热学习题思考题解题指导第二章第1,2节

第二章分子动理论的平衡态理论
§ 基本概念和基本要求
（一）了解分子动理论的主要特点。

（二）掌握概率的基本性质和求平均值和基本方法。

知道什么是概率分
布函数。

（三）麦克斯韦速率分布（1）初步了解验证麦克斯韦速率分布的分子射线束实验。

（2）掌握麦克斯韦速率分布函数，知道它的物理意义，知道它的分布曲线是如何的，知道它的分布曲线是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变的。

（3）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这 3 个公式。

（四）麦克斯韦速度分布
（1）理解速度空间概念。

※（2）知道麦克斯韦速度分布是任一分子处在速度空间中任一体积为
dv x dv y dv z 的小立方体中的概率。

（3）掌握麦克斯韦速度分布。

※（4）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。

* （5）了解相对于最概然速率的麦克斯韦速度分布和速率分布。

※（五）了解气体分子碰壁数及其应用。

（六）外力场中自由粒子的分布玻耳兹曼分布
（1）掌握等温大气压强公式。

※（2）了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。

※（3）了解玻耳兹曼分布。

（七）能量均分定理
（1）理解自由度与自由度数。

（2）掌握能量均分定理，知道对于常见的双原子分子一般都有 3 个平
动自由度、2个转动自由度。

探(3)知道能量均分定理的局限性。

§解题指导和习题解答
2. 2. 1 在图中列出某量 x 的值的四种不同的概率分布函数的图线。

试 对于每一种图线求出常数 A 的值，使在此值下该函数成为归一化函数。

然后 x 平均
值。

x
a xf (x)dx
1 a xdx 0
a
2a a
a
2
x 2 f (x)dx
1 a
2 .
x dx
2
a
a
2a
a
3
0 xf(x)dx
a
a 0
xf (x) dx a/2
(b )归一化条件：
(2a 0) A a A 1/2a
概率分布函数为：
1/2a 0 x 2a
0 x 0; x 2a
2
计算x 和x 的平均值，在图(a )情形下还应该求出
[a ( 所以概率分布函数为：
a)] A
1,
A 1/2a
f(x)
1/2a
a ；
1。

则
X
xf(x)dx 0
〖解〗：归一化，
f (x)dx 1
在上述积分中考虑到
f ( x)是偶函数，所以有
f (x)dx 2。

f (x)dx 8 n A ■- ^a 3/2 / 4
1
3/2
A (a/n) /2
可以知道处于9 ~
1范围内概率为
P A e 64a 4 n 64 x
0.5 (a/ nf 4 n 64 exp( 64a) 0.000 2
2. 3. 1 求0°C, 0.101 MPa 下1.0 cm 3的 氮气中速率在
-1
-1
500 ms 至U 501 m s 之间的分子数。

2a
xf (x)dx 丄 2a 2a xdx
o
1 2a
2a o
a
x 2
2a
x 2
f(x)dx
1 2a
2a
x 2dx
(c )归一化条件为
(1/2)
概率分布函数为：
a) A 1 1/a
f(x)
(x a)/ a 2 (x a) / a 2
2.2.2 式中A 和
近似表示式。

3
x 2 f (x)dx
a
a 2/6
量x 的概率分布函数具有形式
a 是常数，试写出x 的值出现在 2
f (x) Aexp( ax ) 4
9至U 1范围内的概率
X
〖分析〗:这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的
问题，应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布，即使用误差函数来求
解。

但是注意到，500 m s-1至U 501 m s-1之间仅仅差1 m s-1，它要比500 m s-1小得多。

可以认为在500 m s-1至U 501 m s-1范围内麦
克斯韦速率分布是不变的。

它的概率等于在横坐标为500 m s-1到
501 m s-1之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积( 这个梯形可以
看作矩形)。

〖解〗：设0°C, 0.101 MPa下，1.0 cm3中的理想气体分子数为
25 3
N ,利用洛施密特常量n。

2.7 10 m 可以得到
N 1.0 10 6 2.7 1025 2.7 1019
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在v~v dv之间的分子数为
3/2 2 2
Nf(v)dv 4 N (m/2 n kT) exp( mv/2kT)vdv (1)
-1 -1
现在其中的v 500 m s , dv 1ms,氮气温度T 273 K ,而氮分子质量m 28 1.67 10 kg。

将它们代入(1)式即得到在500 m s
到501 m s-1之间的分子数为N 4.96 1016。

2. 3. 2 求速率在区间v p ~ 1.01 v p内的气体分子数占总分子数的
比率。

〖分析〗：利用v p. 2kT/ m的公式，并且令u v/v p,贝何以
把麦克斯韦速率分布表示为
dN u/ N (4/门)exp( u2) u2du ( 1)
由于V p和V p的差异比V p小得多，和上题的分析类似，可以认为(1) 式中的du = , u = 1。

〖答〗：%。

2. 3. 3 请说明麦克斯韦分布中，在方均根速率附近某一小的速率区
间dv内的分子数随气体温度的升高而减少。

〖解〗:麦克斯韦速率分布为：
3/2 2 2
f (v)dv 4 n (m/ 2 n kT) exp( mv / 2kT) v dv
方均根速率为v rsm- 3kT /m
在方均根速率附近某一小的速率区间dv内的分子数为：
p
N f(v rms ) dv 4 nN (m/2 n kT)3/2 e )p[ m(3kT /m)/2kT] (3kT/m)dv 它和,m / kT 成正
比，所以它随气体温度的升高而减少。

2. 3. 4 根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值
(1/v)。

〖解〗：按照利用概率分布函数求平均值的公式
(1/v) o (1/v) f(v) dv
3/2
2
0 4 n (m/2 n kT) e )p( mv /2kT) vdv
(4/冗)(1心
2. 3. 5 (1) 某气体在平衡温度 T 2时的最概然速率与它在平衡温度
T i 时的方均根速率相等，求
(T 1/T 2)。

(2)已知这种气体的压强为
p ;
密度为
，试导出其方均根速率的表达式。

1/2
〖答〗:(1) 3/2; (2) (3p/ )。

2. 3. 6 试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概 然动能。

它是否等于
mv p / 2 ?为什么？
〖分析〗:对于理想气体来说，麦克斯韦速率分布和按照平动动能 的分布是完全等价
的。

也就是说，F( )d f (v)dv ,所以只要将 f(v)dv 中的v 以平动动能
来表示，就得到按平动动能的分布。

〖解〗:麦克斯韦速率分布为
3/2
f(v)dv . m 4 n
2冗kT mv exp
2kT
v 2
dv 因为
mv 2 / 2, d
mvdv 。

将它们代入上式， 可以得到
2 3/ 2 1 / 2 /
F( )d
(kT) n
exp(— kT
)d
要求出最概然动能只要对上式两边取导数，并且命令它等于零
dF( )/d
p
p
kT/2
但是由最概然速率所表示的动能
2 mV p
/2
这说明最概然动能与 mv ： / 2不相等。

前面讲到麦克斯韦速率分布和按平动动能的分布是完全等价的 最概然动能和由最概然速率所表示的动能不相等
实际上，其差异不是来自物理上，而是来自数学上。

既然
F( )d f(v)dv
而d dv , 则函数形式 f( ) f (v)。

它们的导数的函数形式也不相等
所以
P
mv ；/2。

2
. 3, 7 已知温度为
T
的混合理想气体由分子质量为
g 的1
尔分子及由分子质量为 m 2的 2摩尔分子所组成。

试求：(1)它们的速
率分布；(2)平均速率。

〖分析〗:速率分布是指其速率在
v ~ v dv 范围内的所有分子和总
分子数之比。

我们以前讨论的是纯气体,其速率分布是和这种气体的分子 质量有关的。

现在是混合理想气体,其速率分布不仅和这几种气体分子的
质量有关，并且和每种气体的物质的量(即 mol 数)所占百分比有关。

〖解〗:(1)设组成混合理想气体的两种气体的分子数分别为
N 2。

(或者说它们的物质的量分别为
1
, 2)。

对于分子质量为 m 1的1摩尔
分子，它们的速率在 v~v dv 的总分子数为 dN 1(v),这些分子在整个 气体分子中所占有的概率为：
f 1(v)dv dN 1(v)/(N N 2)
f 1 (v)dv [ 1 /( 1
2)] 4 n (m 1/2 n kT)3/2 exp( m 1v 2/2kT) v 2
dv
同理对于分子质量为 m 2的 2摩尔分子，它们的速率在 v~v dv 的
总分子数为 dN 2(v)，这些分子在整个气体分子中所占有的概率为：
f 2(v)dv [2/(1
2
)] 4 n (m 2/2 n kT)3/2 e )p( m^v 2/2kT) v 2dv
2
(kT) 3/2
•. n
exp( 2, p
P 1/2 p
kT p exp(讦)(
kT )0
得到最概然动能
m (2kT/m) (1/2) kT
,为什么
所有其速率在 v ~ v +d v 的两种不同质量的分子占有的概率为
3/2 2 2
2
)] 4 n (m 1/2n kT) exp( m 1v /2kT) v dv
3/2
2
2
2)]
4n (m 2 / 2n kT) exp( m 2v /2kT) v dv
这就是混合理想气体的速率分布。

(2)显然，其平均速率
[i /( 1 2)] ,8kT/ m [2/(1
2
)] ,8kT/ n m
2. 3. 8 证明在麦克斯韦速率分布中，速率在最概然速率到与最概然 速率相差某一小量的速率之间的分子数与 .T 成反比。

处于平均速率附近
某一速率小区间内的分子数也与
,T 成反比。

〖解〗：最概然速率 v p 2kT /m ，又其速率在 v 〜v dv 范围内 的分子数为
dN v ~v dv Nf (v)dv
4 n N (m /2 n kT)3/2 exp( mv 2 /2kT) v 2dv
速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数为
dN%" dv 4 n N (m/2n kT)3/2 exp( 2kT/2kT) (2kT/m)dv
(4N /e) (m/2 n kT)1/2dv
所以速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与
T 成反比。

处于平均速率附近某速率小区间的分子数
dN v ~v dv 4 n N (m/2 n kT)3/2 exp[ (m/2kT) (8kT/m)] (8kT/m)dv
(8N / n)exp( 4/ n 、2m/ n kTdv
f (v)dv [ i /( i
[2/( 1 f 1 (v) vdv f 2 (v)vdv
N(m/2 n kT)1/2 exp[ m(v ： v ：)/2kT]
(5)
它也与、T 成反比。

2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统 中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分 子仍可十分自由地在固体表面上滑动，
这些分子十分近似地形成
2维理想气
体。

如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T ，试给出表示分子处
于速率为 v 到v+d v 范围内的概率 f ( v) d v 表达式。

〖解〗：我们知道，通常的麦克斯韦速度分布是
3维的
f(v x )dv x f (v y )dv y f (v z )dv z
( 1)
其中速度在x, y, z 的3个分量上的分布函数都具有如下形式：
1/ 2 2
f (v i )dv i (m/2 n kT) exp( mv i /2kT)dv i
(i x,y,z)
(2)
显然，只能在XY 平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是
1/2 2
f (v x )dv x f (v y )dv y (m/2 n kT) exp( mv x /2kT)dv x
1 /
2 2
(m/2n kT) exp( mv y /2kT)dv y
(3)
其中 dv x dv y 实际上就是在 2维速度空间中位置在
v x ~ v x dv x ,
v y ~ v y dv y 范围内的正方形这一微分元的面积，而
f (v x ,v y )dv x dv y
f (v x )dv x f (v y )dv y
是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。

设在
2维速度空间中位
置在v x ~ v x dv x , v y ~ v y dv y 范围内的这一微分元上的分子代表点 数为dN v x ,v y 。

显然它被除以微分元的面积 dv x dv y ，就是在
2维速度空
间中的分子代表点的数密度
D(v x ,v y )，所以
D(v x ,v y ) dN V x
,V y
/dv x dv y Nf (v x ,v y )
下面我们从速度分布导出速率分布。

我们知道2维理想气体的麦克斯韦 速率分布表示了分子处在
2维速度空间中，半径为 v 〜v dv 的圆 这就是2维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。

(3)式也可以写为
f(v x ) f (v y ) dv x dv y f (v x ,v y )dv x dv y
(4)
环内的概率dN v/N。

dN v是在半径为v〜v dv的圆环内的分子代表点数。

它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度D(v x,v y)。

利用(5)式
可以得到
dN v D(v x, v y) 2 n vdv
2
N (m/2 n kT) exp( mv /2kT) 2 n/dv
2
N (m/ kT) exp( mv /2kT)vdv
所以分子处于速率为v至U v+d v范围内的概率f ( v) d v的表达式为
dN 2
v f (v)dv (m/ kT) exp( mv /2kT)vdv (7) N
它就是2维理想气体的麦克斯韦速率分布。

2. 4. 2 分子质量为m的气体在温度T下处于平衡。

若以v x,v y,v z及v分别表示分子速度的x、y、z三个分量及其速率，试求下
述平均值：
(1)v x ； ( 2) v；；( 3) v x v2；(4) v j v y ；( 5) (v x bv y)2。

〖分析〗:在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质，即互相排斥
事件概率相加法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。

另外，因为麦克斯
韦速度分布函数是个偶函数，所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。

对于偶函数，因为积分范围〜是对称区间，所以应该分区
间积分。

〖解〗：(1)麦克斯韦的速度的x、y、z三个分量分布可以表示为.
1/ 2 2
f(v」(m/2n kT) exp( mv"2kT) (i x，y，z)
v x v x f (v x)dv x
1 /
2 2
(m/2 n kT) exp( mv x /2kT)v x dv x
1/2 2
(m/2 n kT) exp( mv x/2kT) v x dv x
1/2 2
(m/2 n kT)
e )p( mv x /2kT) V x dV x
v X v X f(V x )dV x
(m/2 n kT)1/2 e>p( mV 2/2kT)
(5)利用概率相加法则
dN u /N f (v)dv 4 / n exp( u 2 )u 2du
〖解〗:
最概然速率为(2k T / m ) 1/2
,贝U
3/2
2 2
f (v)dv 4 n (m/2 n kT )
e )p( mv /2kT) v dv
可以变换为
f (v)dv 4/、n exp( v 2 /v p ；) (v 2 / v p ；) d(v/v p )
令v/V p u,，上式可以化为
dN u / N f (v)dv 4/ - n exp( u 2)u 2du
2. 4. 4 设气体分子的总数为
N ，试证明速度的 x 分量大于某一
V ：dV x kT/m
(3)由于 平均值等于零， V x 和 则有
(4)同样
V 2相互独立，利用概率相乘法则，
并且考虑到 V x 的
2
V x V
V x V 2
V x , V y 相互独立 ,和“(3)”类似
2
V x
V y V ； V y 0
2. 4. 3
2
(V x bV y )
V ： 2bV x V y b 2V ：
V ： 2bV x V y b 2V ：
2
kT/m 0 b kT /m
2
(kT/m)(1 b )
证明：相对于 V p 的麦克斯韦速率分布函数
式。

给定值V x的分子数为
N(V x ) (N/2)[1 erf(U x)]其中u x v x/V p
〖解〗：已经知道速度的x分量分布为
f(v x)dv x (m/2 n kT )1/2 e^( mv；/2kT)dv x
速度的x分量在(0 v x)范围内的分子数为
v
N(0 V x) o Nf(V x)dV x 命令v/V p u,
N(0 V x) N / , n^exp( x2)dx ( N /2 ) erf(x可以得到
速度的x分量在0~ 之间的分子数为N/2，所以
N(v x ) N/2 N(0 v x) ( N /2 )[1 erf(u x)]
2. 4. 5 求麦克斯韦速度分布中速度分量V x大于2V p的分子数占
总分子数的比率。

〖提示〗：利用2. 4. 4题证明的结果，现在
erf (u x) erf(2) 0.9953。

〖答〗：0.002 35。

2. 4. 6 若气体分子的总数为N，求速率大于某一给定值v的分子数。

设(1) v V p ； (2) v 2V p 。

〖提示〗:利用相对于V
P
的麦克斯韦速率分布，在0 ~ v范围内的
分子数为
N(0 v)N e rf(u) (2/J 冗)u exp( u2)
速率大于V的分子数为：N N(0 v )。

〖答
〗:
(1) N; (2)N。

2. 5. 1 一容积为1升的容器，盛有温度为300 K,压强为30 104 Pa
3 2
的氩气，氩的摩尔质量为kg。

若器壁上有一面积为X 10-cm的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的1/e ?
〖分析〗:这是一个泻流问题，可以应用气体分子碰壁数来解。

应
该注意，容器内的分子数（或者说容器内的分子数密度 ）是随时间而减少的 所以 是个变量。

或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建 立微分方程。

考虑在t 到t dt 时间内，容器内的分子数由于泻流从 N
变化为 N dN ,其中dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数 ,列 出dN 和 量,积分,
〖解〗:
dt 之间的关系，这就是解本题所需要的微分方程。

经过分离变 就可以得
到所需要的结果。

在dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为
-dN nvAdt/4
其中n 为气体分子数密度。

考虑到气体的流出使得分子数减少
，所以在上
式中加一负号。

现在在上式两边都除以容器体积 V ,并且在0到t 之间 进行积分
n
2
(v A/4V)dt ni (1/n)dn
(v A/ 4V )t ln(n 2 / nJ
现在要求容器中的原子数最后减少到
1 / e, 即
n 2 n i /e,
ln( n 2 / nJ
1
t 4^ 4V 卜 M m V
：2 n M m
A v A 8RT
A ' RT
100 s
即：经过100 s 容器内原子数减为原来的 1/e 。

2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为
R1 , P 2。

两部分气体的温度均为 T ，摩尔质量均为 M m 。

试证明：如果
过小孔从一边流向另一边，和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为
p / 2 n mkT
隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为
如
Mm
(P 1
dt
2 n RT
P 2)A
1分析〗:容器被隔板分成两部分以后
隔板左右两边的气体都可以通
现在分别用下标1, 2分别表示隔板左、右气体的各个物理量。

在dt 时间内通过单位面积小孔，隔板左边净增加的分子数为
在dt内通过小孔的气体质量为
2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温
泵”，它是提高真空度的一种简便方法。

考虑一半径为0.1 m的球形容器，器壁上有一面积为1 cm2的区域被冷却到液氮温度(77 K )，其余部分及整个容器均保持300 K。

初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33 Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的
10 4 Pa，需多少时间？
时刻分子数密度为
上的分子数为
25. 4 有人曾用泻流法测量石墨的蒸汽压。

他们测得在2 603 K 的
P i P2 (1/ .. 2n mkT)
dm m dt ' 2 n kT P2 A
M m \
2n RT
P i P2 A
压强减小为1.33
〖解〗：设t n(t)，则dt时间内碰在A面积
dn(t) n^v
4V
Adt
利用p = nkT公式,它可以化为
经过积分,可以得到dp(t)
P(t)
dn(t)
dt 4V
Adt
P(t) P0 exo(
4V
A t) P0 exp(
P(t) P0 exp(
RT
t)
1.33 10 4Pa
1.33 Pa t 4V l n10 2 冗M
2.60 s
温度下有0.648 10 3 kg的碳在h内通过mn2的小孔。

假定碳的蒸汽分子是单原子的，试估计石墨在 2 603 K时的蒸汽压强。

〖分析〗：即使在2 603 K的温度下，碳的蒸汽压强并不大，可以认为它是理想气体。

p nkT和气体分子碰壁数公式都适用。

另外，因为在温度一定的情况下，饱和蒸汽压强是不变的，所以可以利用透过小孔泻流的分子数来确定石墨的蒸汽压强。

〖答〗:5.3 10 2 Pa。

2. 5. 5若使氢分子和氧分子的v rms等于它们在地球表面上的逃逸速
率，各需多高的温度？若使氢分子和氧分子的V rms等于月球表面上的逃逸
速率，各需多高的温度？已经知道月球的半径为地球半径的倍，月球的重力
加速度为地球的倍。

〖分析〗:在离地球中心距离为R的高层大气中，必有某些气体分子的
速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率V min（它称为逃逸速率），这些分子向上运动时，只要不和其它分子碰撞，就可以逃逸出大气层。

其逃逸速率满足
2
GM E m/ R mv min,E /2
在忽略重力加速度随高度的变化的情况下，可以用地球表面的数据替代，则
V
min,E ,/2GM E / R E :/2R E g E
（1）其中g E是地球重力加速度，M E是地球质量，R E是地球半径。

同样，在月球表面上也有逃逸速率V min,M。

和（1）式类似，有如下表达式
V
min, M V2GM M / R M V2R M g M （2）
其中下标M表示月球的各物理量。

〖答〗:氢分子和氧分子的V rms分别等于地球表面上的逃逸速率时的
氢气和氧气的温度分别为
T H,E 1.0 104K , T O,E 1.6 105K
氢分子和氧分子的V rms分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和
氧气温度分别为
T H,M 4.6 102K , T O,M7.4 103K
2. 5. 6 气体的温度T 273 K，压强p 1.01 102 Pa，密度
3 3
1.24 10 kg m o试求：（1）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；（2）气体分子的方均根速率。

〖提示〗: 把理想气体方程变换为求密度的公式，从而确定气体的摩尔
壬曰. 质量o
(2) 4.94 102 m s-1。

1 答〗:(1)28 10 3 kg ,
2 或者CO ；；
2. 5. 7 当液体与其饱和蒸汽共存时，气化率与凝结率相等。

设所有
碰到液面上的蒸汽分子都能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸汽迅速抽去时，液体的气化率与存在饱和蒸汽时的气化率相同。

已知水银在0 0C时
的饱和蒸汽压为0.024 6 N m-2，气化热为336 kJ kg-1，问每秒通过每
平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。

〖答〗:6.7 10 9 kg。

2. 5. 8 一带有小孔（小孔面积为A ）的固定隔板把容器分为体积
均为V的两部分。

开始时，左方装有温度为T0、压强为p0的单原子分子理想气体，右方为真空。

由于孔很小，因而虽然板两边分子数随时间变化，但仍可假定任一时刻近似是平衡态。

又整个容器被温度为T0的热源包围。

试求：（1 ）在t到t + d t时间内从左方穿过小孔到达右方的分子；
（2）
左方压强的具体表达式（它是时间的函数）；（3）最后达到平衡时气体与热源一共交换了多少热量？
［解］:（1）左方和右方容器都有分子穿过小孔到达对方容器。

设t时刻左方和右方容器中的分子数密度分别为m（t）, n2 （t）。

由于左方、右方容
器体积相等，并且开始时刻右方容器压强为零，所以
"（t） n2（t） n°（其中n°p°/kT）
（1
）
按照气体分子碰壁数公式，在t到t + d t时间内，从左方穿过小孔到达右方的分子数为
dN1 n 1 vAdt /4 n2vAdt/4
（2）
(2) 利用(1 )、(2)两式可以得到
dm (A/4V) v(2n 1 n o )dt
分离变量积分，并且利用
p nkT 公式。

得到左方压强的具体表达式为
(3)
由于左、右方容器温度始终为 T 0,系统
和外面的温度始终相等
所以最后达到平衡的过程中气体与热源没有热量交换。

2. 5. 9 容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜构成。

容器内的气体可穿过小孔逸出到容器外面的、始终维持高真空的大容器中。

若容器内充满温度为室温、压强为p 0的氦气，则一小时后容器内压强将降 为p/2。

已知容器内装的是压强为
p 0的氦气与氖气所组成的混合理想气
体，且氦气与氖气的百分比相等，试问经一小时后氦气、氖气的分子数密度 之比n
He
/ n Ne 是多少？试以氦气与氖气的摩尔质量之比 M He /M Ne 表
示之。

试问为什么要先用纯氦气测一下容器中压强降低一半所需的时间
？
〖分析〗：由于平均速率和分子质量的平方根成反比 ，所以混合理想气 体穿
过小孔泻流到容器外面的真空中时 ，质量小的分子穿过小孔的概率大 ， 利用这一性质可以用来分离氦、氖气体。

〖解〗:设原纯氦气的分子数密度为 n ，则氦、氖混合前后其各自分子
数密分别为 n/2, n 1和n/2, n ?。

对纯氦气利用气体分子碰壁数公式， 可以有
Av He t o /4V In 2
其中t o 1小时。

实际上，利用(1)式就可以确定 A/V (应该注意到 膜中所有小孔的总面积
A 是不能直接测定出的
)。

下面分别求出氦气、氖气的数密度随时间的变化关系。

对于混合理想气 体中的氦气有
P i (t) (P o /2)
1 exp ； vAt / 2V
(n V He /4)A dt
t
V dn 0 (V He /4V)Adt
n
'(1/n)dn
(1)
4V
A dt
n 1 1 dn
n/2
n
AV He t 4V
In — n/2 In 丄 2厲
(2)
经一小时后氖气的分子数密度为
先用纯氦气测出氦气在容器中压强降为一半的时间，目的是通过比较可 以消去
A/V 这一无法确定的系数。

2. 5. 10 试证分子束中的气体分子的平均速率及方均根速率分别为
9 冗 kT 2
4kT
v
束“.
厶v 束
* 8m
V
m
〖分析〗:由于分子束是借助容器中气体透过小孔泻流出来的分子去穿
过准直狭缝而制得。

泻流分子与容器内气体分子的不同在于， 前者是动态的，
它的平均速度(注意是平均速度而不是平均速率)
不为零，因而有宏观迁移；
而后者是静态的，其平均速度为零。

反映在速率分布上，后者是麦克斯韦速 率分布，其概率分布函数正比于
v 2 exp( mv 2 / 2kT)；而前者是动态的，速
率大的分子逸出小孔的概率大些，所以概率分布函数正比于 v 3exp( mv 2 /2kT)［请注意：这里是 v 3,而不是 v 2 ］。

所以分子束
n A V He t exp
2
4V
利用(1)式,并且令t o = 1小时,则可以知道 度
经一小时后氦气分子数密
m (n/2) e )p In2
n/4
同理，对于氖气有：
(3)
n exp 2
A V Ne t 4V
(4)
由此可求得
n He
n
Ne
n 2 -exp 独 In2 2 V He
n r )
n/4 (n/2) 2
V Ne / V He
V
Ne
V He
(5)
(1 M He /M Ne )
(1
V Ne
的速率分布函数可以写为
F (v)dv Av3 exp( mv2/2kT)dv
其中A为归一化系数.通过归一化可以求得
A m2/2(kT)2
这说明分子束的速率分布为
F(v)dv [m2/2(kT)2] v3 exp( mv2 /2kT)dv
〖解〗：利用分子束的速率分布可求得分子束的平均速率及速率的平方平均值分别为：
v束0 [m2/2(kT)2] v v3exp( mv2/2kT)dv .9 n<T/8m
2 2 2 2
3 2
v束o [m /2(kT) ]v v exp( mv /2kT)dv 4kT/m
方均根速率为.v束.、4kT/m
2. 5. 11 从一容器壁的狭缝射出一分子束，(1)试求该分子束中分子
的最概然速率v p和最概然能量p。

(2)求得的v p和p与容器内
的v p和p是否相同，为什么？(3) p是否等于(mv p/2)，为什么？
〖解〗：(1)由上题的分子束的速率分布函数
F(v)dv [m2/2(kT)2] v3exp( mv2/2kT)dv
可以得到分子束中分子的最概然速率v p:
d 2 2 3 2
[m /2(kT) ] v exp( mv /2kT) v v 0
dv p
v p、3kT / m
把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数：
F( )d [1/2(kT)2] exo( /kT)d(m2v4 /4)
[1/2(kT)2] exp( /kT)d 2
2
[2 /2(kT) ]exp( )d
kT
dF( ) d[[2 /2(kT)2]exp( /kT) 0
kT
（2） 我们看到，求得的分子束的 V pi 和 pi 与容器内气体分子的 V p2和 P2不
同。

容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处 于动态的，所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子的速率分布。

（3） 我们也看到
v p1 、3kT/m 2kT/m v p2 ,
pi
kT
kT /2 p2 ,
也是因为分子束中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是处于静态的。

2. 5. 12 暴露在分子质量为
m 分子数密度为 n 温度为 T 的理想
气体中干净的固体表面以某一速率吸收气体分子
（其单位为分子数/秒•米
）。

若固体对撞击到表面上的，其速度法向分量小于 v r 的分子的吸收概率
为零，而对大于
v r 的分子的吸收概率为 1 ,试求吸收速率的表达式。

〖解〗：若以固体表面的法向定为 x 方向，按照题义，所有速度分量 V y ,V z 为任意，而法向分量 V x 大于V r 的分子撞击到表面上都能够被吸 收，但是其速
度法向分量小于
V r 的分子的吸收概率为零。

我们从气体分子
碰壁数公式的推导过程中就可以知道其总的吸收概率为：
V
F （V x ）dV x V nf （V x ）V x dV x
2 6. 1试证若认为地球的大气是等温的 ，则把所有大气分子压缩为
一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就 是大气标高。

得到最概然能量
V r
2冗kT
1 /2
exp
2 mV
x
2kT
V x dV x 2kT 2 2 冗 kT m
n
J 2^ exp( .2冗m
2 mV
r
2kT
exp
2
mV
2kT
V
r
1 2
)
〖分析〗：在离地高为 z ~z dz 的范围内的球壳体积为
dV(z) 4 n R E z)2dz
(1)
[说明：这是因为地球大气标高只有 8 km ,它比地球半径 R E 要小得 多，所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层 “纸”。

而“纸”的体积就等 于球面面积再乘以“纸”的高度。

]
当然，我们也可以如下更清楚地求出：
4 3
3
dV(z) ；n (z dz R E ) (z R E )]
3 4 2
2 3
n 3(z R E ) dz 3(z R E ) dz dz ] 3
忽略dz 的二次方和三次方项，同样有
2
dV(z) 4 n z R E ) dz
〖解〗:若设在海平面处的气体分子数密度
为n (0), 在球壳体积
dV( z )范围内的分子数
2
dN(z) dV(z) n(z) 4 n z R E ) dz n(0) exp( M m gz/RT)
N n(0) o 4M z 2 2Z R E R E 2) exp( M m gz/RT)dz
令RT /M m g H 称为大气标高，设在海平面处的气体分子数密度 为n(0)，所有大气的总分子数为
N ，则：
N 4 m(0)[ ° z 2 exp( z/ H )dz 2R E ° zex )( z/ H )dz
级，第三项又比第二项小 3个数量级。

我们完全可以忽略其中的第二项和第
2 R E 0
exp(
n(0) 4 n 匹 R E 2
mg
[1
訓dz
2kT
2(号
mg
mg R E
现在来估计 kT/mgR .
的等温大气，而且
R E 6.4 106km,
1.38 10 23 273
的数量级。

设地球大气为平均温度
m 29 1.67 10 27 (2)
T = 273 K
kg
kT 27
6
0.00124
mgR= 29 1.67 10 27 9.8 6.4 106
利用(3)式可以看到，(2)式的方括号中的第二项比第一项小
3个数量
(3)
三项。

显然，用近似方法进行计算要简便得多。

这时
2 kT 2
N n(0)4 K FR2() n(0) 4 冗R；H
mg
其中H为大气标高。

由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

2. 6. 2 试估计质量为109 kg的砂粒能像地球大气一样分布的等温
大气温度的数量级。

〖分析〗:(1)我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过
布朗粒子的质量比一般的分子大几个数量级。

从能量均分定理可以知道，
~2 ~2~2 ~2
mv x/2 mV y/2 mv x/2 kT /2 mv /6
若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。

同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级，相应地其均方
速率要小十几个数量级。

当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出，则砂粒的布朗运动(或者说无规运动)可以不必考虑。

可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。

(2)布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高kT / mg 应该都相同。

〖答〗：1018 K。

2. 6. 3若认为大气是温度为273 K的等温大气，试估计地球大气的总分子数及总质量。

〖解〗:解法一：由2. 6. 1题的解中已经得到所有大气的总分子数N 的表达式
kT 22kT kT 21
N n(0) 4 n R E [12()2]
mg mg R E mg R E
由于上式的方括号中第二项比第一项小3个数量级，第三项又比第二项
小3个数量级，完全可以忽略其中的第二项和第三项。

利用2。

6。

1题得。