35群的自同构群.
一类新p-群的自同构群的最佳下界
一类新p-群的自同构群的最佳下界
在数论中，研究p-群的自同构群的最佳下界是一个非常重要的课题。
它指的是在一个p-群中，可以用最少的自同构而构建出最大的自同构群。
根据Lagrange的定理，最佳下界是p-1。
因此，当我们考虑一类新p-群
的自同构群的最佳下界时，我们有必要考虑p-1的情况。
现有的结果表明，可以在一个p-群中，用最少的自同构组合而构成
一个自同构群，其最佳下界比p-1更小。
其中，最典型的是，Babai在1985年提出的一个p-群的最佳下界，它可以用最少的自同构构成一个最
大的自同构群，并且最大的自同构群的最佳下界为(2p-1)/3。
因此，可以说，当考虑一类新p-群的自同构群的最佳下界时，除了
p-1之外，最好的下界还可能更小，具体值取决于这类新p-群的特性。
一类l-半群的l-自同构
一类l-半群的l-自同构
l-半群是指在一组有限元素的集合上满足半群性质的结构。
其中半群性质指的是满足结合律和存在单位元。
l-自同构是指在l-半群中两个元素之间存在一种自同构关系。
自同构关系是指对于两个元素a和b，存在一个可逆的l-半群上的映射f，使得f(a) = b。
在一类l-半群中，l-自同构是一种重要的概念，用来描述在这一类半群中元素之间的相似度。
l-自同构通常用来在群理论、代数结构中建模，如在密码学、图论、组合数学等领域。
在一类l-半群中，l-自同构是一种重要的概念。
其中，l-自同构关系是指对于两个元素a和b，存在一个可逆的l-半群上的映射f，使得f(a) = b。
这种关系表示a和b是在l-半群上等价的。
对于一类l-半群中的元素，l-自同构关系是一种重要的相似性度量。
在很多场景下，我们需要对元素进行分组或聚类，l-自同构关系可以作为这些元素之间相似度的度量。
另外，在群理论、代数结构中，l-自同构关系是一个重要的概念，用来建模并解决许多有关群、代数结构等问题。
总之，l-自同构是一类l-半群中重要的概念，在群理
论、代数结构、数学建模等领域有着重要的应用。
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。
它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。
首先，我们需要了解什么是循环群。
循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。
换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。
例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。
循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。
循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。
换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。
循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。
首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。
其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。
在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。
循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。
平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。
换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。
而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。
在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。
对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。
而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。
这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。
总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。
《群的自同构群》课件
自同构群的拓扑性质
自同构群的连续性
对于任意的自同构α∈Aut(G)，其对应的映射是连续的。
自同构群的开性和闭性
Aut(G)中的子集是开集还是闭集取决于所使用的拓扑。
自同构群的紧致性
如果群G是紧致的，则Aut(G)也是紧致的。
03
群的自同构群的构造
循环群的自同构群
总结词
循环群的自同构群是循环群本身，其元素为整数加法。
自同构群的代数性质
自同构群的指数
对于任意的自同构α∈Aut(G)，存在一个正整数n，使得α^n=ε 。这个整数n被称为α的指数。
自同构群的周期性
如果存在一个正整数n，使得对于所有的x∈G，都有α^n(x)=x ，则称α是周期性的。
自同构群的周期指数
对于周期性的自同构α，其最小正整数n被称为α的周期指数。
详细描述
对于循环群$G=langle g rangle$，其中$g$是生成元，自同构群 $text{Aut}(G)$由整数加法构成，即对于任意整数$k$，映射$g rightarrow g^k$是自同构。
交换群的自同构群
总结词
交换群的自同构群是所有可逆线性变 换的集合。
详细描述
对于交换群$G$，其自同构群 $text{Aut}(G)$由所有可逆线性变换 组成。这意味着对于任意元素$x in G$，存在一个可逆线性变换$T$使得 $T(x)=x'$且$T(x')=x$。
《群的自同构群》PPT课件
目 录
• 群与自同构群的基本概念 • 自同构群的基本性质 • 群的自同构群的构造 • 群的自同构群的应用 • 群的自同构群的展望
01
群与自同构群的基本概念
群的定义与性质
定义
自同构和直积
自同构和直积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自同构和直积是群论中两个重要的概念，它们在研究群的结构和性质方面起着非常重要的作用。
本文将介绍自同构和直积的定义、性质和应用，并探讨它们在群论中的重要性。
一、自同构在群论中，自同构是指一个群和其自身之间的同态映射。
具体地说，设G是一个群，如果存在一个映射φ: G → G，使得对于所有的a, b ∈ G，有φ(ab) = φ(a)φ(b)，且φ是双射，则称φ是一个自同构。
如果存在一个自同构φ，使得φ是恒等映射，则称这个自同构是平凡的。
否则，该自同构被称为非平凡的。
自同构在群论中的研究具有重要的意义。
通过对自同构的研究，我们可以了解群的结构和性质。
自同构可以帮助我们研究群的不变性质，比如正规子群和共轭类等。
自同构还可以帮助我们刻画不同群之间的关系，比如同构和同态等。
二、直积直积是群论中的另一个重要概念。
设G和H是两个群，它们的直积G × H定义为一个新的群，其元素是所有形式为(g, h)的有序对，其中g ∈ G，h ∈ H。
直积的群运算定义为：(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)，其中*是G和H中的运算符。
直积在群论中的应用广泛。
通过直积，我们可以将两个群的结构和性质相结合，得到一个新的群。
直积还可以帮助我们研究群的子群和同态。
通过对直积的研究，我们可以了解不同群之间的关系，并且探索它们之间的关系。
三、自同构和直积的关系自同构和直积在群论中有着广泛的应用。
它们不仅帮助我们研究群的结构和性质，还可以应用于其他数学领域。
自同构和直积的理论在密码学、代数几何和物理等领域都有着重要的应用。
在密码学中，自同构和直积的概念可以帮助我们设计安全的加密算法。
通过对群的自同构和直积的研究，我们可以设计出不易破解的密码系统，从而保护通信的安全性。
在代数几何中，自同构和直积的理论可以帮助我们研究拓扑空间和代数结构。
自同构和直积的概念可以帮助我们理解复杂的几何结构，揭示其内在的对称性和性质。
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
齐次循环群的自同构群
齐次循环群的自同构群
自同构群是一种由拓扑结构中的网络、空间和序列组成的结构。
它们表现出鲜明的稳定性，并具有许多优秀的结构性能。
齐次循环群也是这样一类自同构群，它们是由环节组成的图形，在拓扑上呈现出完全的单一环节结构。
一般的齐次循环群具有以下特点：1、它们拥有完美的对称性结构，其分散式体系结构下的所有节点具有相同的空间结构特征；2、在模型上，节点之间相互联系，结构代表了网络节点之间的交互关系；3、它们的位置相对均衡，充分利用空间，从而极大地减少距离误差；4、它们可以通过简单的方式快速搜索，搞定复杂的信息处理任务。
此外，齐次循环群的应用场景十分广泛，在软件和系统的架构中，可以使用齐次循环群来组织系统各层的架构结构，以及优化系统的性能。
相应地，在计算机网络的组织中，齐次循环群也可以提供更为高效率的传输方式，缩短网络数据传输的时延。
总之，齐次循环群是一类具有自身独特结构性特征的自同构群，由于其具有良好的位置特征、可靠的数据传输特性以及出色的空间利用效率等优势，因而日益受到重视，并发挥着重要的应用作用。
自同构和直积-概述说明以及解释
自同构和直积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:自同构和直积是群论和代数学中重要的概念。
自同构指的是一个群与其自身之间存在一一对应的同构映射关系，直积则是将两个群的元素按照一定规则组合在一起得到一个新的群。
自同构和直积的研究在代数学和离散数学中具有重要的地位，它们不仅有着理论上的意义，也在实际中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对自同构和直积这两个概念进行详细的介绍，并探讨它们之间的关系。
通过对这些概念的深入理解，我们可以更好地理解群论和代数结构中的各种问题，从而为进一步的研究和应用提供坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括本文的主要章节和内容概述。
在这里，我们可以简要介绍本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中将概述自同构和直积的概念，同时阐明本文的目的和意义。
在正文部分将详细介绍自同构和直积的定义、性质和相关定理，以及它们之间的关系。
最后在结论部分将总结自同构和直积在数学领域的重要性，并展望未来可能的研究方向。
整篇文章将围绕这些内容展开，希望可以为读者提供清晰的理解和启发。
1.3 目的本文旨在探讨自同构和直积在数学领域中的重要性和应用。
通过对自同构和直积的定义、性质和特点进行详细分析，我们希望读者能够深入了解这两个概念在代数学、几何学、拓扑学等领域中的重要作用。
通过对自同构和直积的关系进行讨论，我们将展示它们之间的联系和相互影响。
最终，我们将总结自同构和直积的重要性，并探讨它们在未来研究方向中的潜力应用，以期为数学领域的进一步发展提供启示。
2.正文2.1 自同构自同构是指一个结构与自身的同构映射。
在数学领域中，自同构通常指的是一个映射，它将一个结构映射到自身并保持结构的基本特征不变。
自同构在代数、拓扑、几何等领域都有重要应用。
在代数学中，自同构常常用来研究群、环、域等代数结构的性质。
一个群的自同构映射可以帮助我们理解群的对称性质，而一个环的自同构映射则可以揭示环的结构特征。
3-5群的自同构群.ppt
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
2018/1/10 16:35
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
2018/1/10 16:35
群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
2018/1/10 16:35
小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
2018/1/10
16:35
2018/1/10
2 ,因此, G的中心 1
16:35
例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
阶数不超过50的群的分类(跳过16,32,36,48)
1主要用半直积的方法。
p群要按中心非平凡逐渐归纳。
需要用到的会说出自同构群。
未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。
为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。
元素的幂次记为x^n。
每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。
22阶群C2，自同构群平凡群1。
33阶群，素数阶。
C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。
44阶群，素数平方阶，交换。
C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。
S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。
55阶群，素数阶。
C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。
66阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。
平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。
77阶群，p型。
C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。
88阶群，素数幂型或p群。
A)若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。
B)若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。
BA)若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。
Aut(C4)≌C2。
考察同态C2→C2。
BAA)若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。
自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。
Aut(C2xC4)≌D4。
BAB)若y在N上非平凡作用，则G≌D4。
计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。
BB)若y^2=x^2，y^4=x^4=1,因此y是4阶元。
第9讲 群的同构与同态
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
第三章正规子群和群的同态与同构
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
Taishan University
抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
Taishan University
但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
群与群同构的基本概念与性质
群与群同构的基本概念与性质群与群同构是抽象代数中的一个重要概念。
本文将重点介绍群与群同构的基本概念和性质，以及它们在数学和其他领域中的应用。
1. 群的定义与性质群是一种由一组元素和一个二元运算组成的代数结构。
它需要满足四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
记群为(G, *)，其中G为元素的集合，*为群的二元运算。
2. 群同构的定义设(G, *)和(H, ⊗)是两个群，若存在一个双射函数f: G -> H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a * b) = f(a) ⊗ f(b)，则称G与H同构，记作G ≃ H。
其中f被称为群同构映射。
3. 同构的性质3.1 保结合律：若G与H同构，且*a, *b∈G，则f(a * b) = f(a) ⊗f(b)。
3.2 保单位元：若G与H同构，且e_G为G的单位元，e_H为H的单位元，则f(e_G) = e_H。
3.3 保逆元：若G与H同构，且a∈G，则f(a^(-1)) = f(a)^(-1)。
4. 群同构的例子4.1 整数加法群与整数乘法群的同构在群的运算中，整数加法群和整数乘法群是两个经典的例子。
通过定义f(n) = 2^n，可以证明整数加法群(Z, +)与整数乘法群(Z*, ×)是同构的。
证明过程略。
4.2 平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群的同构平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群也是一个重要的例子。
通过定义f(θ) = e^(iθ)，其中θ为旋转角度，可以证明它们是同构的。
证明过程略。
5. 群同构的应用群同构在数学和其他领域中有着广泛的应用。
5.1 在密码学中，群同构可用于构造具有高安全性的加密算法。
5.2 在量子力学中，群同构用于研究粒子的对称性和守恒定律。
5.3 在拓扑学中，群同构用于研究拓扑空间的同伦性质。
总结：群与群同构是抽象代数中的重要概念。
群同构的定义和性质揭示了群之间的一种特殊关系，具有保结合律、保单位元和保逆元的性质。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
标签：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A）= Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B）= Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C）= Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D）= Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E）= Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
我们把三维欧式空间理解为实数域上定义了距离函数的三维向量空间，记做R 。
典型群PSL(3,q),PSL(2,q)(q=2l)与2-(v,k,1)设计
典型群PSL(3,q),PSL(2,q)(q=2l)与2-(v,k,1)设计周胜林【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2001(027)001【摘要】首先讨论自同构群是典型群PSL(3,q)(q=2l)的区本原的2-(v,k,1)设计,证明了它必是点本原的.其次证明了区本原的2-(v,k,1)设计不能以PSL(2,q)(q=2l)作为其自同构群.%Let D be a 2-(v,k,1) design and G≤Aut be the aut omorphism groupof . In this paper,it is proved that if G is block-primitiv e and PSL(3,q2)(q=2l),then it is also point-primitive. More over,a blo ck-primitive 2-(v,k,1)design does not have PSL(2,q) as its aut omorphism group.【总页数】2页(P2001-01-15)【作者】周胜林【作者单位】汕头大学数学系【正文语种】中文【中图分类】O157.2【相关文献】1.二维典型群PSL(2,q)与旗传递2-(v,k,λ)设计 [J], 王培;周胜林2.PSL(2,2<sup>n</sup>)与单纯3-(2<sup>n</sup> + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数,d(2<sup>n</sup> - 1)且d ≥ 3) [J], 魏乐乐;李伟霞;3.单纯3-设计与群PSL(2,q),q≡1(mod4) [J], 韦萌萌;李伟霞4.2-(v,k,1) DESIGNS AND PSL (3,q) WHERE q IS ODD [J], Ding ShifengDept. of Math., Zhejiang Univ., Hangzhou 310027, China.5.区传递的2-(v,8,1)设计与单群PSL_(n)(q) [J], 井雪娜;韩广国因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
3.5群的自同构群
>§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。
比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。
本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。
1. 自同构群的定义： ！定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====，即στ也是M 的一个自同构。
这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
·另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。
所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。
定理1表明M 的自同构群是()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群，记作Aut G 。
由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。
`例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。
解 4Aut K σ∀∈。
由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。
又由于σ是双射，因此()()()ea b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。