高等代数第七章 线性变换(北大版)

1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
( 1 )( ) 1 ( ( )) 1 ( ( ))
( 1 )( ) .
为单射.
其次，对 V , 令 1 ( ), 则 V ,且
( ) ( 1 ( )) 1 ( ) . 为满射.
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
二、 线性变换的和
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量
§5 对角矩阵
2015-6-12 数学与应用数学
§6线性变换的值域与核 §7不变子空间
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式 小结与习题
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
二、线性变换的简单性质
6．C看成是实数域R上的线性空间， ( x ) x .
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数学与应用数学
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
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一、 线性变换的乘积
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例1. V R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用 T 表示，即
2
x cos sin x 这里， y sin cos y
T : R R ,
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若 1 , 2 , 也线性相关.
, r 线性相关，则 1 , 2 ,
, kr 使
, r
事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,
k11 k2 2
kr r 0
kr r 0.
则由2即有，k1 1 k2 2 线性相关， 1 , 2 ,
D f x f x
J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x

0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 : V V 满足： , V , k P

k k
则称 为线性空间V上的线性变换.
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2．基本性质
（1）满足交换律： （2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：

1

1 1 1
1
1


1 1

1
k
1

k k k k k
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E : V V , 零变换： 0 : V V ,
0, V k , V
, V
K :V V , 由数k决定的数乘变换：
事实上， , V ,
m P ,
K k ( ) k k K K , K m km mk mK .
故 为一一对应.
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1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
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( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
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四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 .
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２．基本性质
（1）满足结合律：


（2） E E ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
.
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例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
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证：对 , V , k P ,
1 1 1 1

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三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
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2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) (2) ( k l ) k l (3) k ( ) k k (4) 1
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( )
例3．V P[ x ]或P[ x ]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
√ √
2 f ( x ) f ( x ). 2．在 P[ x ]n中，
, V 非零固定. 3．在线性空间V中，
nn 固定. X AX , A P 4．在 P 中，
n n
√
√
( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，


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3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
,
V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
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2
x y
x y
易验证： , R , k R
2
T T T T k kT
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例2． V R3 , V 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
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引入
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称
两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射
线性变换.
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数学与应用数学
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2
kr r , kr ( r ).
则 ( ) k1 (1 ) k2 ( 2 )
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
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C a , b 上的变换
J : C a , b C a , b , J f x f t dt
x a
是一个线性变换.
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数学与应用数学
二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则
(0) 0, ( ) ( ).
注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
, r 未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
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数学与应用数学
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
3 R x1 , x2 , x3 (2 x1 , x2 , x2 x3 ). 1．在 中，
性变换. 用 表示，即
: R R ,
3 3
( , ) , R 3 ( , )
这里 ( , ),( , ) 表示内积. 易验证： , R , k R
3

k k
1 1 1 1 1
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1

1
1 是V的线性变换.
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(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有
DJ JD.
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f t dt f x f 0
数学与应用数学
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有