人教版高中数学课件：三垂线定理
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人教A版高中数学选修2-1《三垂线定理及其逆定理》课件
P
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
人教版高中数学课件：三垂线定理
三垂 线定 理的 逆定 理
PA a a AO a PO
【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P M
C
A N
B
【知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
P
M
N
A Q
28
B l D
【典例剖析】 例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心， 试证：OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对 棱也互相垂直． 已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC； 求证：ACBD； A
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
三垂线定理PPT教学课件
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于a m
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=a m ∴BC=a m，
测出仰角∠ACB=θ于是有AC=
BC a m
在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
PA⊥α aα
①
PPOA⊥⊥Paa
②
a⊥平面PAO
AO a平面PAO
③
a⊥AO
Ao α
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
初一英语第二学期同步串讲 第七讲
Do you have an eraser?
Do you have a soccer ball?
P a
Ao α
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥AO
求证： a⊥PO
证明：PA⊥α aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定 义
判定定理
线面垂直定 义
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=a m ∴BC=a m，
测出仰角∠ACB=θ于是有AC=
BC a m
在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
PA⊥α aα
①
PPOA⊥⊥Paa
②
a⊥平面PAO
AO a平面PAO
③
a⊥AO
Ao α
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
初一英语第二学期同步串讲 第七讲
Do you have an eraser?
Do you have a soccer ball?
P a
Ao α
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥AO
求证： a⊥PO
证明：PA⊥α aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定 义
判定定理
线面垂直定 义
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
人教版人教高中数学3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 (共16张PPT)教育课件
《
《
我
是
算
命
先
生
》
证明： PO⊥α
①
PO⊥a ②
aα
AO⊥a a⊥平面POA ③
PO AO O PA 平面POA a⊥PA
①
②
③
线面垂直
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
新知探究 • 定理内容
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
P 定理
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
三垂线定理 PPT课件 6 人教课标版
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
三垂线定理的逆理：
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
题 直线垂直的判定定理， 回 这两条直线可以是：
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
解 去掉，结论仍然成立 吗？
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
在平面内，定理就 不一定成立。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
人教高中数学必修二直线、平面垂直的判定与性质 三垂线定理 课件
怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
B
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
90°
C
45°
D
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
0040数学课件：三垂线定理
三垂线定理
例4.如 图 ， 在 四 棱 锥 ABCD的 底 面 P ABCD是 直 角 梯 形 ， BAD 90，AD // BC , AB BC a , AD 2a , PD与 底 面 成30 角 ，PA 底 面ABCD . (1)若AE PD于E， 求 证 ： PD; BE ( 2)求 异 面 直 线 、CD所 成 角 的 大 小 AE .
a 2.判定定理：b a // a // b
// 4.其他： a // a
线线平行 线面平行 面面平行
三垂线定理
Ⅲ. 直线和平面垂直：
a m n A 2.判 定 定 理 ： a 3.性质定理： a // b am b an 线线垂直 b 线面垂直 4.面 面 垂 直 的 性 质 ： a a 面面垂直 ab
B . 0 ,
C . 0， 90
D . ， 180
例3. AB是 异 面 直 线 , b的 公 垂 线 段 ， 2，a , b成30 角 ， a AB 在a上 取 点 使AP 4， 则 点 到b的 距 离 等 于B ) P P ( A.2 2或2 14 B .2 2 C .2 14 D.2 5
1.定义：任意 ，l a l a m, n
三垂线定理
Ⅳ. 直线和平面所成的角： 1.斜线 段)及其射影长的有关性质 (
从平面外一点向这个平 面所引的垂线段和斜线 段中：
“斜线段长相等 射影长相等”
2.直线和平面所成的角
P
[0， ] 90
0 此时a // 或a
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A
D
B
C
∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴B’C是斜线BD’在平面AC’上的射影. ∵BC‘⊥B’C
∵B‘C 平面B’C， ∴BD’⊥B’C
4.正方体ABCD-A’B’C’D’
E,F分别是AA’,AB上的点,
A’ E
D’
C’
B’
EC’⊥EF
求证:EF⊥EB’
A
D F B
பைடு நூலகம்
C
证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体 ∴B’E是斜线EC’在平面A’C上的射影. ∵EC’⊥EF ∵EF 平面AB‘， ∴EF⊥EB’
求证:AM⊥BC. 证明:连接PM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵PB=PC,M是BC的中点
∴PM⊥BC.
∵BC 平面ABC，∴AM⊥BC.
C M B
3.正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)求证:BD’⊥AC
A’
D’ B’
C’
(2)求证:BD’⊥A’C’
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
求证:BC⊥PM. 证明:连接AM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵AB=AC,M是BC的中点
∴AM⊥BC.
∵BC 平面ABC， ∴BC⊥PM.
C M B
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影;
(2)BD’与AC的位置关系如何?
(3)BD’与AC所成的角是多少度?
D’ D’ A’ C’ B’
E
D
B
C
∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴B’C是斜线BD’在平面AC’上的射影. ∵BC‘⊥B’C
∵B‘C 平面B’C， ∴BD’⊥B’C
4.正方体ABCD-A’B’C’D’
E,F分别是AA’,AB上的点,
A’ E
D’
C’
B’
EC’⊥EF
求证:EF⊥EB’
A
D F B
பைடு நூலகம்
C
证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体 ∴B’E是斜线EC’在平面A’C上的射影. ∵EC’⊥EF ∵EF 平面AB‘， ∴EF⊥EB’
求证:AM⊥BC. 证明:连接PM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵PB=PC,M是BC的中点
∴PM⊥BC.
∵BC 平面ABC，∴AM⊥BC.
C M B
3.正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)求证:BD’⊥AC
A’
D’ B’
C’
(2)求证:BD’⊥A’C’
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
求证:BC⊥PM. 证明:连接AM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵AB=AC,M是BC的中点
∴AM⊥BC.
∵BC 平面ABC， ∴BC⊥PM.
C M B
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影;
(2)BD’与AC的位置关系如何?
(3)BD’与AC所成的角是多少度?
D’ D’ A’ C’ B’
E
三垂线定理PPT课件
p
o
a
A
（ 1 ）定 P O 理 ,P： A A ,a
a OA
aPA
（ 2）逆定 PO 理 ,P ： AA,a
aPA
a OA
P
A
三垂线定理基本图形的特点分析
1:一面Oa2:四线来自3:三垂直线面垂直
线射垂直
P
线斜垂直
a
A O
1.求证:如果一个角所在平面外一点到角 两边距离相等,那么这一点在平面内射影 在这个角的平分线所在直线上.
P
EBO A
C
F
已 H 是 知 AB 的 C垂 P H 心 平 A ， 面 B ， 连 A交 H B于 C D ，求 P H 证 BC ：
P
A H
C D
B
在立 V A 体 中 BV 图 C ， O 平 形 A面 ， B O C C V V A ， B A D B。 D 求 C D A 证 。 B：
V
A
C
O D
B
习题9.4
1.怎样判断线面垂直?线面垂直有哪 些性质?
已知 A正 B 的 C 方 边 D a ， 形 P 长 A 平 是 A面 ,P C A a 求1 ） ： A到 D （ P 平 的 B面 C距离 （ 2 ） P与 C A 平 所 C面 成的角
P
P
A D
B
A
C
D
B C
(思考)平面的斜线不能与这个平面内的 所有直线都垂直,那么它能否与这个平 面内的某些直线垂直?
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2．直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1，下列
命题正确的是 ( ) (A)若a1b1，则ab (B)若ab，则a1b1 (C)若a1b1，则a与b不垂直 (D)若ab，则a1与b1不垂 直
【点击双基】
3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个
点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( )
理 个平面的一条斜
线的射影垂直,
那么它也和这条
斜线垂直.
PA
a
aPO
aAO
①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理的 个平面的一条斜 逆定 线垂直,那么它
理 也和这条斜线的
射影垂直.
PA
a
aAO
P
M
N
A
B
Q
l
28
D
【典例剖析】
例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心， 试证：OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P
M
C
A
B
N
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
9.3-2直线与平面垂直
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能 运用它解决有关垂直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短．
【点击双基】
6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若 PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC 的 () (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成
的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90<180)，那么与的关系是 ( ) (A)< (B)> (C) (D)
求证：ACBD；
A
a B
C
b D
O
C
【典例剖析】 例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90， ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分 别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所 在平面交于直线l． (1)判断l与MN的位置关系，并进 行证明； (2)求点M到直线l的距离．
8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则 l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对
棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC；
(A)异面直线
(B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点 的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的
() (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的 距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内 部，则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理
名称 语言表述
字母表示
应用
三垂 在平面内的一条 线定 直线,如果和这
aPO
同上
【知识梳理】
重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条要公式
如图，已知OB平面于B， OA是平面的斜线，A为斜 足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
C
D
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
命题正确的是 ( ) (A)若a1b1，则ab (B)若ab，则a1b1 (C)若a1b1，则a与b不垂直 (D)若ab，则a1与b1不垂 直
【点击双基】
3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个
点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( )
理 个平面的一条斜
线的射影垂直,
那么它也和这条
斜线垂直.
PA
a
aPO
aAO
①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理的 个平面的一条斜 逆定 线垂直,那么它
理 也和这条斜线的
射影垂直.
PA
a
aAO
P
M
N
A
B
Q
l
28
D
【典例剖析】
例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心， 试证：OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P
M
C
A
B
N
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
9.3-2直线与平面垂直
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能 运用它解决有关垂直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短．
【点击双基】
6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若 PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC 的 () (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成
的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90<180)，那么与的关系是 ( ) (A)< (B)> (C) (D)
求证：ACBD；
A
a B
C
b D
O
C
【典例剖析】 例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90， ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分 别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所 在平面交于直线l． (1)判断l与MN的位置关系，并进 行证明； (2)求点M到直线l的距离．
8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则 l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对
棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC；
(A)异面直线
(B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点 的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的
() (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的 距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内 部，则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理
名称 语言表述
字母表示
应用
三垂 在平面内的一条 线定 直线,如果和这
aPO
同上
【知识梳理】
重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条要公式
如图，已知OB平面于B， OA是平面的斜线，A为斜 足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
C
D
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．