柯西不等式的应用(整理篇).doc
柯西不等式应用
柯西不等式应用
柯西不等式是一种数学定理，可用于优化、概率统计等多个领域中。
在最小化误差、确定边界和求解最优解等问题中，柯西不等式被
广泛应用。
柯西不等式最常见的形式是：
(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ +
a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²
其中，a₁、a₂、...、aₙ和b₁、b₂、...、bₙ是实数。
该不等式可
表示为内积的形式，内积表示向量之间的乘积。
一项常见的应用是匹配问题。
例如，在两个有序数组中找到匹配项，可以使用柯西不等式来确定两个数组的相似度。
通过计算两个数
组之间的距离，可以找到最相似的匹配项。
在统计学中，柯西不等式可以用于确定误差的下限。
这种误差通
常由测量错误或随机数据引起。
柯西不等式可以计算出误差的最小值，以帮助确定实际值与测量值之间的差距。
在优化问题中，柯西不等式可用于确定最优解。
例如，在线性规
划中，可将问题转化为柯西不等式的形式，以在给定约束下最小化目
标函数。
总之，柯西不等式应用极广泛，它是解决各种问题的强有力工具。
同时，该定理也具有指导意义，启示我们在问题解决中，如何将不等
式转化为更容易处理的形式，并从中找到最优解。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。
本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。
应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。
具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。
利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。
当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。
应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。
给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。
利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。
当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。
应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。
具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。
利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。
当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。
应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。
具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。
柯西重要不等式在实际问题应用
柯西重要不等式在实际问题应用柯西重要不等式是数学分析中的一个基本定理，它广泛应用于各个领域的实际问题中。
本文将详细探讨柯西重要不等式在实际问题中的应用，并通过具体案例进行说明。
一、简介柯西重要不等式是由法国数学家柯西在19世纪提出的，它是数学分析领域中的一项重要定理。
该不等式描述了两个函数的平方积与它们各自平方积之和的关系。
具体表述如下：对于任意实数a1, a2, …, an 和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2二、应用领域柯西重要不等式广泛应用于实际问题中的各个领域，如信号处理、金融数学、物理学等。
下面将具体介绍其中的几个应用案例。
1. 信号处理在信号处理领域，柯西重要不等式可用于评估信号的相关性。
通过对信号的样本进行求平方积和求积的操作，可以得到信号之间的相关系数。
这对于信号处理算法的设计和优化非常重要。
2. 金融数学在金融数学中，柯西重要不等式可用于衡量不同投资组合的风险。
通过计算投资组合中各项资产的相关关系，可以评估整体组合的波动性和风险水平。
这对于投资者的决策和风险管理至关重要。
3. 物理学在物理学领域，柯西重要不等式可用于分析力学问题。
例如，通过运用柯西不等式，可以证明质点在受力作用下的动能与势能之间满足能量守恒定律。
这对于解决物理学中的问题具有重要意义。
三、具体案例为了更好地理解柯西重要不等式的应用，下面将介绍一个具体案例。
在某家庭聚会上，有一桌上放着各种美味的食物，其中包括苹果、橙子和葡萄。
现在我们想知道不同食物之间的相关性如何。
假设有两个人分别吃苹果和橙子，并记录下每天吃的数量。
其中一个人吃了3个苹果和2个橙子，另一个人吃了4个苹果和5个橙子。
现在我们想通过柯西重要不等式来评估苹果和橙子的相关性。
根据柯西重要不等式，我们可以计算出苹果和橙子的平方积和它们各自平方积之和如下：(3^2 + 4^2)(2^2 + 5^2) ≥ (3×2 + 4×5)^2简化计算得：(9 + 16)(4 + 25) ≥ (6 + 20)^225 × 29 ≥ 26^2725 ≥ 676由此可见，苹果和橙子的相关性是较强的。
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柯西不等式的应⽤（整理篇）.doc柯西不等式的证明及相关应⽤摘要：柯西不等式是⾼中数学新课程的⼀个新增容，也是⾼中数学的⼀个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的⼀个强有⼒的⼯具。
关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值⼀、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成⽴（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：⽅法 1 证明：构造⼆次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2由构造知f x0 恒成⽴⼜ Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成⽴b 1b 2 b n⽅法 2证明 :数学归纳法（ 1）当 n 1 时左式 = a 1b 1 22显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时不等式成⽴（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成⽴即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成⽴设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成⽴即n k 1时不等式成⽴综合（ 1）（2）可知不等式成⽴式结构和谐，应⽤灵活⼴泛，常通过适当配凑，直接套⽤柯西不等式解题，常见的有两⼤类型：1、证明相关数学命题（ 1）证明不等式例 1 已知正数a, b, c满⾜a b c 1 证明a3 b3 c3 a2 b2 c23证明：利⽤柯西不等式2 3 1 3 1 3 12323232a2 b2 c2 a 2 a 2 b 2b 2 c2 c2 a2 b2 c 2 a b ca3 b3 c32Q a b c 1 a b c⼜因为a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上 a2 b2 c2 得：3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a3 b3 c3 3 a2 b2 c2故 a3 b3 c3 a2 b2 c23（2）三⾓形的相关问题例 2 设p是VABC的⼀点，x, y, z是p到三边a,b, c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明 xyz 1 a2 b2 c22R证明：由柯西不等式得：xyzax1 by 1ax by czg 1 11ab ca b c记 S 为 VABC 的⾯积，则ax by cz 2S2g abcabc4R2Rxyzabc ab bc ca 1 ab bc ca1a 2b 2c 22R abc 2R2R故不等式成⽴。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式（CauchyInequality）在数学中是一种常见的不等式，它表示两个实数乘积的平方和大于或等于它们的乘积。
即a+b≥2ab，柯西不等式也可以写成a+b≥ab。
在中学数学中，柯西不等式可以用来解决多种问题，比如：
一、计算平方和
用柯西不等式可以很容易的计算出一个实数的平方和。
假设我们有一个数列 1,2,3,4,5，我们可以使用柯西不等式来计算它们的平方和。
首先，我们可以将其分解成两部分，1+2+3+4+5=（1+2+3）（1+2+3）+4+5，由柯西不等式可知，（1+2+3）（1+2+3）≥9，所以1+2+3+4+5≥9+4+5，因此，1+2+3+4+5≥55，也就是说，它们的平方和至少是55。
二、求实数的最大值
用柯西不等式也可以求得实数的最大值。
假设有一组数a,b,c,它们的乘积是abc，对于这组数，柯西不等式可以写成a+b+c≥abc，其中abc是给定值。
为了得到a,b,c的最大值，我们可以用微积分法，求解柯西不等式的最大值，得到的结果就是a,b,c各自的最大值。
三、求两个数之间的最小值
用柯西不等式也可以求得两个实数之间的最小值。
假设有两个实数a和b，a+b=k，那么柯西不等式可以写成a+b≥2ab，由此可以得到a+b≥2k(1/2)，其中2k(1/2)=k，也就是说，两个实数之间的最小值至少是k。
以上就是柯西不等式在中学数学中的应用，它可以用来计算实数的平方和、求实数的最大值以及求两个数之间的最小值。
柯西不等式在中学数学中被频繁使用，它让一些复杂的问题变得简单，也为数学发展做出了重要贡献。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
(2021年整理)柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明与应用(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（柯西不等式的证明与应用(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： C auchy’s inequality is a very important inequality， this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality， solving the most value, solving equations， trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula， better explains the Cauchy inequality。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式应用
柯西不等式应用柯西不等式在数学中是一个非常基础的不等式，它具有广泛的应用，涵盖了各种各样的领域。
在此，我们简单介绍一些柯西不等式的应用。
一、向量的内积柯西不等式最早是被用于向量的内积，其表述为：（a·b）² ≤ (a·a)(b·b)其中，a和b为任意两个向量，a·b表示向量a和b的内积。
由此可知，当两个向量的内积等于其模的乘积时，也就是a·b = |a||b|时，等号成立。
换言之，当两个向量的方向一致时，它们的内积达到最大值；当两个向量相互垂直时，它们的内积为0，达到最小值。
在实际应用中，向量的内积经常作为一种衡量相似度的方式，比如文本相似度算法中，可以将每个文本表示为一个向量，再通过计算每个文本向量的内积来判断它们之间的相似度。
二、积分的上界柯西不等式不仅在向量的内积中有应用，在积分学中也有着重要的地位。
考虑如下的积分：∫abf(x)g(x)dx其中，a和b是积分区间的端点，f(x)和g(x)是可积函数。
柯西不等式表示为：(∫abf(x)g(x)dx)² ≤ ∫abf(x)²dx ∫abg(x)²dx其中，等号成立当且仅当f(x)和g(x)线性相关，并且至少其中一个函数不等于0。
由此可知，柯西不等式提供了一个计算积分上界的方法，其取决于函数f(x)和g(x)的平方和。
在数学分析、微积分等领域，柯西不等式被广泛地应用于计算积分上界。
三、概率论与统计学柯西不等式在概率论和统计学中也具有广泛的应用。
例如在统计学中，柯西不等式可用于证明均方误差最小的估计量为最优估计量。
具体而言，对于一个随机变量x和估计量y(x)，它们的均方误差可表示为：E[(x-y(x))²]其中，E[...]表示期望。
通过应用柯西不等式，可得到均方误差的下界：E[(x-y(x))²] ≥ (E[(x-y(x))])²其中，等号成立当且仅当y(x)是x的线性函数。
第10讲 柯西不等式的应用技巧(打印含有答案)
第十讲 柯西不等式的应用技巧一、知识概要 定理: 设12,,n a a a ,12,,n b b b 是两组实数,则有222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑,其中等号成立当且仅当i i a b λ=,(1,2,3i n =.),其中λ是常数. 推 论１：设12,,n a a a 是正实数,则21212111()()n na a a n a a a ++++++≥, 其中等号成立当且仅当12n a a a ===.推论2：设12,,n a a a 是实数,则有2211nn i i i i n a a ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑,其中等号成立当且仅当12n a a a ===,(1,2,3i n =.).变形１：2111nnn i i i i i i i i a a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑.变形2: 22111nnn i i i i i i iab a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑. 变形3 :1ni =.变形4: 22111()ni nii ni iii a a b b===≥∑∑∑.二、解题指导 1.常数的巧拆、增添例1.当,,a b c 是正实数，求证：32a b c b c a c b a ++≥+++.例2 .设123,,,,n x x x x 为任意实数，证明：1222222211212111nn x x x x x x x x x +++<+++++++奥 204 )2.项的增添例3.已知非负实数123,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=，证明：1223131231111nn n n a a a a a a a a a a a a a -++++++++++++++++存在最小值，并求出最小值.3.依系数构建柯西不等式例4.已知,x y 为实数，且满足22326x y +≤，求证：2x y +例5.已知,,,a b c d 是实数，且满足21a ≤，225a b +≤,222230,a b c d +++≤22214,a b c ++≤222230,a b c d +++≤ 求证: 222211110234a b c d +++≤变式：10a b c d +++≤.4.待定系数的巧设例 6.求最大的正数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数,,x y z 成立的不等式：xy yz λ+.5.因式分解构建两个和式的乘积例7.已知,a b 为正实数，且有111a b+=，试证明：对每一个n N +∈，都有21()22n n n n n a b a b ++--≥-.6.增加因式构建两个和式的乘积 例8. 设12,,n a a a R +∈ 12,,n a a a R +∈，且121n a a a +++=，求证：222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++.例9.已知,,a b c 是正实数，且2221112111a b c ++=+++，求证：32ab bc ac ++≤.三、习题演练 1.已知12,,n a a a 是正实数，12n s a a a =+++求证：12121n n a a ans a s a s a n +++≥----.2. 设123,,,(1)n a a a a n >是实数，1ni i A a ==∑，且221111nn i i i i A a a n ==⎛⎫+< ⎪-⎝⎭∑∑，试证：2(1)i j A a a i j n <≤<≤.3.设方程432210x ax x bx ++++=至少有一个实数根，证明：228a b +≥.4.设()P x 是正系数多项式，如果1()()1P x P x ≥对于x=1成立，则对一切正数都有1()()1P x P x≥5.若352x ≤≤，则<(p 自主招２６)6.已知0,0a b >>，求证：1112a b a ba nb++++++7.设123,,,,n a a a a R +∈求证：2121222223341212()2()n nn a a a a a a a a a a a a a a a +++≤+++++++++。
柯西不等式的证明及应用
柯西不等式的证明及应用(a1² + a2² + …… + an²) * (b1² + b2² + …… + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + …… + anbn)²首先，我们定义一个函数f(t) = (t * a1 + b1)² + (t * a2 +b2)² + …… + (t * an + bn)²。
这个函数是一个关于t的二次函数。
接着，我们考虑函数f(t)的值。
由于二次函数的图像形状是一个抛物线，则f(t)的值必然大于等于零。
也就是说，对于任意的t，f(t)≥0。
当函数f(t)的值等于零时，抛物线与横坐标轴相切或相交。
我们可以根据这个条件来求解t的取值。
设函数f(t)的值等于零时的t值为t0，则有以下等式成立：(t0 * a1 + b1)² + (t0 * a2 + b2)² + …… + (t0 * an + bn)² = 0展开左边的平方项，并化简得到：t0² * (a1² + a2² + …… + an²) + 2t0 * (a1b1 + a2b2 + …… + anbn) + (b1² + b2² + …… + bn²) = 0由于左边的各项都大于等于零，所以只有当t0为零时才能使整个等式成立。
也就是说，a1b1 + a2b2 + …… + anbn的平方必大于等于零。
综上所述，我们得到了柯西不等式。
1.已知两个向量的模的乘积，可以获得两个向量之间的夹角的范围。
根据柯西不等式，如果向量a和向量b的模的乘积等于a·b，则夹角的余弦范围在-1和1之间。
2. 柯西不等式可以用于证明一些数列的性质。
例如，对于非负数列{an}，我们可以使用柯西不等式证明其收敛性。
3.柯西不等式还可以用于证明一些积分不等式。
柯西不等式的应用 篇
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥Q L即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=22221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用柯西不等式：设a 1,a 2,…a n,b 1,b 2…b n 均是实数，则有（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2≤（a 12+a 22+…a n 2）（b 12+b 22+…b n 2）等号当且仅当a i =λb i (λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。
注：二维柯西不等式：（一）、柯西不等式的证明证明：令f(x)=(a 1x+b 1)2+(a 2x+b 2)2+…+（a n x+b n ）2=(a 12+a 22+…+a n 2)x 2+2(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )x+(b 12+b 22+…+b n 2) ∵ f(x)≥0 ∴ △≤0 即 （a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12＋b 22+…+b n 2)等号仅当 a i =λb i 时取到。
（二）、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
1． 证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。
如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 分析∵a 、b 、c 均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2>+++++++ac c b b a c b a 而)()()()(2a c c b b ad b a +++++=++ 又2)111(9++=2． （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 分析：不等号左边为两个二项式积，+-∈∈R x x R b a 21,,,，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
柯西施瓦兹不等式的应用
柯西施瓦兹不等式的应用(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的几种证明方法思路一从代数式角度来考虑，由柯西不等式联想到完全平方公式，利用配方法可证。
证明因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=( a2c2+2abcd+b2d2)+( a2d2-2abcd+b2c2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而(ad-bc)2≥0。
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
思路二从不等式的角度考虑，由柯西不等式的特点，可以联想借助均值不等式来证。
证法1要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立，只要证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，即证2 abcd ≤a2d2+b2c2。
由均值不等式可得2abcd≤a2d2+b2c2，因为2abcd≤2abcd,所以2abcd≤a2d2+b2c2，于是柯西不等式得证。
证法2要证ac+bd≤○1=B，○2则○1即ac+bd≤AB，○3当A=0或B=0时，命题显然成立。
如果A≠0且B≠0，则由均值不等式可得2ac AB ≤22aA+22cB，2bdAB≤22bA+22dB。
两式相加，得2AB（ac+bd）≤222a bA++222c dB++, ○4由○2，○4两式得ac bdAB+≤1，即ac bd+≤AB，因为ac b d+≤a c+b d，所以ac b d+≤AB，因此不等式○3成立，于是柯西不等式得证。
思路三从函数与方程的角度考虑，由柯西不等式的特点联想到一元二次方程的判别式，构造二次函数可证。
证明当a，b全为零时，命题显然成立，如果a，b不全为零，考察二次函数f(x)=( a2+b2)x2-2(ac+bd)x+( c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2,因为对于任意实数x均有f(x) ≥0。
所以f(x)=0的判别式22222[2()]4()()0ac bd a b c d∆=-+-++≤，故22222()()()ac bd a b c d+≤++。
(完整word版)柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈,则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====时等号成立．其结构对称,形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活,技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和,右边是左边中对立的两项乘积之和的平方,因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和,便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈，求证：≤≤ 二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 。
三、巧添项四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是只要我们改变一下式子的形式结构,认清其内在的结构特征,就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n练习题1. （2009年浙江省高考自选模块数学试题）已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= （1） 求t 的最小值；（2） 当21=t 时，求z 的取值范围2 （2010年浙江省第二次五校联考）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
柯西不等式的应用（整理篇）
柯西不等式在解题中的几点应用一、 引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。
主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P 、15练习第2题）： 求证：ac+bd ≤22b a +*22d c +这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设2a +2b ≠0 且2c +2d ≠0,则2222*d c b a bd ac +++≤2222*dc b a bd ac +++=22222222**dc b a bd dc b a ac+++++=222222222222**dc d b a b d c c b a a +++++ ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2222222222222121d c d b a b d c c b a a =1故ac+bd ≤2222*d c b a bd ac bd ac ++≤+≤+(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。
柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121(2)或,*12121∑∑∑===≤ni ini ini ii baba (3)其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作,121221⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a一些介绍。
二、 柯西不等式在解题中的应用a) 利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
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柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（ 1）证明不等式例 1 已知正数a, b, c满足a b c 1 证明a3 b3 c3 a2 b2 c23证明：利用柯西不等式2 3 1 3 1 3 12323232a2 b2 c2 a 2 a 2 b 2b 2 c2 c2 a2 b2 c 2 a b ca3 b3 c32Q a b c 1 a b c又因为a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上 a2 b2 c2 得：3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a3 b3 c3 3 a2 b2 c2故 a3 b3 c3 a2 b2 c23（2）三角形的相关问题例 2 设p是VABC的一点，x, y, z是p到三边a,b, c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明 xyz 1 a2 b2 c22R证明：由柯西不等式得：xyzax1 by 1cz1ax by czg 1 11ab ca b c记 S 为 VABC 的面积，则ax by cz 2S2g abcabc4R2Rxyzabc ab bc ca 1 ab bc ca1a 2b 2c 22R abc 2R2R故不等式成立。
2、求解有关数学问题 常用于求最值例 3已知实数 a,b, c , d 满足 a b c d 3 ， a 2 2b 2 3c 2 6d 2 5 试求 a 的最值解：由柯西不等式得，有2b23c26d21 1 1 b c d22 3 6即由条件可得， 5 a23 a 2解得， 1 a2当且仅当2b 3c 6d1 21 3 时等号成立，1 6代入 b 1,c1, d 1 时，a max23 6b 1,c 21 a min1, d3 时3例 4空间中一向量 a 与 x 轴， y 轴， z 轴正向之夹角依次为 ，，（，，均非象限角） ，求14 9 的最小值。
sin2sin2sin2解 :由柯西不等式得：[( 1 )2( 2 )2(3) 2 ](sin 2sin 2sin 2 )sinsin sin( 1 sin2 sin3 sin) 2sin sin sin( 1 ) (4 ) ( 9)](sin 2sin 2sin 2)(12 3) 2sin 2sin 2sin 2∵2sin 2sin 22 sin∴ 2149 )361 4 9 ) 18(2sin 2sin 2 (2sin 2sin 2sinsin∴149 的最小值为 18sin2sin2sin2三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．柯西不等式的变形公式：约定 b i R ,i 1,2 n有a 12 a 22 a n 2 a 1 a 2 a n 2 当且仅当a 1 a 2 a n 等号成立b 1 b 2b nb 1 b 2b nb 1b 2b n分析：由柯西不等式可得a 12 a 22a n 2b 1 b 2 b na 1 a 2a n2b 1 b 2b n例 1设 x , x , , xR ,且 xxxn 1，12n12证明x 12x 22x n 2 1x n 21x 1 x 2 x 2 x 3xn 1x nx nx 12证明：由变形公式得： x 12x 22x n 2 1x n 2x 1 x 2x 2 x 3x n 1 x nx n x 1x 1 x 2x n 21x 1 x 2x 2 x 3x nx 12例 2 (2007 年市一模理科 ) 已知 a ， b>0，且 a+b=1，求 1／2a+1／ b 的最小值2122解析：a ， b>0，且 a+b=1，由柯西不等知 :1 12 / 2 2 / 2 1 322a b ab a b2 当且仅当2 / 2 1 2 1, b 22 时等号成立 113 2a即 a2a b min 2b练习 设 a 1 , a 2 , , a nN 且各不相同 ，证明 a 1a 2 a 3 a n 11 1 1 2232n223n证明：将 a 1 , a 2 ,, a n 从新排序设为 a 1' a 2'a n '则有 a '1, a '2, , a 'n∴n1 n 112 n1kk 1 a kkna k n而所需证目标：1 k2k k 11 na k n kk 1 k2k 11knk 1 21 k结合柯西不等式得：2a k2n1 n 1 na k n1na k n1 k 1kk 1ka kk 1 k 2k 1a kk 1 k 2k 1kna k n1 得结论1 k21kk k柯西不等式在解题中的几点应用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。
主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15 练习第 2 题）：求证： ac+bd a 2b2* c 2 d 2这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当a=b=c(或 c=d=0) 时，显然成立；假设 a 2+ b 20 且c2 + d20,则ac bd ac bda2 b 2 * c2 d 2 a2 b 2 * c2 d 2=ac bda 2b 2 *c 2d 2 a 2 b 2 * c 2 d 2a2b2*c2c 2 b2d 2= a 2 d 2 a 2 b 2 *c2 d 21 a2 c 2 1 b 2 d 22 a 2 b 2 c 2 d 2 2 a 2 b2 c2 d 2=1故 ac+bd ac bd ac bd a2 b2 * c2(1)式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。
柯西不等式的一般形式为：对任意的实数a1 , a2 , , an及 b1 , b2 , , b n有n 2 n na ib i a i2 b i2 ,i 1i i 1 i 1n n n或a i b i a i2 * b i2 ,i 1 i 1 i 1其中等号当且仅当a1 a2 an时成立（当 b kb1 b2 b n d 2(2)(3)0 时，认为 a k0,1 k n).柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。
二、柯西不等式在解题中的应用a)利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例、已知 a 1 b 2 b 1 a 21, 求证：a2 b 2 1 。
证明：由柯西不等式，得a 1b 2 b 1 a 2 a 2 1 a 2 b 2 1 b 2 1当且仅当b1 b2 a 2a时，上式取等号，1ab1 a2 ? 1 b 2 ,a 2b 21 a2 1 b 2 ,于是a 2b 2 1 。
b) 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。