课题《数学归纳法及其应用》

课题：数学归纳法及其应用举例

【教学目标】

知识与技能：

1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;

2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．

3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:

1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;

2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;

3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.

情感、态度、价值观:

1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；

2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；

3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；

4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】

归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.

【教学难点】

数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.

【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法

【教学手段】多媒体辅助课堂教学

【教学过程】

一、创设情境，启动思维

情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；

教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都

是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.

情境二：华罗庚的“摸球实验”

1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？

启发回答:

方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．

方法二：一个一个拿，拿一个看一个．

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．

2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？

情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：

11

213143123(1)n a a a a d

a a d

a a d

a a n d ==+=+=+=+-

设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.

二、师生互动，探究问题

承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法

特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？

学生回答以上问题，得出结论：

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；

2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；

3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.

在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．

4. 引导学生举例：

⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)

⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．

设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.

三 、借助史料, 引申思辨

问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），

(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．

(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？

问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n

一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．

教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！

问题3：41

n

f, 当n∈N时，)

n

=n

)

(2+

+

f是否都为质数？

(n

验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝2

41，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来, 寻求数学证明.

教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？

设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.

四、实例再现，激发兴趣

1、演示多米诺骨牌游戏视频.

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

⑴第一块要倒下;

⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;

当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.

再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．

2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.

设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是