反映数据集中趋势的统计量
选择适当的统计量描述一组数据的集中趋势
补充练习
1、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某 种商品的月销售额，统计了者15人某月的销售量如下：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数
1 13 5 32
（1）求者15人营销人员该月销售量的平均数、中位数 和众数；平均数为320件,中位数为210件,众数为210件
平均数？中位数？众数？还是方差？标准差？
⑴这15名工人生产的机器零件的平均数是：约—1—0—.1个—； ⑵这15名工人生产的机器零件的中位数是：——9个——； ⑶这15名工人生产的机器零件的众数是：——8个——；
现在你确定的“定额”是————个？说说你的想法！
注意！在实际情景中，车间管理者在决策时可
涿州市孙庄中学 孙少奇
算术平均数的定义：
一般地，对于n个数 x1, x2,, xn
x
1 n
(
x1
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn
)
x
x1f1
x2f2 xnfk f1＋ f2＋fk
（1）中位数与数据的排列位置有关，当 一组数据中的 个别数据相差较大时, 可用中位数来描述这组数据的集中趋势；
（2）计算方法：将一组数据按一定的顺序
排列起来，处于最中间位置的一个数 （或两个数的平均数）；
众数是对各数据出现频数的考察， 其大小只与数据中部分数据有关，它可 能是其中的一个数或多个数；
平均数、中位数、众数 是描述一组数据集中程度的统计量。
平均数、中位数、众数是描述一组数据 集中程度的统计量；
例：工厂有15名工人，某一天他们生产的机器零件 个数统计如下：
生产零件的个数 （个）
集中趋势的常用统计量
集中趋势的常用统计量在统计学中，集中趋势是描述数据集中分布情况的一类常用统计量。
它们通常被用来表示数据的中心位置。
常见的集中趋势统计量包括均值、中位数、众数和分位数。
下面我将详细介绍每个统计量以及它们的应用和特点。
首先是均值。
均值是对一组数据求和后除以数据个数得到的平均值。
均值是最常用的集中趋势统计量之一，它能够很好地反映数据的中心位置。
均值的计算公式如下：均值= (数据1 + 数据2 + …+ 数据n) / n均值对异常值非常敏感，一个异常值的存在可能导致均值的偏移。
因此，在使用均值时需要注意数据集中是否存在异常值。
均值的应用很广泛，例如在研究人口平均寿命、公司收入的平均水平、商品价格的平均值等方面经常使用到均值。
但是，在极端值较多或者数据分布很不均匀的情况下，使用均值可能无法真实地反映整体数据的情况。
接下来是中位数。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
对于含有奇数个数据的数据集，中位数就是位于中间位置的数值；对于含有偶数个数据的数据集，中位数是中间两个数值的平均值。
中位数的计算方法为：中位数= 排序后的中间位置的数值中位数相对于均值来说更加稳健，它不受极端值的影响，更能真实地反映数据的中心位置。
因此，在存在异常值的数据集中使用中位数进行分析更加合适。
中位数的应用也非常广泛，例如在研究收入、房价、年龄等数据时，中位数一般会比均值更具有代表性，因为这些数据通常会存在一些较大的极端值。
众数是一组数据中出现频率最高的值。
对于某些具有离散性质的数据集，众数是非常实用的集中趋势统计量。
众数的计算方法很简单，通过统计数据集中每个值出现的次数，并找出出现次数最多的值即可。
众数在处理离散数据时尤其有用。
例如，在统计学生成绩时，如果成绩集中在60分附近，那么众数就可以很好地反映整体上的学生表现；又如在调查一个餐馆的就餐人数时，众数可以帮助我们了解哪个时间段餐馆的拥挤程度最高。
最后是分位数。
分位数是将一组数据按大小顺序排列后，将数据划分成若干部分的数值。
5.4~5.5 空间插值与空间统计分析
2、插值方法 1) 整体内插
指在整个区域用一个数学函数来表达地形曲面
常用方法： 趋势面分析：利用数学曲面模拟现实世界地理要素 在空间上的分布及变化趋势 趋势面的理论模型： 趋势面=趋势曲面+随机干扰 Zi（x,y）= fi（x,y）+εi
常用的趋势函数有以下几种：
一次趋势面模型 二次趋势面模型
2、内插方法：
1）叠置法：
①假设某统计值在源区的分 布是均匀的，计算每个源区 单元该统计值的密度； ②将源区与目标区叠加， 其边界相交形成重叠区域st，
Vt U s ats / As
t：目标区各个分区的序号；
s
图4-4-7 区域内插示意图
A A A B
A A B B
A C B B
A C C B
整体趋势面拟合的适用情况
一般用于模拟大范围内的变化或研究区域的表明变化缓慢； 检验长期变化的、全局性趋势的影响；
揭示区域中不同于总趋势的最大偏离部分。
2)局部分块内插
将地形区域按一定的方法进行分块，对每一分块， 根据其地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。 常用方法 （1）线性内插
z p a0 a1 x a 2 y
②分位数分级（Quantile） 把数列划分为相等个数的分段
特点：可以使每一级别的数据个数接近一致，往往能产生
较好的制图效果。
③等面积分级（Equal Area） 使得每一级在图上占据的面积相等（或大致相等）
特点:在图面上只反映各级占有相同的面积，制图效果好， 但是没有充分利用图面表示级间的差异。
σ
S x
Cv
×100%
二、ArcView中的统计分析工具 三、分级统计分析
统计员招聘笔试题及解答(某大型集团公司)
招聘统计员笔试题及解答(某大型集团公司)一、单项选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分）1、在以下选项中，不属于统计数据的类型的是：A、定性数据B、定量数据C、顺序数据D、描述性数据答案：D解析：统计数据可以分为定性数据和定量数据。
定性数据描述了事物的属性或特征，如颜色、性别等；定量数据是可以量化的数据，如身高、体重等。
顺序数据是定性数据的一种，它描述了数据之间的顺序关系。
描述性数据是对数据的基本特征进行描述的统计数据，不是数据类型的一种，因此选D。
2、在进行统计分析时，以下哪项不是常用的描述集中趋势的统计量：A、均值B、中位数C、众数D、方差答案：D解析：均值、中位数和众数都是用来描述数据集中趋势的统计量。
均值是所有数据的总和除以数据的个数；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数值；众数是数据中出现次数最多的数值。
方差则是用来描述数据离散程度的统计量，它表示数据与其均值之间的偏离程度。
因此选D。
3、统计员在处理数据时，以下哪个选项不是数据清洗的常见步骤？A、删除重复数据B、修正错误数据C、增加缺失数据D、校验数据完整性答案：C 解析：数据清洗的常见步骤包括删除重复数据、修正错误数据、填补缺失数据以及校验数据完整性。
增加缺失数据并不是一个常见的数据清洗步骤，因为在数据清洗过程中，我们通常尝试填补缺失数据而不是增加它们。
增加数据可能会导致数据的不真实和误导。
4、在描述性统计中，以下哪个指标用于衡量数据的离散程度？A、平均数B、中位数C、众数D、标准差答案：D 解析：平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的指标，而标准差是描述数据离散程度的指标。
标准差能够反映数据点相对于平均值的分散程度，标准差越大，数据的离散程度越高。
因此，标准差是衡量数据离散程度的关键指标。
5、某企业2018年的总销售额为2000万元，2019年的总销售额为2500万元，若要计算2019年相比2018年的销售额增长率，应使用以下哪个公式？A. (2019年销售额 - 2018年销售额) / 2018年销售额B. (2019年销售额 - 2018年销售额) / (2019年销售额 + 2018年销售额)C. (2019年销售额 - 2018年销售额) / 2D. (2019年销售额 - 2018年销售额) / 100答案：A解析：计算增长率时，应使用增长额除以基期额的公式。
3.3从统计图分析数据的集中趋势
友情提示： 别忘记先排序哟！
探究新知
人 数
5 4 3 21 1 0
18
甲队队员年龄
4
2
2
19 20 21
人 数
5
4 3
1
2
1
22
0
年龄/岁
人
乙队队员年龄
数
4 3
5 4 3
1 11
2
1
18
19
20
21
0
22年龄/岁
丙队队员年龄
2 1
4 3
18 19 20 21 22年龄/岁
(1)根据图表，你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、
哪个小吗？你是怎么估计的？
乙队平均年龄最小，丙队平均年龄最大 (2)计算出三支球队队员的平均年龄，看看你上面的估计是否准确？
甲：(18x1+19X3+20x4+21X3+22X1小)组÷内1分2工=计20算(甲岁、) 乙: (18X3+19X5+20x2+21X1+22x1乙 平)、 均÷丙年1三龄2队。≈队1员9的.3(岁) 丙:（18X1+19x2+20x1+21X5+22x3) ÷12≈20.6(岁)
三、从扇形统计图中分 析数据的集中趋势
相信你最出彩
十一假期结束后小明调查了班级里20位同学假期购买课外书 的花费情况，并将结果绘制成了下面的统计图：
5%
20元
20%
30元
100元
80元
(1)在这20位同学中,假期购买 课外书的花费的众数是多少？
众数是50元
25%
50元
40%
在扇形统计图中，众数 为所占比例最大的数据
刻画数据集中程度的统计量
刻画数据集中程度的统计量
常用的描述集中趋势的统计量主要有均值、中位数、众数。
(1)均值又分为算术平均数、调和平均数和几何平均数。
未经分组整理的原始数据,其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数,称为简单算术平均数。
根据分组整理的数据计算的算术平均数,就要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权的算术平均数。
(2)调和平均数也称倒数平均数或调和均值。
调和平均数和算术平均数在本质上是一致的,实际应用时,当计算算术平均数其分子资料未知时,就采用加权算术平均数计算均值,分母资料未知时,就采用加权调和平均数计算均值。
(3)几何平均数也称几何均值,通常用来计算平均比率和平均速度。
(4)中位数是将变量取值按大小顺序排列后,处于中间位置的那个变量值。
中位数很好的代表了一组数据的中间位置,对极端值并不敏感。
由于中位数只是数据中间位置的代表取值,因此中位数并没有利用数据的所有信息,其对原始数据信息的代表性不如均值。
(5)众数是指一组数据中出现次数最多的变量值。
众数具有不唯一性。
描述数据集中趋势的特征
描述数据集中趋势的特征数据集是统计学中一个重要的概念，它是指一组数据的集合，用于分析和研究数据的特征和规律。
在数据集中，我们经常关注数据的趋势特征，即数据的变化趋势和分布规律。
本文将介绍描述数据集中趋势的特征的常用方法和技巧。
一、数据集的趋势特征数据集的趋势特征是指数据在时间或空间上的变化趋势。
通过分析数据的趋势特征，我们可以了解数据的发展规律，预测未来的变化趋势，为决策提供依据。
常见的数据趋势特征包括以下几种：1.1 均值均值是描述数据集中集中趋势的最常用统计量之一，它表示数据集中所有数据的平均值。
计算均值的方法是将数据集中的所有数据相加，然后除以数据的个数。
均值能够反映数据的集中程度和平均水平，但它受极端值的影响较大，因此在分析数据集的趋势特征时需要综合考虑其他指标。
1.2 中位数中位数是将数据集中的所有数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据集中的数据个数为奇数，那么中位数就是中间位置的数值；如果数据集中的数据个数为偶数，那么中位数就是中间两个数值的平均值。
中位数能够反映数据的中间位置和分布情况，相对于均值来说受极端值的影响较小。
1.3 众数众数是数据集中出现次数最多的数值。
数据集中可能存在多个众数，也可能不存在众数。
众数能够反映数据的集中程度和典型值，但它不能反映数据的整体分布情况。
1.4 极值极值是数据集中最大值和最小值。
极值能够反映数据的范围和变化幅度，但它受极端值的影响较大，需要谨慎使用。
1.5 百分位数百分位数是将数据集中的所有数据按照大小顺序排列后，位于指定百分比位置的数值。
常用的百分位数有四分位数、中位数、十分位数等。
百分位数能够反映数据的分布情况和位置。
二、描述数据集趋势特征的方法描述数据集中趋势特征的方法有多种，下面将介绍常用的几种方法。
2.1 统计指标统计指标是描述数据集趋势特征的常用方法，常用的统计指标包括均值、中位数、众数、极值、百分位数等。
通过计算这些统计指标，我们可以了解数据集的集中趋势、分布情况和变化范围。
测度集中趋势的指标
测度集中趋势的指标
测度集中趋势的指标是用来衡量数据集中程度的统计量。
常见的测度集中趋势的指标有：
1. 平均值（均值）：将数据集中所有观测值相加后除以观测值的个数，反映数据集中趋势的中心位置。
2. 中位数：将数据集中的观测值按顺序排列，取中间位置的观测值作为中位数，反映数据集中趋势的中间位置。
3. 众数：数据集中出现次数最多的观测值，反映数据集中趋势的最常出现的位置。
4. 加权平均值：将每个观测值乘以对应的权重后相加，再除以权重的总和，反映具有不同权重的数据集中趋势的加权平均位置。
5. 几何平均值：将数据集中所有观测值相乘后开根号，反映数据集中趋势的几何平均位置。
6. 分位数：将数据集中的观测值按顺序排列，取指定位置的观测值作为分位数，例如四分位数、百分位数等。
这些指标可以帮助我们了解数据集中趋势的位置和分布状况，从而更好地理解和描述数据。
不同的指标适用于不同的数据类型和分布情况，选择合适的指标可以准确地反映数据的集中趋势。
4.4数据的离散程度
甲，乙两名田径队运动员中现要挑选 一名参加100米跑比赛。成绩如下表：
序数 甲的成绩／秒 1 12.0 2 12.2 3 13.0 4 12.6 5 13.1 6 12.5 7 12.4 8 12.2
乙的成绩／秒
12.2
12.4
12.7
12.5
乙的成绩／秒
12.2
12.4
12.7
12.5
12.9
12.2
12.8
12.3
成绩/秒 13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 1 2 3 4 5 6 7 8 序数 甲的成绩统计图
成绩 /秒
例.甲、乙两支仪仗队队员的身高（cm）如下：
甲队：178、177、179、179、178、178、177、178、177、179 乙队：178、177、179、176、178、180、180、178、176、178 （1）、甲、乙两队队员的平均身高分别是多少？ （2）、作出折线统计图，你发现哪个队队员身高波动幅度较小？ 解: （1）
1 2 3 4 5 6 7 8 序数 乙的成绩统计图
1、根据上表中的数据完成下面的折线统计图
成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4
成绩/秒
12.4
12.2
12.0 0
· ·
1 2
· · · · ·
3 4 5 6 7
·
8
12.2 12.0
某农场分别在8块管理条件和自然条件相同、 面积相等的实验田中，对甲、乙两种小麦新品种进 行对比试验，产量如下（单位：千克）： 甲种小麦：804 984 840 912 1001 989 817 919
20.2.2 数据的集中趋势—中位数和众数
请你思考：用什么数据衡量该歌手的歌唱水平？
已知一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等， 试确定x的值。
鞋店老板一般最关心 众数 公司老板一般以 中位数 为销售标准 裁判一般以 平均数 为选手最终得分
3
2
1
1
1
1
(1) 求销售额的平均数，众数，中位数？ (2) 今年公司为了调动员工积极性，提高销售额，准备采取超额 有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个 销售员统一的销售额标准是多少万元？
解:(1) 平均数 = 110（3+4×3+5×2+6+7+8+10） = 5.6 (万元) 众数为 4万元
(3) 2，2，3，3，4，4
众数为2、3、4
注意： 1、众数一定在所给数据中. 2、众数可能不止一个.
中位数和众数也是刻画数据集中趋势的方法.
问题3：巨星公司是以生产各种模具为主的大型企业，公司销 售部有销售人员15人，销售部为了制定下年度没一位营销人员 的销售计划，统计了这15人本年度的销售情况：
11、如表是某班20名学生的某次数学成绩的统计数：
成绩/分 50 60 70 人数/个 1 4 x
80 90 y2
(1) 已知成绩的平均数为73分，求x和y的值; (2) 设此班20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a-b的值.
(2) 由(1)可知，x=5，y=8 ∴ 众数 a= 80， 中位数 b= 70+80 2 ∴ a-b= 80-75= 5
平均数 能充分利用利用数据提供的信息， 它的使用最为广泛， 能刻画一组数据整体的平均状态，但是不能反映个体性质， 易受 极端值（即一组数据中与其余数据差距很大的数据）的影响.
集中趋势的度量
第一节 众数与中数
4、众数的应用 （1）快速、粗略地寻求一组数据的代表值 （2）次数分布中有极端数值时，有时用众数 （3）粗略估计次数分布形态，一般将平均数 与众数之差，当做分布是否偏态的指标
第一节 众数与中数
二、中数 1、中数（Median）的概念 中数又叫中位数、中值，符号用Md表示。中
数是按顺序排列在一起的一组数据中位于中间 位置的那个数。它可能是数据中的一个数，也 可能不是原有的数。中数能描述一组数据的典 型情况。
中数又叫中位数、中值，符号用Md表示。
二、算术平均数的特点 （5）较少受抽样变动的影响
（1）当数据个数为奇数时，中数就是位于(N+1)/2位置的那个数
第一节 众数与中数
1、 它不可能能 作是进数一据步中的的代一数个运数算，。也可∑能x不i=是0原，有的x数i=。X – X
2、 =X+C M（2>）M次d 数> M分o布中有极端数值时，有∑时(X用i 众+数C)
集中趋势的度量
第三章 集中趋势的度量
导言： 集中趋势和离中趋势是数据分布两个基本特
征。集中趋势是指数据分布中大量数据向某方 向集中的程度，离中趋势是指数据分布中彼此 分散的程度，相应的统计量分别叫做集中量数 和差异量数。集中量数和差异量数一起共同描 述或反映一组数据的全貌及其各种统计特征。
第一节 众数与中数
第二节 算术平均数
一、算术平均数（Mean）的概念 算术平均数一般用M或X表示，其数值等于所
有数据之和除以数据个数，计算公式为：
∑xi
X= N
第二节 算术平均数
受抽样影响大，不如平均数稳定；
（2）当数据个数为偶数时，中数为居于中间位置两个数的平均数
选择适当的统计量描述一组数据的集中趋势
谢谢！
Thank You！
B.14
C.15
D.16
综合应用
如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能 训练成绩的折线统计图，教练组规定：体能测试 成绩70分以上(包括70分)为合格.
1.请根据图中所提供的信息填下表：
平均数 中位数 众数 体能测试成绩合格次数
甲 60
65 65
2
乙 60 57.5 80
4
2.请从不同的角度对运动员体能测试结果进行判断： （1）根据平均数与成绩合格次数比较甲和乙，谁的 成绩最好？ 乙 （2）根据平均数与中位数比较甲和乙，谁的成绩最 好？ 甲 （3）根据折线统计图和成绩合格的次数，指出哪个 的训练效果最好？ 乙
根据例4中的样本数据，你还有其 他方法评价（2）中这名选手在这次比 赛中的表现吗？
知识点 2 众数
众数：一组数据中出现次数最多的数据.
月收入/ 元
人数
45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
1
1
1
3
6
1 11 1
求下列数据的众数.解释意义
5，2，6，7，6，3，3，4，3，7，6
请找出这些 工人日加工零件 数的中位数，并 说明这个中位数 的意义.
解：由条形图知这组数据中从小到大排列为：4个3， 5个4，8个5，9个6，6个7，4个8共36个数，则这组数 据的中位数为处在中间两个数6，6的平均数，因此这 些工人日加工零件的中位数为6.
这个中位数的意义：根据这个中位数，可以估计 其车间工人日加工零件个数大于或小于这个数的人数 各占一半.
教学反思
中位数和众数是数据分析中的两个重要元素. 从以往的教学经验看，学生容易混淆这两个数的 意义或不能正确找出一组数据的中位数或众数.学 生自学时，应该在这方面给予提醒.本课时的两个 层次中，一定要注意将中位数与众数进行对比， 帮助学生区分其异同，真正理解它们的意义，并 能正确找出一组混乱数据的中位数和众数.在教学 时，应充分发挥学生的主动性，通过与学生的互 动和交流，加深学生对本课时所学知识的认识.
数据的集中趋势怎么描述
数据的集中趋势怎么描述数据的集中趋势是指在一组数据中，数据值向某个中心值靠拢的程度。
常见的描述数据的集中趋势的统计量有均值、中位数和众数。
下面将对这些统计量逐一进行描述。
首先是均值，也称为平均值，是将一组数据所有观测值相加后再除以数据的个数得到的。
均值可以使用算术平均值、几何平均值或加权平均值等不同方法来计算。
算术平均值是最常用的一种计算方法，它能够很好地反映数据的总体水平。
例如，若一组数据为[1, 2, 3, 4, 5]，则它们的算术平均值为(1+2+3+4+5)/5=3。
其次是中位数，它是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据的个数为奇数，那么中位数就是排列后的中间值；如果数据的个数为偶数，则中位数是中间两个数的算术平均值。
与均值相比，中位数能够更好地反映数据的分布情况，尤其适用于存在离群值的数据集。
例如，若一组数据为[1, 2, 3, 4, 100]，则它们的中位数为3。
最后是众数，它是一组数据中出现次数最多的数值。
数据集中可能存在多个众数，也可能没有众数。
众数可以直观地表示数据的主要特征，常用于描述定性或分类变量。
例如，若一组数据为[1, 2, 3, 3, 4, 4, 5]，则它们的众数为3和4。
除了上述三种常见统计量，还有其他一些描述数据集中趋势的方法。
例如，四分位数能够将一组数据划分为四个部分，从而描述数据的分布情况。
第一四分位数是将数据划分为四个部分后位于第一个部分的数值，也即是排列后的25%位置的数值；第三四分位数是排列后的75%位置的数值。
这两个四分位数能够通过计算相应的百分位数得到。
四分位数可以用来描述数据集的分布形态、离散程度等特征。
另外，范围是一组数据中最大值与最小值之间的差值。
范围能够简单地反映数据的变异程度，但对于含有离群值的数据集来说，范围可能会受到极端值的影响。
为了克服这种影响，可以使用箱线图来描述数据的集中趋势及离散程度。
箱线图以描述数据的四分位数为核心，通过绘制箱体和上下须线来展示数据整体的分布情况。
数据的集中趋势与离散程度——知识讲解
数据的集中趋势与离散程度——知识讲解撰稿：杜少波 责编：张晓新【学习目标】1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用. 【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数 1.平均数一般地，如果有n 个数据123n x x x x 、、、…，那么，()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“x ”表示.即()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数若数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，3x 出现3f 次……k x 出现k f 次，这组数据的平均数为x ，则x =1122k k12kx f x f x f f f +f +++++……（其中1f +2f +…+k f =n ，k ≤n ）在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：（1）k f 越大，表示k x 的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数 1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受极端值的影响.中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.众数反映一组数据中出现次数最多的数据.一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景. 要点四、方差设一组数据是12,,n x x x …，，它们的平均数是x ，我们用()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定. 在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【典型例题】类型一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ） A ．99.60，99.70 B ．99.60，99.60 C ．99.60，98.80 D ．99.70，99.60 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可． 【答案】B ；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B ．【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 举一反三：【高清课堂 数据的分析 例8】【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________． 【答案】3.2；3.5； 解：由题意3.43.5, 3.62x x +==，所以众数是3.2，平均数是3.5. 【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A ．6.2小时 B ．6.4小时 C ．6.5小时 D ．7小时 【答案】B ；解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目 测试成绩甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴ 候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用． 举一反三：【高清课堂 数据的分析 例10】【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）． 所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）． 答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分． 【高清课堂 数据的分析 例11】3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值． 【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系. 举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元） 5 10 15 20学生个数（个）a15 20 5请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．【答案】解：(1) a＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．类型三、方差4.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135乙 55 151 110 135（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三：【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定C ．甲、乙射击成绩稳定性相同D ．甲、乙射击成绩稳定性无法比较 【答案】B.类型四、用样本估计总体5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有6.5 6.56.52+=． ∴ 这组数据的中位数是6.5．(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．6. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差.(2)哪种玉米的苗长得高些？ (3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键. 【答案与解析】解：（1）甲的平均值:）（）（甲cm x 3025404137221914394221101=+++++++++= 乙的平均值:甲的方差:)(2.10410)3025()3042()3021(22222cm S =-++-+-=甲, 乙的方差:)(8.12810)3144()3116()3127(22222cm S =-++-+-=乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高. （3）因为22S S 甲乙＜，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式. 举一反三： 【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势． 【答案】5.8 5.2x x ==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S ==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．植株编号 1 2 3 4 5甲种苗高 7 5 4 5 8乙种苗高 6 4 5 6 5。
平均水平(集中趋势)的统计描述
平均水平(集中趋势)的统计描述统计描述是对数据集的基本特征进行总结和概括的过程。
其中，平均水平是统计描述的一个重要指标，用来表示数据集的集中趋势。
在本文中，我们将以2000字的篇幅探讨平均水平的统计描述。
平均水平是一个常见的统计量，指代数据集中的“平均值”。
平均值是将数据集中的所有值相加，然后除以数据个数得到的结果。
它是一种反映整体趋势的度量，能够提供关于数据集的中心位置的信息。
计算平均值的步骤相对简单，首先将所有的观测值相加，然后除以观测值的个数。
例如，假设我们有一个包含10个观测值的数据集，数据值分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
将这些值相加得到55，然后除以数据个数10，得到平均值为5.5。
平均值是一个重要的统计描述指标，它能够提供数据集的中心位置信息。
然而，平均值并不能反映出数据的全部特征。
有时候，数据集中存在异常值（极端值），这会对平均值产生较大的影响。
例如，如果一个数据集中有99个值都在0-1范围内，但存在一个异常值为1000，那么计算得到的平均值将会显著偏离数据集的整体特征。
为了更好地了解数据集的平均水平，我们可以使用更多的统计描述指标，如中位数、众数和四分位数。
中位数是指将数据集中的所有观测值按照从小到大的顺序排列，然后找到位于中间位置的值。
如果数据集的观测值个数为奇数，中位数就是位于中间位置的值；如果数据集的观测值个数为偶数，中位数可以通过将中间两个值相加再除以2来计算。
中位数具有一定的鲁棒性，它不会受到异常值的影响。
众数是指在数据集中出现次数最多的值。
它可以用来描述数据集的集中趋势，特别适用于离散型数据。
如果数据集中有多个值出现次数相同且都最多，那么这些值都可以被称为众数。
四分位数是将数据集按照从小到大的顺序排列后，分成四个等份的数值点。
其中，第一四分位数是将数据集平均分成四等份后，最靠近数据集最小值的一个数值点；第二四分位数是数据集的中位数，同时也是将数据集平均分成四等份后的两个分割点；第三四分位数是将数据集平均分成四等份后，最靠近数据集最大值的一个数值点。
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样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好
茎叶图与频率分布表的关系
茎: 频率分布表中的分组
叶的数目:频率分布表中指定区域的频数 好处
(1)列出频率分布表 (2)画出频率分布直方图 (3)求灯泡寿命在100～400h的频率
back
频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点,就得到了频率分布折线图
总体密度曲线 样本容量增加,所分的组数也越少,相应 的频率分布折线图会越来越接近k
没有信息损失,所有原始数据都可在图中找到.
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得 分情况如下:
甲: 12 15 24 25 31 31 36 44 48 50 乙: 8 13 14 16 23 26 33 38 39 51
(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图 (2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平
(1)分别求出甲、乙两个团小组的平均分, 标准差 x乙 x甲 8 S甲 6 S乙 4
5 3
(2)说明哪个人的射击成绩比较稳定?
表示样本数据分布的方法
频率分布直方图与频率分布表
频率分布折线图与总体密度曲线 茎叶图
画频率分布直方图的步骤: 1. 求极差(即一组数据中的最大值与最小值的差) 极差 2. 决定组距与组数 组数 组距 3. 将数据分组 频数 频率 4. 列频率分布表 样本容量
84 则这组数据的众数为____;
80.5 79 中位数为____; 平均数为____;
极差为_____. 16
68 77 78 83 84 84
返回
2 数据5 , 7 , 7 , 8 , 10 , 11的标准差是___
x8
甲、乙两人在同样的条件下练习射击,每 人打5发子弹,命中环数如下: 甲: 6 乙: 10 8 7 9 7 9 7 8 9
分组 频数累计 频数 频率
频率 组距
合计
样本容量n 1.00
5. 画频率分布直方图 小长方体的面积等于对应的频率 各小长方体的面积等于1
对某种品牌的灯泡进行寿命跟踪调查,统计如下:
寿命(h) 个数 100 ～ 200 320 200 ～ 300 30 300 ～ 400 80 400 ～ 500 40 500 ～ 600 30
反映数据集中趋势的统计量
众数 中位数 平均数 x
反映数据离散程度的统计量
极差
1 2 2 2 方差 S [( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x ) ] n
2
标准差 S S 2
标准差(方差)越小,说明稳定性越好
在某次考试中,10名同学得分如下:
84 84 77 83 68 78