第4章 傅里叶变换与系统的频域分析

4.1 信号分解为正交函数
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意 输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf (t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1 i
(t)
j* (t) d t
0, Ki
0,
i j i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
代入，得最小均方误差
2 1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n
越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数
集），均方误差为零。此时有
t2 t1
f 2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（公式），表明：
1
2
3
4
5
6
t
4.2 傅里叶级数
二、波形的对称性与谐波特性
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
an
2 T
T
2 T 2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
2
{[1 cos(n )] [1 cos(n )]
2 0
T n2
2
n
[1
cos(n
)]
0, 4
n
,
n 2, 4, 6, n 1,3,5,
信号的傅里叶级数展开式为：
f
(t)
a0 2
n1
an
cos(nt)
bn
n1
sin(nt )
4 [sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) 1 sin(nt) ], n 1,3,5,
不为0，写为：
Ci
t2 t1
[2C
i
f
(t ) i
(t)
Ci2
2 i
(t
)]
d
t
0
即： 2
t2 t1
f
(t)i (t) d t
2Ci
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
0
所以系数
Ci
t2 t1
f
(t)i (t) d t
1
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t
4.1 信号分解为正交函数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时，其傅里叶级数中只含奇
次谐波分量，而不含偶次谐波分 量即：a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2
Tt
4 .f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2)
此时，其傅里叶级数中只含偶
次谐波分量，而不含奇次谐波分 量即 a1=a3=…=b1=b3=…=0
实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两 部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)
由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
4.2 傅里叶级数
fod (t)
f (t) f (t) 2
fev (t)
f (t) f (t) 2
f(t)
0 T/2 T
t
4.2 傅里叶级数
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算
常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可 从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f (t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
A0 An [e j(ntn ) e j(ntn ) ] 2 n1 2
4.1 信号分解为正交函数
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在任何函数 (t)(≠0）满足
t2 t1
(t ) i
(t) d t
0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。
例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
f
(t)
1 2
An
n
e
e j n
jnt
令复数
1 2
An
e
j n
Fn
en
Fn
称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。
Fn
1 2
An e
j n
1 2
(
An
cos
n
jAn sinn )
1 2
(an
jbn )
1
T
T
2 T 2
f (t) cos(nt) d t
j1 T
T
2 T 2
f
(t)sin(nt) d t
f (t)
1
T T 0
TT
3T
t
2
2
2
1
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(nt)dt
2 T
0
2
T 2
(1)
cos(nt
)dt
T
T
21 cos(nt)dt
0
0
T
2 T
1 n
[ sin(nt)]
T 2
2 T
1 n
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名 的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加 热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例 证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅 里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、 傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其他贡 献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法 和实根个数的判别法等。
满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三
角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin( nt)
系数an , bn称为傅里叶系数。
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t) sin( nt) d t
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误 差为：
2 1
t2 t1
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2
j 1
dt
4.1 信号分解为正交函数
为使上式最小（系数Cj变化时），有
2
Ci Ci
t2 [ f
t1
(t)
n
C j j (t)]2
j 1
dt
0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项
4.1 信号分解为正交函数
y
C2vy
A
x
0
C1vx
(a) 平面矢量分解
y C2vy
0 C3vz
A C1vx x
z
(b) 空间矢量分解
4.1 信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
1. 定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1
1
(t
)
2
*
(t
)
d
t
0
(两函数的内积为0)
3
5
n
4.2 傅里叶级数
基波 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
t
4.2 傅里叶级数
基波＋三次谐波
1 0.5
0 -0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
4.2 傅里叶级数
基波＋三次谐波＋五次谐波
1 0.5
0 -0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
1 0.5
0 -0.5
-1 0
4.2 傅里叶级数
基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波
上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中， A0/2为直流分量；