第五章 生存年金的精算
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第五章年金的精算现值
P(ax
aT )
P(1vT
15.38)
P(vT 0.23)1
0.05
P(e0.0T 5 0.23)1P(T2.93)1 2.9310.01e50.01td5 t 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0t
pxvtdt
例 2：已 x 知 1-x,计算 当 100,0.0x5 3, 时 0 ，
解:
ax
0
t
pxvtdt
0
et
t
.e 0xsd
s
dt
0
e0.06t.e0.04tdt
0
e0.1tdt
b
lim b 0
e0.1tdt
lim( 1 e0.1t b 0.1
)|b0
10
例2：设余 T的命 概率密度 f(t函 )0.数 01－0为 5.0e1(5tt 0)利 , 息
－－
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
Ax:mAx:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VaYr
2Ax(Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
VarY2(ax :n2 ax:n)(a x:n)2
3、延期n年的终身生存年金
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
保险精算学生存年金精算现值
2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk
第五章生存年金
作业：
1.试分别计算一现年60岁者购买期末及期初付金额 1000元的终身生存年金的精算现值（i=6%） 2.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付 的终身生存年金，试求其每年所得的年金额（i=6% 3.年龄为55岁者，购买下列生存年金，每年给付年 金额 为3500元，试分别求其应缴的趸缴纯保费: (1) 期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和 期末付终身生存年金；（3）在60岁时开始支付的终 身生存年金；（4）在60岁时开始支付的15年定期 生存年金（i=6%）
这一公式表明，现在 x岁的 人每人存入入 到n年末在复利率i的作用下生成的金额 正好满足到n年末仍存活的 人每人1元给付。 因此为保证n年末存活者得到每人1元保险金， 在投保时必须一次性缴付 元。这正是前面
把 称为趸缴净保费的原因。 人缴付 后， 在n年内必然有一部分人在死亡率作用下死去， 从而不可能在n年末领到保险金，他们当初购买 保险的支出被尚存者分享。保险中把这种尚存者 分享期内死亡者利益的情况称为生存者利益或简 称为“生者利”。与 是利率下的折现因子、 是利率下的累积因子类似， 可以看作是在利 率和生者利下的折现因子， 可以看作是利率 和生者利下的累积因子。
§5.3 每年支付m次的生存年金
一、期末付年金
1 2 1、终身生存年金： 1 ax ( m) (v m 1 px v m 2 px ...) m m m
2、延付n年的终身生存年金：
n
ax
( m)
n Ex a
( m) xn
3、n年定期生存年金：
( m) ( m) ( m) ax a a x n x :n
假设某人x岁时开始投保，为方便通常记为(x)，在 经过 n年后如果仍存活将得到金额为k的生存保险 金，(x)存活n年的概率为 。也就是说(x)在n年 末能够得到k金额的概率为 ，这样n年末得到给 付金的期望值为 ·。这一值在投保时的现值便 为 。我们把这一现值称为 k金额的n年纯 粹生存保险现值。
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
保险精算-第5章2(2)年金的精算现值
2021/2/4
1
2
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
2021/2/4
1
3
3.延期n年的终身生存年金 4.延期m年的n年定期生存年金
2021/2/4
4
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随
当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
为 A。 x
2021/2/4
1
6
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算， d
或
2021/2/4
1
7
对于延期年金
同理可证：
2021/2/4
1
8
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
lx
100 72
a E a 10| 40 10 40 50
a
1 A
50
50
d
AA1 EA
40
4： 010 | 10 40 50
M538(4元 0)
2021/2/4
1
17
谢谢观赏！
2020/11/5
18
年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年，
对 va 来说 v元 ， 已支付 a来 ， 1 说 元 而 ， 尚 对未支
x
x
所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
即 A 。 2021/2/4x
12
与寿险的换算公式注意
,
a x
1
A x
保险精算课程四(生存保险现值)
第五章 精算现值的计算
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
保险精算 第5章1 生存年金
签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金 延期m年 n年定期生存年金
1 10 dt
例1答案
（ 2）
T 1 1 1 v T 2 Var v 2 Var[aT ] Var
A (A )
2 2 x x
Ax v t fT (t )dt
0
fT (t )t px xt
回忆
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。 该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。 ＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
Y aT|
at | f T (t )dt
0
at | dFT (t )
0
at | d ( t px )
0
at | t px 0
t
0
px d (at | )
t
0
px d (at | )
在总额支付法 ax
保险精算学年金的精算现值
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
终身生存年金
ax v k k px
k 0
定期生存年金
ax:n v k k px n Ex
k 0 k 0 k n| ax v k px ax ax:n n Ex ax n k n
定期生存年金 延期n年的终身生存年金
延期m年的n年定期生存年金
5.3.4 离散型生存年金的精算累积值
对于期初付n年定期生存年金，有
5.4 每年付数次的生存年金
1、终身生存年金 k 1 m m 基本公式： ax v k px
k 0
m
m
类似于上一节的公式，有
UDD假定下的公式
寿险费率一般是指每千元保额的保费。
毛保费构成公式
解释
G(b)(1 f ) ab c
G(b)：保险金额为b元的毛保费 a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保 费是它的主要部分 c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。 f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。
5.1.2 生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。 总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付 额的现值，再求现值的数学期望 两种方法是等价的
近似公式（实际操作公式）
2、定期生存年金
UDD假设下的公式
近似公式（实际操作公式）
保险精算第五章
1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e-=⋅(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。
试计算精算现值 x a 。
2．设 10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =。
试求：（1）δ；（2）x Ā 。
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。
而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。
试求此人每次所获得的年金额。
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。
6． 在UDD 假设下，试证：(1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。
(2) ()()::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。
（3）()()::1(1)m m n x x n x n a a E m=-- 。
7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
8． 试证：(1)()()m x x m a a i δ= (2)():():m x n m x n a a i δ= 。
(3) ()lim m x x m a a →∞= 。
(4) 12x x a a ≈- 。
9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。
到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。
试求数额R 。
10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =， 26x a =，124i = ，求Y 的方差。
生存年金的精算现值
资产配置优化
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
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研究不足与展望
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
第五章 生存年金的精算
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
1 n t E x t
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ex t
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
例5.1.1和5.1.2
某人留有遗书，其儿子年满21岁时可获得5万元 遗产。若其子现年12岁，利用书后的所附的生命 表（非养老金业务男表）求其子所得遗产的现值 i=0.06。 利用附录的生命表及年利率i=0.06，计算30岁的 人缴纳5000元在65岁时的精算现值。
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
a30:30
1 A30:30
1 0.35 13.01 0.05
例5.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
0.06
0.54
例5.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
第5章生存年金的精算现值
a v p dt e e dt edt 10
0 0
t x t x 0
0 . 06 t 0 . 04 t
0 . 1 t
13
例5.2答案
0.06 t 0.04 t （ 2 ） A e 0 . 04 e 0.4 x 0 2 0.12 t 0.04 t A e 0 . 04 e 0.25 x 0
3
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的 方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
4
5.2 生存保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在 第n年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第4 章讲到的n年期纯生存保险。n年期生存保险的趸 缴纯保费为 A x : n1 在生存年金研究中习惯用 n E x 表示该保险的精算现 值
n 1 k 0
, n 1
ax E[Y ] ak 1 k qx an n px
32
相关公式
K1 v , K 0,1, , n 1 zK n v , K n 1 Ax:n 1 zK 1 1) ax:n E[Y] E E [ z ] K d d d
1 z 1 t （ 2 ） Var ( Y ) Var ( ) 2Var (z t)
12 2 Var ( a ) [ A ( A ) ] 2 T x : n x : n
思考：为什么会对应两全保险？
（提示：分析Zt的表达式）
20
例5.4（例5.3续）
在De Moivre假定下，
t 30 30
生存年金保险精算原理与实务课件方案策划
风险分类
将识别出的风险因素进行分类， 以便更好地理解和应对不同类型 的风险。
生存年金保险风险评估
评估风险大小
运用精算技术和统计方法，对识别出 的风险因素进行定量评估，确定其对 生存年金保险业务的影响程度。
制定应对策略
根据风险评估结果，制定相应的风险 应对策略，包括风险分散、风险转移 、风险自留等。
付年金。
联合生存年金保险
在被保险人共同生存的情况下 ，保险公司按约定的方式给付 年金。
附加生存年金保险
作为主险的附加险种，在被保 险人生存时提供额外的年金给 付。
投资型生存年金保险
将生存年金与投资相结合，通 过投资收益来提供年金给付。
生存年金保险的定价策略
01
02
03
风险评估
对被保险人的健康状况、 年龄、性别等进行风险评 估，以确定保费水平。
生存年金保险风险控制
监控风险变化
定期对生存年金保险业务的风险状况进行监控，及时发现和 应对风险变化。
调整风险管理策略
根据风险变化情况，适时调整风险管理策略，确保风险管理 效果的最优化。
05 生存年金保险案例分析
成功案例分享
案例一
平安生存年金保险
背景介绍
平安保险公司推出的一款生存年金保险产品，针 对有一定储蓄需求的客户群体。
生存年金保险精算原理与实务课件 方案策划
目 录
• 生存年金保险精算原理 • 生存年金保险实务操作 • 生存年金保险市场分析 • 生存年金保险风险管理 • 生存年金保险案例分析
01 生存年金保险精算原理
生存年金保险的定义与分类
生存年金保险的定义
生存年金保险是一种特殊的人寿保险产品，被保险人在保险期间内生存时，保险 公司按照合同约定给付保险金。
将识别出的风险因素进行分类， 以便更好地理解和应对不同类型 的风险。
生存年金保险风险评估
评估风险大小
运用精算技术和统计方法，对识别出 的风险因素进行定量评估，确定其对 生存年金保险业务的影响程度。
制定应对策略
根据风险评估结果，制定相应的风险 应对策略，包括风险分散、风险转移 、风险自留等。
付年金。
联合生存年金保险
在被保险人共同生存的情况下 ，保险公司按约定的方式给付 年金。
附加生存年金保险
作为主险的附加险种，在被保 险人生存时提供额外的年金给 付。
投资型生存年金保险
将生存年金与投资相结合，通 过投资收益来提供年金给付。
生存年金保险的定价策略
01
02
03
风险评估
对被保险人的健康状况、 年龄、性别等进行风险评 估，以确定保费水平。
生存年金保险风险控制
监控风险变化
定期对生存年金保险业务的风险状况进行监控，及时发现和 应对风险变化。
调整风险管理策略
根据风险变化情况，适时调整风险管理策略，确保风险管理 效果的最优化。
05 生存年金保险案例分析
成功案例分享
案例一
平安生存年金保险
背景介绍
平安保险公司推出的一款生存年金保险产品，针 对有一定储蓄需求的客户群体。
生存年金保险精算原理与实务课件 方案策划
目 录
• 生存年金保险精算原理 • 生存年金保险实务操作 • 生存年金保险市场分析 • 生存年金保险风险管理 • 生存年金保险案例分析
01 生存年金保险精算原理
生存年金保险的定义与分类
生存年金保险的定义
生存年金保险是一种特殊的人寿保险产品，被保险人在保险期间内生存时，保险 公司按照合同约定给付保险金。
5寿险5
PV
终身 K(x)+1 ax n年期 min(T(x),n) a x:n | n年确定终生 max{T(x),n} ax:n | 延期n年终生 K(x)+1-(K(x)+1)^n
n|
ak ( x)1| a( K ( x)1)n| a( K ( x)1)n|
ax aK ( x)1| a( K ( x)1)n|
而利息力通常很小(小数), 因此,有 年金的风险大于寿险的风险.
var(aT ( x )| ) var(v
T ( x)
),
5.4 期初生存年金 本节开始考虑离散给付方式的生存年金问题. 从岁开 始在每一年年初给付生存年金, 每次给付1元.
5.4.1 定义及计算公式 生存年金 给付次数
APV
例5.4.2, 例 5.4.3, 例 5.4.4
5.5 期末生存年金 在x岁开始给付的终身生存年金, 期末生存年金的年 金给付次数为K(x).与期初终生生存年金给付次数相 差一次给付. aK ( x )| 终身生存年金(K(x), ax , ) n年期生存年金( K(x)^n, x:n | , a )
结论5.3.2
5.3.2 终身连续生存年金
ax v t px dt.
t 0
例5.3.3 (计算现值大于精算现值的概率)
5.3.3 延期n年的连续终身生存年金 现值为 a a , APV a .
T ( x )| T ( x ) n| n| x
结论5.3.3
n|
ax ax ax:n | ; n| ax v t px dt.
结论5.4.1
ax:n | v j j px , ax v j j px ,
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计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var (Y )
例5.3答案
(1) a30 at fT (t )dt
0 70 70
1 dt 1 1 100 x s( x) e 0 100t w x 100 x 100 s( x t ) 100 x t s( x t ) 1 t px x t t px s ( x) 100 x s ( x) 100 x
例5.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
0.06
0.54
例5.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
a30:30
1 A30:30
1 0.35 13.01 0.05
1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
Var (aT )
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——现时（当期）支付技巧
步骤一：计算存活时间N所支付的当期年金 的现值 N
分类
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理 论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联 系
an , an , an
都是间隔一段时间支付一次的 系列付款
a x , a x , ax
生存年金与确定性年金的区 别
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定 （以被保险人生存为条件）
1 n t E x t
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ex t
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
例5.1.1和5.1.2
某人留有遗书，其儿子年满21岁时可获得5万元 遗产。若其子现年12岁，利用书后的所附的生命 表（非养老金业务男表）求其子所得遗产的现值 i=0.06。 利用附录的生命表及年利率i=0.06，计算30岁的 人缴纳5000元在65岁时的精算现值。
0
例5.2答案
（2）Ax e 0.06t 0.04e 0.04t 0.4
0 2
Ax e 0.12t 0.04e 0.04t 0.25
0
Var[aT ]
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
1 (0.25 0.16) 25 0.062
Var[aT ] 5
ax
1 vt
0
t p x x t dt
0.04 (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
ax v t px dt e
eLeabharlann dt e0.1t dt 10
步骤一：计算到死亡发 生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和
Y aT v dt
t 0
0
T
1 vT
ax E (aT ) aT fT (t )dt
步骤二：计算这个年金 现值关于时间积分所得 的年金期望值，即终身 连续生存年金精算现值，
1 v
t t
0
相关公式及意义
(1) n Ex 1v n n px lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex Ex n Ex
t
(3) n Ex t Ex n t Ex t
px x t dt
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
vt t px x t dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
延期连续生存年金
定义: 种类
延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金 养老金
常用领域
延期连续年金精算现值
险种
延期m年 终身生存年金
m
延期m年 n年定期生存年金
mn
精算现 值估计
ax a x a x:m m Ex ax m 1
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1
0 0 70 70
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例5.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
1 1 e 7 dt 0.1427269 70 70 0.1
(1 Ax： ) n
1 ax： A x： n n
（2）Var (Y ) Var ( 1 zt
)
1
2
2
Var ( zt )
Var (aT )
1
[ 2Ax:n ( Ax:n ) 2 ]
例5.4（例5.3续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
v
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支 付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (v N ) v t t p x dt
0
例5.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 的假定下，求
（1） ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过
ax
的概率。
例5.2答案
综合支付技巧
离散生存年金与连续生存年金的关系
离散生存年金的分类
初付终身生存年金
当期支付技巧
k
1 ax k E x v k p x lx k 0 k 0
70 70
30
a30 v t p30 dt e 0.05t
t 30 30
70 t dt 1.45 70
or a 30 30 A30:30 A30
0.35 0.277 1.45 0.05
第三节
离散生存年金
简介
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次 年金的保险。 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
Var ( Z ) 2A30 ( A30 ) 2 0.1427269 0.2772 0.066 1 Z Var ( Z ) 0.066 Var (Y ) Var 26.4 2 0.052
定期连续生存年金精算现值估计
综合支付技巧
aT Y a n
x
x
a30:30 at fT (t )dt a30 30 p30 or a30:30 v t t p30 dt e 0.05t
0 0 30 30
30
1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 dt 13.01 0 . 05 70 70 0
( Ax:m Ax )
( Ax:m Ax:m n )
例5.5（例5.3,5.4续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
30
a30
例5. 5答案
30
a30 a30 a30:30 14.458 13.01 1.45 or
ax:n , ax:n , ax:n
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险