离散数学复习资料全

《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下面这段述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3≠6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3≠6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a)可表示为:P→Qb)可表示为: ┐P→Qc)可表示为: P→┐Qd)可表示为：┐P→┐Qe)可表示为：S∧Rf)可表示为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。

b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B.[解]:a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b)((B→A)∨(A→B))1-3(3)用符号形式写出下列命题a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.b)我今天进城,除非下雨.c)仅当你走,我将留下.[解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影R:我在家读书S:我在家看报原命题可译为:(┐P→Q)∧(P→(R∨S))b)设:P:我今天进城Q:天下雨原命题可译为:┐Q→Pc)设:P:你走Q:我留下原命题可译为:Q→P１－３(4)称┐P→┐Q为条件命题P→Q的反换式Q→P为条件命题P→Q的逆换式┐Q→┐P为条件命题P→Q的逆反式试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。

（a）如果他有勇气，则他将得胜。

（b）如果天下雨，我不去。

[解]（a）设P：他有勇气，Q：他将得胜原条件命题可译为：P→Q反换式：┐P→┐Q，表示：如果他没有勇气，则他将不能获胜。

逆换式：Q→P，表示：如果他将得胜，则他有勇气。

逆反式：┐Q→┐P，表示：如果他不获胜，则他没有勇气。

（b）设P：天下雨，Q：我去原条件命题可译为：P→┐Q反换式：┐P→Q，表示：如果如果天不下雨，则我去。

逆换式：Q→P，表示：如果我不去，则天下雨。

逆反式：┐Q→┐P，表示：如果我去，则天不下雨。

1-4（1）试求下列各命题公式的真值表并解释其结果（a）（P→Q）∧（Q→P）；（b）（P∧Q）→P；（c）Q→（P∨Q）；（d）（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）；（e）（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））；（f）┐（P→Q）∧Q∧R 。

[解] （a）从真值表1-1中可看出：（P→Q）∧（Q→P）＜＝＞（P＜＝＞Q）(b) 从真值表1-2中可看出：（P∧Q）→P是永真式(c) 从真值表1-3中可看出：Q→（P∨Q）是永真式(d) 从真值表1-4中可看出：（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）是永真式(e) 从真值表1-5中可看出：（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））＜＝＞┐P∨Q＜＝＞P→Q＜＝＞┐（P∧┐Q）(f) 从真值表1-6中可看出：┐（P→Q）∧Q∧R是永真式表1-1表1-2表1-3表1-4表1-61- 4（2）用真值表判断下列各组公式是否等价：（a ） P →(Q →R)与（P ∧Q ）→R （b ） （P →Q ）→R 与（P ∧Q ）→R[解]由表1-7可知P→(Q→R) ＜＝＞（P∧Q）→R而（P→Q）→R＜≠＞（P∧Q）→R表1-71-4（3）试以真值表证明下列命题：（a）合取运算的结合律（b）德摩根定律[解] （a）如表1-8，（P∧Q）∧R＜＝＞（b）如表1-9，┐（P∧Q）＜＝＞┐P∨┐Q┐（P∨Q）＜＝＞┐P∧┐Q2-4（4）证明下列等价式：（a）A→（B→A）＜＝＞┐A→（A→┐B）；(b)（A∨B）→C＜＝＞（A→C）∧（B→C）；(c) ┐（A＜＝＞B）＜＝＞（A∧┐B）∨（┐A∧B）；(d) （（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D[证]（a）A→（B→A）＜＝＞┐A∨（┐B ∨A）＜＝＞（┐B ∨A）∨┐A＜＝＞（A∨┐B）∨┐A＜＝＞A∨（┐B∨┐A）＜＝＞A∨（┐A∨┐B）＜＝＞A∨（A→┐B）＜＝＞┐A→（A→┐B）（b）（A→C）∧（B→C）＜＝＞（┐A∨C）∧（┐B∨C）＜＝＞（┐A∧┐B）∨C＜＝＞┐（A∨B）∨C＜＝＞（A∨B）C（c）┐（A＜＝＞B）＜＝＞┐（（A→B）∧（B→A））＜＝＞┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））＜＝＞┐（┐A∨B）∨┐（┐B∨A））＜＝＞（A∧┐B）∨（B∧┐A））（d）（（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））＜＝＞（（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D）））＜＝＞（┐A∨┐B∨┐C∨D）（┐C∨A∨B∨D）＜＝＞（┐C∨D）∨（（┐A∨┐B）∧（A∨B））＜＝＞（┐C∨D）∨（（A∧┐B）∨（B∧┐A））＜＝＞（┐C∨D）∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））＜＝＞（┐C∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A）））∨D＜＝＞┐（C∧（┐A∨B）∧（┐B∨A））∨D＜＝＞┐（C∧（A→B）∧（B→A））∨D＜＝＞┐（C∧（A＜＝＞B））∨D＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D1-4（5）判断下列命题公式的类型（永真；永假；非永真，也非永假）：（a）（（P→Q）∧P）→Q；（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R；（c）P ∧(((P ∨Q) ∧┐P) →Q).[解] （a）（（P→Q）∧P）→Q＜＝＞（（┐P∨Q）∧P）→Q＜＝＞┐（（┐P∨Q）∧P）∨Q＜＝＞（┐（┐P∨Q）∨┐P）∨Q＜＝＞（（P∧┐Q）∨┐P）∨Q＜＝＞（（P∨┐P）∧（┐Q∨┐P））∨Q＜＝＞（┐Q∨┐P）∨Q＜＝＞T∨┐P＜＝＞T∴（a）为永真式（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R＜＝＞┐（┐P∨P ∨Q）∧R＜＝＞（P∧┐P ∧┐Q）∧R＜＝＞F∧R＜＝＞F∴（b ）为永假式（c）P ∧(((P ∨Q) ∧┐P) →Q)＜＝＞P ∧(┐((P ∨Q) ∧┐P) ∨Q)＜＝＞P ∧(┐((P∧┐P )∨(Q ∧┐P)) ∨Q)＜＝＞P ∧(┐(F∨(Q ∧┐P)) ∨Q)＜＝＞P ∧(┐Q ∨P ∨Q)＜＝＞P∧T＜＝＞P∴（c ）为非永真式，也非永假式1-4.(6)化简如下语句：“情况并非如此：若他不来，则我不去”。

[解]：首先符号化上述语句。

设P：他来。

Q：我去则原句：┐（┐P→┐Q）然后化简上述命题公式┐（┐P→┐Q）＜＝＞┐（┐┐Q→┐┐P）＜＝＞┐（Q→P）＜＝＞┐（┐Q∨P）＜＝＞Q ∧┐P即：我去了，但他未来。

1—4（7）（a）如果A∨C＜＝＞B∨C，是否有A＜＝＞B？如果A∧C＜＝＞B∧C，是否有A＜＝＞B？如果┐A＜＝＞┐B，是否有A＜＝＞B？[解]（a）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∨C＜＝＞B∨C时，有可能某种指派使C为T，但A、B的值并不相同（b）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∧C＜＝＞B∧C时，有可能某种指派使C为F，但A、B的值并不相同（c）结论正确。

因为（A→B）＜＝＞（┐B→┐A），所以┐B→┐A为永真式时，A→B也是永真式。

即┐B＝＞┐A时，必有A＝＞B。

同理┐A＝＞┐B时，B＝＞A。

所以┐B＜＝＞┐A时，必有A＜＝＞B1—5（1）试证下列各式为永真式：（a）（P ∧（P→Q））→Q；（b）┐P→（P→Q）；（c）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）；（d）（（P∧Q）∨（Q∧R）∨（R∧P））＜＝＞（（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P））[解]（a）（P ∧（P→Q））→Q＜＝＞（P ∧（┐P∨Q））→Q＜＝＞（P ∧┐P）∨（P∧Q））→Q＜＝＞（P ∧Q）→Q＜＝＞┐（P ∧Q）∨Q＜＝＞┐P∨┐Q∨Q＜＝＞┐P∨T＜＝＞T（b）┐P→（P→Q）＜＝＞P∨（┐P∨Q）＜＝＞P∨┐P∨Q＜＝＞T∨Q＜＝＞T（c）当本条件命题的后件为F时，必有P：T；R：F考察条件的前件（P→Q）∧（Q→R）。

当Q：F时，因P→Q：F；当Q：T时，因Q→R：F。

所以前件必为F。

故（P→Q）∧（Q→R）＝＞P→R因此（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）是永真式（d）（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）＜＝＞（Ｑ∧（P∨R））∨（R∧P）＜＝＞（Ｑ∨（R∧P））∧（（P∨R）∨（R∧P））＜＝＞（Ｑ∨R）∧（Ｑ∨P）∧（P∨R）＜＝＞（P∨Ｑ）∧（Ｑ∨R）∧（R∨P）∴（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）＜＝＞（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P）1-5（2）不构造真值表证明下列蕴涵式：（a）（P→Q）＝＞P→（P∧Q）;(b) （P→Q）→Q＝＞P∨Q；（c）（Q→（P ∧┐P））→（R→（R→（P ∧┐P）））＝＞R→Ｑ[证] （a）解法1设P→Q为T，则（1）P为T，Q为T 因而P→（P∧Q）为T或（2）P为F 则必有P→（P∧Q）为T所以（a）成立。