2015年港澳台联考数学真题 (每题详细解析版含答案)

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2015 年港澳台联考数学试题解析版
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 （1） sin 225 （A） 【答案】A
（
2 2
）
（B）
2 2
（C）
1 2
（D）
1 2
（2）设平面向量 a (1, 2) ， b (3, 2) ，则 2a b （ （A） (1,0) （B） (1, 2) 【答案】B （C） (2, 4)
4 3 2
2
数学科试题
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三、解答题：本大题共 4 小题；每小题 15 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （19）设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 a 1 ， sin C 2sin A ， B 2 A ， 求b 和 B ．
绝密★启用前
2015 年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数
目要求的。 （1） sin 225 （A）
学
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
（
2 2
）
（B）
2 2
（C）
1 2
（D）
1 2
）
（A） 2
（B）
（C）
（D）
1 2
（8）函数 y
x cos( ) 的图象按向量 平移后，所得图象对应的函数为（ 2 3 cos x 2
（B） y
）
（A） y
cos
x 2
（C） y
sin
x 2
）
（D） y
sin
x 2
（9）函数 y (sin x cos x 1)(sin x cos x 1) 的最大值为（ （A）1
）
（A） 4 【答案】 4
（5）设函数 y
log 1 ( x 2 4 x 5) 在区间 (a, ) 是减函数，则 a 的最小值为（
y 0 的对称点为_____________．
（14）曲线 y xe x 在点 (0, 0) 处的切线方程为_____________________． （15）复数 z
3i 的共轭复数 z _______________． i (1 i )
（16） A ， B ， C 为球 O 的球面上三点， AB AC ，若球 O 的表面积为 64 ， O 到 AB ， AC 的距离 均为 3，则 O 到平面 ABC 的距离为____________． （17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 2 x z 2 0 的垂线，垂足为______________． （18）若多项式 p( x) x x ax bx c ， p(1) 2 ，用 x 1 除 p( x) 的余式为 2， p(1) ___．
（B）
3 4
（C）
3 4
（D） 1
x2 y 2 （10）直线 l 与椭圆 1 相交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 (2,1) ，则 l 的斜率为（） 36 18
（A）
2
（B）
2
（C）1
（D） 1
（11） 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， a1
且 q 1， 若m i l 1 公比为 q ，
）
（2）设平面向量 a (1, 2) ， b (3, 2) ，则 2a b （ （A） (1,0) （B） (1, 2) （C） (2, 4)
（D） (2, 2) ）
（3）设集合 A {1,2,3,4} ，若 A 至少有3个元素，则这样的 A 共有（ （A） 2 个 （4）设 y （B） 4 个 （C） 5 个 （D） 7 个 ）
）
（D） (2, 2)
（3）设集合 A {1,2,3,4} ，若 A 至少有3个元素，则这样的 A 共有（ （A） 2 个 【答案】C （B） 4 个 （C） 5 个 （D） 7 个
）
（4）设 y
f ( x) 是 y
1 2 x 的反函数，则 f ( ) （ x 5 1 2
（C）
n
1 2
n2
。
（22）设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 是抛物线 C ： y x 上的两点，且 x1 x2 10 。
2
（I）若 y1 1 ，求直线 AB 的方程； （II）证明：当点 A ， B 在 C 上运动时，线段 AB 的垂直平分线过定点。
数学科试题
f ( x) 是 y
1 2 x 的反函数，则 f ( ) （ x 5 1 2
（C）
（A） 4
（B） 2
1 2
（D）
1 4
）
（5）设函数 y
log 1 ( x 2 4 x 5) 在区间 (a, ) 是减函数，则 a 的最小值为（
2
（A） 2 （6）不等式 x
（B）1
（20）设函数 f ( x) （I）求 a ；
x2 a ，当 x 1 时， f ( x) 取得极值。 2 x
（II）求 f ( x) 的单调区间。
数学科试题
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（21）已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 4 an （I）证明：数列 {2 an } 是等差数列； （II）求 {an } 的通项公式。
（C） 1 ）
（D） 2
x 2 4 的解集为（
（B） {x | 6
（A） {x | x 1} （7）已知函数 y
x 1}
（C） {x | x 4}
（D） {x | x 0}
sin x( 0) 的图象关于直线 x
3 2 2 3

3
对称，则 的最小值为（
Sn 1 则 q （ 3 ， n S 3 n
）
（A）
2 3
（B）
1 2
（C）
1 2
（D）
2 3
）
（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ （A）
3 11
（B）
4 11
（C）
5 11
（D）
6 11
二、填空题：本大题共 6 小题；每题 5 分。 （13）点 (3, 1) 关于直线 x