等差数列(第一课时)教学设计公开课教学内容

无为二中公开课

教

学

设

计

课题《2.2等差数列》

执教人：汪桂霞

班级：高一（10）班

时间：2017.3.28（星期二）下午第一节

高一数学必修5 等差数列

第一课时

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.理解等差数列的定义及等差中项的定义

2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式

3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧

（二）过程与方法目标

1.培养学生观察能力

2.进一步提高学生推理、归纳能力

3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力

（三）情感态度与价值观目标

1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；

2.渗透函数、方程、化归的数学思想；

3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。

二、教学重难点

（一）重点

1、等差数列概念的理解与掌握；

2、等差数列通项公式的推导与应用。

（二）难点

1、等差数列的应用及其证明

三、教学过程

（一）背景问题，创设情景

上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。

思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？

1682，1758，1834，1910，1986，（2062 ）

特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年

我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062......

思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？

我们把表格中的数据写成数列的形式：28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.......

学生活动（1）：学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征：

（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062......

（2）28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.......

（3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1......

共同特征：1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。

2.这个常数可以为正为负，还可以为零。

（二） 新知概念，例题讲解 1.等差数列的定义：

如果一个数列从第2项起，它的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就称这个数列为等差数列. 要点：（1）从第二项起； （2）)1(a ),2n (a 11≥=-≥=-+-n c a c c a n n n n 或是为常数 （3）同一常数c 。

2.公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 “d ”来表示. 请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少

（1）d=76 (2)d=-6.5 (3)d=0 例1.下列数列是等差数列吗？为什么？ (1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10...... (2) 5，5，5，5，5，5，… (3) 4,7,10,13,16,19,20,23.......

例2.数列{3n-5}是等差数列吗？如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。 3.等差数列的通项公式

学生活动（2）: 你能根据规律填空吗?

（1）1，4，7，10，13，16，( ),( )…… （2）你能求出（1）中的20a 吗？

答案：58

319a ........

3

33103

2373

4a 12013412312=⨯+=⨯+=+==⨯+=+==+==a a a a a a a a 归纳得：Θ

等差数列通项公式的推导过程：探索、猜想、证明

如果一个数列那么为是等差数列，它的公差d,,......,,,,a 4321n a a a a 老师引导过程:d a a =-12 即：d a a +=12

d a a =-23 即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34 即：d a d a a 3134+=+= ……

由此可得：d n a a n )1(1-+= （n ≥2） 当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

d n a a n )1(1-+= （n ∈N *）

学生活动（3）: 请同学们思考：

你还能找到证明等差数列通项公式的方法吗？ 同学（一）：

2132431111123221111......(1),

(1)()()...()()(2)(1)上述式子左右两边分别相加得：当n=1时也成立。整理得：学生（三）：

因为又所以有：------=-=-=-=-=-=+-=-+-++-+-+-=≥=+-n n n n n n n n n n n n a a d

a a d a a d a a d

a a n d a a n d a a a a a a a a a a a a d n a a n d

教师小结：大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到等差数列 {}n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+= （n ≥2），其中a 1 是这个数列的首项, d 是公差。 4.例题讲解

（1）类型：在等差数列通项公式中，有四个量，,,,,a 1n a d n 知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .

（2）等差数列的函数意义：等差数列由一次函数中某些特殊的点组成。 趁热打铁练一练：

活动问题：等差数列中a 1 =1,d=2,数列的通项公式是什么？（a n =2n-1） 那么要求等差数列的通项公式只需求什么？（a 1和d ） 学生活动（4）：

同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。

通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲，这样才能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。 例3：求等差数列8，5，2…的第20项。

导析：由a 1=8，d=5-8=-3，n=20得，a 20=8+（20-1）×（-3）=-49 例4.-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 导析：由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n =-4n-1

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

变式训练：如果已知等差数列中任意两项，能不能求出a n 呢？