柯西不等式的应用(整理篇).doc
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柯西不等式的证明及相关应用
摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，
也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，
结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词 ：柯西不等式
柯西不等式变形式 最值
一、柯西（ Cauchy ）不等式：
a 1
b 1 a 2 b 2 a n b n
2
a 12 a 22
a n 2
b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n
等号当且仅当 a 1 a 2 a n
0 或 b i
ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2
n ）
现将它的证明介绍如下：
方法 1 证明：构造二次函数
f ( x) a x b 2
a x b
2
a x b
2
1
1
2
2
n
n
= a 12 a 22
a n 2 x 2 2 a 1
b 1 a 2 b 2
a n
b n x b 12 b 22
b n 2
由构造知
f x
0 恒成立
又 Q a 12 a 22 L a n n
4 a 1b 1 a 2 b 2
a n
b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22
b n 2
即 a 1b 1
a 2
b 2
a n
b n
2
a 12 a 22
a n 2
b 12 b 22
b n 2
当且仅当 a i x
b i 0 i 1,2
n
即
a
1
a 2 L a n 时等号成立
b 1
b 2 b n
方法 2
证明 :数学归纳法
（ 1） 当 n 1 时
左式 = a 1b 1 2
2
右式 =
a 1
b 1
显然
左式 =右式
当 n
2 时
a 12 a 22
b 12 b 22
a 1
b 1 2 a 2 b 2
2
a 12
b 22
右式
a 22
b 12
2
2
2a a bb
2 左式
a b
a b
2
a b a b
1 1
2 2
1
2 1 1 2
2
2
故 n 1,2时 不等式成立
（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立
即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k
2
a 12 a 22
a k 2
b 12 b 22
b k 2
当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1
a 2 L a k
0 时等号成立
设 A= a 12 a 22
a k 2
B= b 12 b 22
b k 2
C a 1b 1 a 2b 2 L a k b k
AB C 2
则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21
C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2
a
k 1
b
k 1
a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 2
1 a
2
b
2
La
k
b
k
a
k 1
b
k 1
当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立
即n k 1时不等式成立综合
（ 1）（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的简单应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：
1、证明相关数学命题
（ 1）证明不等式
例 1 已知正数a, b, c满足a b c 1 证明a3 b3 c3 a2 b2 c2
3
证明：利用柯西不等式
2 3 1 3 1 3 1
2
3
2
3
2
3
2
a2 b2 c2 a 2 a 2 b 2b 2 c2 c2 a2 b2 c 2 a b c
a3 b3 c3
2
Q a b c 1 a b c
又因为a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上 a2 b2 c2 得：
3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2
a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a3 b3 c3 3 a2 b2 c2
故 a3 b3 c3 a2 b2 c2
3
（2）三角形的相关问题
例 2 设p是VABC的一点，x, y, z是p到三边a,b, c的距离，R是VABC外接圆的半径，
证明 xyz 1 a2 b2 c2
2R
证明：由柯西不等式得：