椭圆各类题型分类汇总修订稿

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椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值． 例3 已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆1342

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为

1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．

3.第二定义应用

例1 椭圆112162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

例2 已知椭圆142222=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．

例3 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

(2) 求22

3PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆14

92

2=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为5

102，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

例4 已知椭圆13

42

2=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116

42

2=+y x ；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2

1=e ，得4=k ．

当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例5 已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,

03,05k k 得53<>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．