张量,变分法,有限元素法概要

附录

弹性力学数学基础

目录

附录1 张量基础

附录2 复变函数数学基础附录3 变分法概要

§i1 张量1

附录1 张量基础

张量特征

笛卡儿张量下标

求和定约

偏导数下标记法

特殊张量

张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征

——整体与描述坐标系无关

分量需要通过适当的坐标系定义

笛卡儿（Descartes）张量定义

一般张量——曲线坐标系定义

三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u ，v ，w

缩写记为u i （i =1, 2, 3）

表示为u 1, u 2, u 3

9个独立变量的集合，两个下标来表示

s ij 和e ij ——9个应力分量或应变分量

s ij,k

——27个独立变量的集合用三个下标表示

i ——下标

求和定约

张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。

=A j

i ij a ηζ=k k k a ζ∑=3

1∑∑i

j

j i ij a ηζk

k a ζ=哑标： 出现两次的下标——求和后消失 =A j

ij i y c x =32322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ++=++=++=自由标：非重复下标

自由标个数表示张量表达式代表的方程数

§i1 张量3

偏导数的下标记法

缩写张量对坐标x i 偏导数的表达式

逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i 时，表示某

物理量对x i 求偏导数。

)()(,

i

i

x ∂∂=利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为

j i j

i x u u ∂∂=,

k ij k ij x ∂∂=

e e ,k ij k ij x ∂∂=s s ,i ik

i x x u u ∂∂∂=

,ij kl ij ∂=

s s ,ij kl ij ∂=

e e ,

张量的偏导数集合仍然是张量

证明： u i ，j 如果作坐标变换

'

,

'j i u ∑∑∑∂∂==l j l k l k k i l x x u n ',')(∑=k

j k k i u n '

,

')(∑∑∂∂=l j l

k

l

k k i x x u n ',')('

'j i j i x n x =i

j j i

n x x ''

=∂∂∑∑=l

l

j k i k

l k j i n n u u '','

,

'由此可证，u i , j 服从二阶张量的变换规律

由于 因此

特殊的张量符号

克罗内克尔（Kronecker Delta ）记号d ij

j

i j i ij ≠==

1d 显然

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111d d d d d d d d d d ij 克罗内克尔记号是二阶张量

运算规律

i m im ii T T a a ===++=d d d d d d 3332211§i1 张量6

置换符号e ijk

有相等下标时

的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，0

3211

3211k j i k j i e ijk -=偶排列

有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列 奇排列

1

1

213321132312231123-======e e e e e e

二阶对称张量反对称张量

ji

ij

T T=

ji ij

T T-

=

任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。

张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。

附录2 复变函数数学基础

复变函数定义

解析函数

保角变换

柯西积分

复变函数定义

复数——两个实数x，y确定的数z=x+i y

1

i-

=

虚数单位

实部

虚部模幅角

z

y Im

=

2

2

|

|y

x

z+

=

x

y

arctan

=

ϕ

复变函数基础

§i2 复变函数1

z

x Re

=

函数f （z ）在某区域Σ上的每一点导数存在，称为区域Σ上的解析函数。

解析函数 w=u （x ，y ）+i v （x ，y ） 柯西－黎曼条件 解析函数 x

v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,解析函数的实部和虚部都是调和函数

——复变函数的可导性

022

22=∂∂+∂∂y u x u 02222=∂∂+∂∂y v x v