将 代入 盾，故假设不正确，得证！ （2）设 b 是 f ( x) 的任一根，下证 f ( ) 0 。证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编 P20 第 42 题. 二、计算行列式
PAP E 1 （2）由（1）知 P非异s. t 2 PABP O n
1 所以 P BP 2 ，故 AB 正定 i 0, i 1, 2,L , n 得证！！ O n
1 , 2 ,L , n s.t A i i i ，其中 i 为 A 的特征值，且 i j , i j , i , j 1, 2L , n 1 令 T (1 , 2 ,L , n ) s.tT AT 2 O n
1
（2）Q AB BA 则， (T AT )(T BT ) (T BT )(T AT ) ，令 C T AT , D T BT ， C 为对 角矩阵，且主对角线上的元素互异，而 CD DC ，
浙江大学99-06年研究生高等代数试题
的每一个特征值 λ
，都有
λ
≤ 1 (2) λ0
=1为
A 的一个特征 ℜn
=
⎪⎧⎜⎛ ⎨⎜
x1 M
⎟⎞ ⎟
|
⎪⎩⎜⎝ xn ⎟⎠
⎫ xi 是实数⎪⎬ ，
⎪ ⎭
A是n阶正定阵 ，
⎜⎛ x1 ⎟⎞
⎜⎛ y1 ⎟⎞
α = ⎜ M ⎟ ， β = ⎜ M ⎟ ∈ ℜn ，求证：(1) (α T Aβ ) 2 ≤ (α T Aα )(β T Aβ ) 等号成立当且仅当α与β 线形相关时成
21 0L0 0 0
1 2 1L0 0 0
Dn = L L L L L 0 0 0L1 21
二、（10 分）计算行列式 三、（20 分）
0 0 0 L 0 1 2.
A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP, P−1CP 同时为对角形；
A 是正定阵， B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的特征值全大于 0.
（4）欲证 B 可由 E, A1, A2 ,L , An−1 线性表出，只须证方程
B = x1E + x2 A1 + x3 A2 +L + xn An−1 有非零解即可，（ B = 0 显然）设 B ≠ 0
将 B 作用于αi ， i = 1, 2,L, n 则
Bαi = biαi = x1Eαi + x2A1αi + x3A2αi + L + xn An−1αi ,i = 1, 2,L ,n
,
⎟
⎠
A=
⎛1 ⎜ ⎜1
⎜L ⎜⎜⎝ 1
λ1 λ2 L
λn
考研数学-浙江大学99-06年研究生高等代数试题
2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。
（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。
Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。
（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。
证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。
浙江大学高等代数下册教案
课时安排：2课时教学目标：1. 使学生掌握一元多项式与多元多项式环的基本概念和性质。
2. 使学生理解线性空间、线性映射、线性变换的标准形等概念。
3. 使学生了解欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间等概念。
4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 一元多项式与多元多项式环的基本概念和性质。
2. 线性空间、线性映射、线性变换的标准形。
3. 欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间等概念。
教学难点：1. 线性空间、线性映射、线性变换的标准形的应用。
2. 欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间等概念的理解。
教学过程：一、导入新课1. 复习上节课的内容，回顾一元多项式与多元多项式环的基本概念。
2. 提出本节课的学习目标，让学生明确学习重点和难点。
二、讲授新课1. 一元多项式与多元多项式环的基本概念和性质a. 介绍一元多项式的定义、运算和性质。
b. 介绍多元多项式环的定义、运算和性质。
c. 讲解一元多项式与多元多项式环之间的关系。
2. 线性空间、线性映射、线性变换的标准形a. 介绍线性空间的概念、性质和运算。
b. 介绍线性映射的概念、性质和运算。
c. 讲解线性变换的标准形及其应用。
3. 欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间等概念a. 介绍欧几里得空间的概念、性质和运算。
b. 介绍酉空间、正交空间、辛空间的概念、性质和运算。
c. 讲解欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间之间的关系。
三、课堂练习1. 布置课后习题，让学生巩固所学知识。
2. 在课堂上进行互动练习，检验学生对知识点的掌握程度。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，要求学生复习巩固所学知识。
五、课后作业1. 完成课后习题，加深对一元多项式与多元多项式环、线性空间、线性映射、线性变换的标准形、欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间等概念的理解。
2. 查阅相关资料，拓展知识面。
教学反思：1. 教师在讲解过程中要注意语言表达的清晰和准确，确保学生能够理解。
浙江大学高等代数试题解答
1。
解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=()()()()()()2212233121312312122324231g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-故()323p x x x x =--+2。
证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。
如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。
解：由于()111n nk jk k k j nD x xx =≤<≤=-∏∏，又可知()()12111111121111*********112111111n ni i i i i n n n n k j k i i i i i k k j nn n i i i i i n nnnn nnn nx x x x yx x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()()1111111nn i n i i i i ijk k j nD yxx y δ+-----≤<≤-=--∏即()1ni ijk k j nD xx δ≤<≤=-∏，从而知()111nnn i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏ 4。
解；由于11TT A E XYY X α=+=+=+从而()1当1α≠时，A 可逆()2由于当1α=时()()()111n T TE E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特征多项式为()11n λλ--故()1rank A n =-，又()()()1TTrank A E rank X Y rank YX-===从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化5。
《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
(NEW)浙江大学601高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)
目 录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。
浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题(高等代数)
浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题（高等代数）一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为1±，故可由克拉默法则可知[]()11Tn n b b b b b ∀= 为整数，方程Ax b =的解均为整数解。
必要性；令Ax b =，由已知可知 对于1,e 存在整数解1β,n e 存在整数解n β所以[][]11n n n A e e E ββ==，若取[]1n B ββ= ，所以1A B =，而,A B 为整数组成的矩阵，从而有1A =±，即该方程组的系数矩阵行列式为1± 二：解：由于21121111211231232222222212341123333111121112212311111111n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n s s s x x x ss s s x x x x x x x A s s s s x x x x x x x s s s s x x x x x x x ----+------+-⎡⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦可知()21j i i j nA x x ≤<≤=-∏三：证明：由于00000E A AB E C ABC E B BC E B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而()()()()0AB rank ABC rank B rank rank AB rank BC B BC ⎛⎫⎡⎤+=≥+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭四：证明：由于k s <，则必能从12,,,s ξξξ 中必可取()0m >个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系，若m s k <-，则()dim ker A k s k s <+-<这和已知()dim ker A s =矛盾 若m s k >-，则()dim ker A k s k s >+->这和已知()dim ker A s =矛盾 从而m s k =-，从而必能从12,,,s ξξξ 中必可取s k -个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系五：证明：由已知可知，A 的最小多项式()()()23m λλλ--，从而()m λ无重根，即A 可以对角化，由于A 的特征值仅为2和3，而23m n m A -=，从而特征值2的重数为m ，特征值3的重数为n m -，故与A 相似的一个对角矩阵为22020333m n m E E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦六；证明：()1 22,,C D k ⨯∀∈∈ ，由()()()()()()()C D A C D B ACB ADB C D kC A kC B kACB k C ϕϕϕϕϕ+=+=+=+===从而ϕ是V 上的线性变换()2若1λ≠，则,A B 均为可逆矩阵，令()0x ϕ=，则0AxB =，所以0x =，即ϕ是可逆线性变换()3若1λ=，ker ,a b x x c d ϕ⎡⎤∀∈=⎢⎥⎣⎦，根据0x ϕ=可知,a c b d ==，从而12121001ker :,1001k k k k ϕ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 又对任何a b x c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，有 ()()()12111211x a c b d ϕ--⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，从而12121211Im :,1211k k k k ϕ⎧--⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎩⎭()4当1λ≠时，值域的基即为V 的基，而11122122,,,E E E E 可做为值域的一组基，即可为V 的一组基而()()()()11111221221211122122211112212211111221222222E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E ϕλλϕλλϕϕ=+++=----=--++=+--可知，ϕ在这组基下的矩阵为1111212111221λλλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦当1λ=时，令123412111010,,,12111010εεεε--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，而12,εε为值域的一组基，34,εε为核的一组基，从而12,εε扩充34,εε后可成为V 的一组基，显然可知ϕ在这组基下的矩阵为220042000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦七：解：由于2222222110001000000110010000λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而可知222211λλλλλλλλλλ⎡⎤-+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的不变因子为21,,λλλ+，初等因子为,,1λλλ+ 八：解()1显然那可知()1234,,,f x x x x222212341213142324348888222222x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++--++()2由于A 的特征多项式为()()()395f λλλ=--，从而A 的特征值为9（3重）和5由于()90n E A x -=的基础解系的一组基为：[]11001T ε=-，[]21010Tε=，[]31100Tε=，由于()50n E A x -=的基础解系的一组基为：[]41111Tε=--单位正交化可得100Tα=⎣⎦20Tα=⎣⎦3Tα=⎣⎦411112222T α⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦令121002210212662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，可知做正交变换TY P X =，就可使()222212341234,,,9995f x x x x y y y y =+++ ()3显然可知A 为正定矩阵，则存在可逆矩阵C ，有T A C C =从而可知(),0T A αααα=≥，且当且仅当0α=时，等号成立(),αβ=()()(),,TTTT T T T A C C C C C C C C A αβαβαββαβαβαβαΩ======k ∀∈()()(),,TT k k A k A k αβαβαβαβ===()()()(),,,TT T A A A αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+从而(),T A αβαβ=定义了4 上的内积从而该内积下4的一组标准正交基为1100322Tω=-⎢⎣⎦2103636Tω=⎢⎣⎦313Tω=⎣⎦411112222Tω⎤=--⎢⎥⎣⎦()4可取10022000100000021*******1111122222B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎤⎢⎥⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦九：证明：假若()f x 为有理数域上的可约多项式，则不妨设存在整系数多项式()(),g x h x 使()()()()()()(),0,0f x g x h x g x h x =∂>∂>，由于()0f x >，从而()f x 无实数根，则()(),g x h x 也无实根，不妨设()()0,0g x h x >>，从而在这n 个不同点1,,n a a ，()(),g x h x 的值均为1，从而()()()(),g x n h x n ∂≥∂≥，否则，()(),g x h x 有个为常数，即()()()()f xg x n ∂=∂=，则()()()11ni i h x g x x a ===+-∏，从而()()()21112n ni i i i f x x a x a ===+-+-∏∏这和已知矛盾，从而假设不成立，从而()f x 在有理数域上不可约。
浙江大学99-06年研究生高等代数试题-8页word资料
浙江大学2019年研究生高等代数试题一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方二．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，且0=ααT，求(1)T n E αα- (2)1)(--T n E αα(其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT) 三．矩阵n m A ⨯是行满秩)(m A =即秩，证明： (1)存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(= (2) 存在矩阵mn B ⨯，使得mE AB =四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是n P 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间，证明：21V V P n⊕=(21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n D S λλ 1及，使得T T SS B SDS A ==, 六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：(1)0≤ij a ≤1,j i ,∀ (2)121=+++in i i a a a (i=1,2, ,n)求证：(1)A的每一个特征值λ，都有1≤λ(2)10=λ为A 的一个特征⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ是实数i n nx x x |1 ，阶正定阵是n A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1α，n n y y ℜ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 1β，求证：(1)))(()(2ββααβαA A A T T T ≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立（2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A TTT≤也成立八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值，求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ⨯=)(）（2）在nn ⨯ℜ中，变换nn A XA AX X ⨯ℜ∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的特征值，求证：A 为一个线形变换。
浙江大学1999年——2008年高等代数试题
二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目： 高等代数 编号： 741一、（17分）设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于． ),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=n b b b ,..,,211±二、（17分）计算阶行列式, 其中．(1n n >)2−1211232341112...........................n n n n nn n ns s s s s s s s s s s s s s s −+−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠kn k k k x x x s +++=...21三、（17分）设矩阵,,A B C 满足有意义.求证： ABC ()()()AB BC B ABC +≤+秩秩秩秩.四、（17分）设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系，而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的个线性无关的解，并且k k s <s k −s ξξξ,...,,21.求证中必可取出个解，使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系．五、（17分）设阶方阵(1n n >)A 满足其中,0652=+−E A A E 是阶单位矩阵．证明:n A 相似于对角矩阵；如果A 行列式等于是正整数).求与m n m m n m ,0(32<<−A 相似的对角矩阵． )(2R M V =六、（17分）假设22×是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间.1112,11A B λ−⎛⎞⎛==⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝1⎞⎟⎠λ,其中是参数. 是V 上的线性变换. （1）证明 AXB X =)(ϕ1−≠λ（2）当ϕ时,证明是可逆线性变换. 1−=λ（3）当ϕ时,求线性变换的核和值域.（4）在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵．222211λλλλλλλλλ⎛⎞−⎜⎟−⎜⎜⎟+−⎝⎠λ七、（16分）求-矩阵⎟的初等因子和不变因子． 8111181111811118A −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠八、（16分）已知矩阵 123412341234(,,,)(,,,)(,,,)T f x x x x x x x x A x x x x =（1）求二次型； （2）用正交线性替换化二次型为标准型；),,,(4321x x x x f （3）证明定义了βαβαA T =),(α4R 4R 上的内积，其中βα,是的列向量，是T α的转置，并求在该内积下4R 的一组标准正交基；（4）求实对称矩阵B 使得A B k =,其中为正整数(只要写出k B 的表达式，不必计算其中的矩阵乘积)． 九、（16分）设, 其中是互不相同的整数．证明n a a a ,...,,211)()()()(22221+−⋅⋅⋅−−=n a x a x a x x f ()f x 是有理数域上的不可约多项式.。
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浙 江 大 学二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、（20分）()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一个公共复根，证明()|()f x g x ； （2）若c 及1c都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明1b也是()f x 的根.二、（10分）计算行列式210000121000000121012n D =.三、（20分）（1） A 是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得11,PAP P C P--同时为对角形；（2） A 是正定阵，B 是实矩阵，而A B 是实对称的，证明：A B 正定的充要条件是B 的特征值全大于0. 四、（20分）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与A 可交换的充要条件是B 是21,,,,n E A A A- 的线性组合，其中E 为恒等变换.五、（10分）证明：n 阶幂零指数为1n -的矩阵都相似.（若10n A -=，20n A -≠而称A 的幂零指数为1n -）六、（20分）设,A B 是n 维欧氏空间V 的线性变换。
对任意,V αβ∈，都有((),)(,())A B αβαβ=。
证明：A 的核等于B 的值域的正交补.浙 江 大 学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、（12分）设两个多项式()f x 和()g x 不全为零。
求证：对于任意的正整数n ，有((),())((),())nnnf xg x f x g x =。
二、（12分）设12,(0,1,2,)k kk n nS k xx x=+++= ；2(,1,2,,)ij i j a S i j n +-== 。
计算行列式：111212122212n n n n nna a a a a a a a a三、（12分）设,A B 是n 级矩阵，且A B AB +=。
求证：AB BA =。
四、（12分）设A 是m n ⨯级阵，A 的秩为m ，B 是()n n m ⨯-级矩阵，B 的秩为n m -，且AB η=。
这里n 维列向量η是齐次线性方程组0A X =的解，求证：存在唯一的n m -维列向量ξ，使得B ξη=。
五、（11分）求1123212(,,),(,)V L V L αααββ==的和与交的基与维数。
其中123(1,2,1,2)(3,1,1,1)(1,0,1,1)ααα=--⎧⎪=⎨⎪=--⎩，11(2,5,6,5)(1,2,7,3)ββ=--⎧⎨=--⎩ 六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。
12341213142324(,,,)222222f x x x x x x x x x x x x x x x x=+--++ 七、（8分）设,A B 是n 级复矩阵，且AB BA =。
求证：存在一个n 级可逆矩阵P ，使得1P AP-与1P BP -都是上三角矩阵。
八、（7分）设,A B 是n 级复矩阵，其中A 是幂零矩阵（即存在正整数m ，使得0mA =）而且AB BA =，求证：A B B +=。
九、（6分）设σ是n 维线性空间V 的线性变换，σ在V 的某组基下的矩阵是A ，用K er σ表示σ的核，()V σ表示σ的值域。
求证：秩(2A )=秩(A )的充要条件是()V V Ker σσ=⊕浙江大学2003年研究生高等代数试题1．（20分）令12,,,s ααα 是n R 中s 个线性无关的向量。
证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得12{,,,}s ααα 是它的一个基础解系。
2．（20分）设有分块矩阵A B CD ⎛⎫⎪⎝⎭，其中,A D 都可逆，试证：（1）1det()det A B A B D C DCD-=-；（2）1111111()()A BD C A A B C A B D C A --------=--。
3．（20分）设V 是数域P 上n 维线性空间，1234,,,V αααα∈，1234(,,,)W L αααα=，又有12,Wββ∈且12,ββ线性无关。
求证：可用12,ββ替换1234,,,αααα中的两个向量12,i i αα，使得剩下的两个向量34,i i αα与12,ββ仍然生成子空间W ，也即1234(,,,)i i W L ββαα=。
4．（20分）设A 为n 阶复矩阵，若存在正整数n 使得0n A =，则称A 为幂零矩阵。
求证：（1）A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为零；（2）设A 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在n 阶可逆矩阵P ，使得100B PA P C -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中是B 幂零矩阵，C 是可逆矩阵。
5．（20分）已知实对称矩阵422242224A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵P 使得T P AP 成为对角矩阵。
6．（20分）设V 是n 维欧氏空间，内积记为(,)αβ，又设T 是V 的一个正交变换，记12{|},{|}V V T V T V αααααα=∈==-∈。
证明：（1）12,V V 都是V 的子空间；（2）12V V V =⊕。
7．（10分）设()f x 是一个整系数多项式。
证明：若存在一个偶数a 及一个奇数b ，使得()f a 与()f b 都是奇数，则()f x 没有整数根。
8．（10分）1V ，2V 是n 维欧氏空间V 的子空间，且1V 的维数小于2V 的维数，证明：2V 中必有一个非零向量正交于1V 中的一切向量。
9．（10分）设()ij n n A a ⨯=是可逆的对称实矩阵。
证明：二次型的矩阵1111111(,,)n n n nn nnx x x a a f x x x a a -=-是A 的伴随矩阵*A 。
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：高等代数 科目代号：341注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！,A B B A B A 一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明把的所有列同时加到上秩也不变.111212122212.....................(2)n n n n nn x a x a x a x a x a x a x D a xa xa xD ++++++=+++二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.()()()()111i ii i A ii A A A ±==三、(15分)证明下面的和等价：矩阵是正交矩阵；矩阵的行列式为；当时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当－时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.22,()0;0,2,0.kab A A x a d x ad bc cd A k A ⎡⎤=-++-=⎢⎥⎣⎦=>=四、(15分)(1)设矩阵则矩阵满足方程(2)二阶矩阵满足则1*322010232,101,2,22301A P B P A P E B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦五、(15分)设矩阵求的特征值和特征向量.1212121212,,,,,.W W W V W W W W W W W W W W W W ⊆=+=+= 六、(15分)设是向量空间的子空间，证明,,,A B C D 七、(15分)三阶矩阵具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.V W W ψψψ⊥八、(15分)设是向量空间的正交变换，是的不变子空间，证明也是的不变子空间.1.A G G AG A -九、(15分)设为实矩阵，证明存在正交矩阵，使为上三角矩阵的充要条件是的特征值均为实数112212121212()[],()[],1,2,(,)(,)(,,,)i i i i P f f x P x g g x P x i f g f g f f f g g f g g =∈=∈==十、(15分)设为数域，证明浙 江 大 学二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目 高等代数 编号 741 注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一.(17分) 设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=,证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±.二.(17分)计算n(n>1)阶行列式 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-22111432321121...........................n n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n , 其中 kn k k k x x x s +++= (21)三.(17分)假设矩阵A,B,C 满足ABC 有意义.求证: 秩(AB)+秩(BC)≤ 秩(B)+ 秩(ABC)四(17分) 设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系,而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的k 个线性无关的解,并且k<s.求证s ξξξ,...,,21中必可取出s-k 个解,使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系.五.(17分)设n(n>1)阶方阵A 满足,0652=+-E A A 其中E 是n 阶单位矩阵.证明:A 相似于对角矩阵;如果A 行列式等于m n m m n m,0(32<<-是正整数).求与A 相似的对角矩阵.六.(17分) 假设)(2R M V =是由实数域上所有22⨯矩阵构成的实数域上向量空间.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121,111B A λ,其中λ是参数. (1) 证明 AXB X =)(ϕ是V 上的线性变换;(2) 当1-≠λ时,证明ϕ是可逆线性变换; (3) 当1-=λ时,求线性变换ϕ的核和值域;(4) 在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵.七(16分) 求λ-矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--222211λλλλλλλλλ的初等因子和不变因子. 八(16分) 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=8111181111811118A (1) 求二次型⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ; (2) 用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;(3) 证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.(4) 求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)九(16分) 设1)()()()(22221+-⋅⋅⋅--=n a x a x a x x f , 其中n a a a ,...,,21是互不相同的整数.证明f(x)是有理数域上的不可约多项式.浙江大学1995年研究生高等代数试题一.(16分) 填空(不必说明理由).(1)ε1,……,εn 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下,)(,,1,1b b a a n n ==βα）（,则面积），（βα=∑=ni iiba 1的充要条件是(2)V V 2,1 维欧氏空间V 的子空间,存在0,2≠∈ααV,使得V 1⊥α的充要条件是子空间的维数之间满足 (3)对角矩阵为正交矩阵的充要条件是(4)数域P 上n 维线性空间V 上双线性函数f(x,y)=∑=nj i jiijyx a 1,可表示为两个线性函数∑==ni iixb fx 11)( ,∑==nj jjyc fy 12)(之积:f(x,y)=)()(21y x ff的充要条件是f(x,y)的矢量矩阵的秩为二.(12分) λ取何值时,线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ 有解?有解时,求出一般解.二.(12分)用非退化的线性替换将二次型)(32'1'x xx f =x x x x x x x x x 32312123222142438-++++化为标准型.四. 证明n 维线性空间V 上线性变换A 为数乘变换当且仅当V 中每一个一维子空间都是A 的不变子空间.五.(20分)(1)A 是n 级方阵,A 0≠,Ak=0.写出A 的特征根,A 的最小多项式,及回答A 能否与对角矩阵相似.(不必说明理由)（2）A ，B 均是数域P 上n 级方阵，且,0,0,0,02121====----n n n n B B A A 求证：A ，B 在数域上P 相似六（15分）设A 为n 阶实对称幂等矩阵（即2A =A ），秩A=r,X=（121,,n x x x ）为n 元实向量（记为X ∈n R ）。