课题《数学归纳法及其应用》
【一等奖教案】 数学归纳法及其应用举例
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3． 借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ）， (1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题 在数列{n a }中, 1a ＝1, nnn a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ． (2)（第64页练习3）首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ． 9． 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫(1) 课本第64页练习第1, 2题； 第67页习题2.1第2题．(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法：设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时,12212122222111132-=--=++++++++-k k kk ．你认为上面的证明正确吗？为什么？ 【教学设计说明】1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n ＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
毕业论文：数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．n时表示一个命题，正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立，那么当1n k时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0N（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a（我们用符号'a 表示a的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从．a b可以推出a b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ．由''素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ．设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从'a也属于M；则集合M包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起n n，…，则始元素，如果记'01，'12，'23，…，'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中，所以M N .从而必存在自然数0m M ，且01m M .因为若不然，就有（1）0M (0不大于任一自然数）； （2）若m M ，则1m M .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何aA ，都有0m a ；而且0m A .事实上，若0m A ，则有01m a ，对任意a A ，于是01m M ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n 为真；（2）假设0()()T n nn 为真，则可以推出(1)T n 也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n ，从而001m n 且0(1)T m 为真.由（2），取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和步骤。
2. 学会使用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 理解数学归纳法在数学研究中的应用和意义。
二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点：1. 数学归纳法的步骤和条件。
2. 运用数学归纳法证明数学命题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数学归纳法的定义、步骤和条件。
2. 案例分析法：分析数学归纳法的应用举例。
3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学准备：1. PPT课件：展示数学归纳法的定义、步骤、条件及应用举例。
2. 教案：详细记录教学过程和内容。
3. 练习题：供学生课后巩固练习。
【课堂导入】（在这里引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣，为学生学习新知识做好铺垫。
）【新课讲解】1. 数学归纳法的定义和步骤。
（1）定义：数学归纳法是一种证明命题的方法，它包括两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
（2）步骤：①归纳基础：证明当n取最小值时，命题成立。
②归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。
2. 数学归纳法的应用举例。
（1）举例1：证明n^2 + n + 41是一个质数。
（2）举例2：证明对于任意正整数n，都有n^3 n = n(n-1)(n+1)。
【课堂练习】（请学生上台展示PPT上的练习题，讲解解题思路，巩固所学知识。
）【课堂小结】（总结本节课的主要内容，强调数学归纳法的步骤和应用。
）【课后作业】（布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
）六、教学拓展：1. 讨论数学归纳法的一些变体，如双向数学归纳法。
2. 探究数学归纳法在解决其他数学问题中的应用，如数论、组合数学等领域。
七、课堂互动：1. 分组讨论：让学生分组探讨数学归纳法在不同数学问题中的应用。
2. 问答环节：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
八、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法、教学效果。
数学归纳法及其应用教学设计
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯.【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐. 情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a通项公式推导过程：11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。
《数学归纳法及其应用》教案邓礼咸
《数学归纳法及其应用》教案邓礼咸一、教学目标：1. 理解数学归纳法的概念和基本原理。
2. 学会使用数学归纳法证明一些常见的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，并能解决一些实际问题。
二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和注意事项。
四、教学方法：1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过具体例子引导学生理解数学归纳法的原理和应用。
3. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
五、教学准备：1. 教案、PPT、教学素材。
2. 数学归纳法的相关例题和练习题。
3. 教学场所和教学设备。
教学过程：1. 引入：通过一个简单的数学问题引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解数学归纳法的定义、原理和步骤，结合具体例子进行解释。
3. 案例分析：分析一些常见的数学命题，引导学生使用数学归纳法进行证明。
4. 练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固数学归纳法的应用。
6. 作业布置：布置一些有关数学归纳法的练习题，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生应能够理解数学归纳法的概念和基本原理，并能够运用数学归纳法证明一些常见的数学命题。
在教学过程中，要注意引导学生理解数学归纳法的证明过程和注意事项，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
结合实际问题，让学生感受数学归纳法的应用价值。
六、教学拓展：1. 引导学生思考数学归纳法在其他数学领域的应用，如计算机科学、物理学等。
2. 介绍数学归纳法在数学研究中的应用，如费马大定理的证明。
3. 探讨数学归纳法的局限性，引导学生思考如何克服这些问题。
七、课堂互动：1. 鼓励学生提问和参与讨论，解答学生关于数学归纳法的疑问。
2. 组织小组讨论，让学生共同探讨数学归纳法的应用问题。
数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用近年来，教育改革的发展越来越重视对学生学习能力和专业能力的培养。
新课标要求教师要创新自己的教学模式，从学生的角度进行教学，真正地提高学生的逻辑能力。
数学是一门重要的学科，需要学生有足够的分析能力和总结问题的能力，让他们可以全面掌握复杂的数学知识点。
数学归纳法是解决数学问题十分关键的一种方法，对于数学学习有着重要的意义。
本文分析了数学归纳法的概念，并总结了归纳法在数学学习中的应用。
标签：数学归纳法;应用数学归纳法;应用数学归纳法是应用十分广泛的一种数学学习方法，在不等式证明、数列通项以及其他证明题目中都有涉及。
数学归纳法是一种逻辑推理的方法，可以将归纳原理和学生的逻辑思维能力结合，不仅在证明题目中有涉及，在其他的数学领域内应用也十分广泛[1]。
在解题过程中运用数学归纳法，不仅可以降低题目的难度，简化计算的过程，还可以让学生深入理解数学的本质问题，提高学生解决数学问题的能力。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是数学证明方法的一种，可以证明许多既定命题在自然数的范围内是否成立，且在数学的各个知识领域中都有涉及。
除自然数外，数学归纳法也可以证明一般良基结构[3]。
数学归纳法在应用中十分灵活，有利于学生数学学习。
最常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明当n=1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
这种方式的原理是首先要证明在某個起点数值时命题成立，然后证明数值的过程。
当这两点都得到证明以后，那么任意的数值都可以通过数学归纳法得出结论。
二、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在数列中的应用数学归纳法在证明题目中运用十分广泛，在解决题目时要主动利用数学归纳法进行思考。
用数学归纳法证明：（3n+1）×7n -1（n∈N*）可以被9整除。
我们可以用两种方法进行证明。
第一种方法，令f（1）=（3n+1）×7n-1（n∈N*），（1）f（1）=（3×1+1）×7l-1=27 能被9整除。
《数学归纳法及其应用举例》教案说明
《数学归纳法及其应用举例》教案说明第一篇：《数学归纳法及其应用举例》教案说明《数学归纳法及其应用举例》教案说明云南省曲靖市第一中学李德安一、数学归纳法的地位与作用1．数学归纳法在教材中的地位与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。
《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。
通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。
2．数学归纳法对思维发展的地位与作用人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。
猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。
运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。
对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。
二、数学归纳法的本质与教学目标定位数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。
一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。
根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。
将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
三、学法、教法特点及预期效果1．学法指导高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二．教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
板书设计1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．。
数学归纳法教案
【课题】数学归纳法及其应用【教学目的】1.在知识上，要求学生了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2.在能力上，培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3.在情感上，激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
【教学过程】1. 复习引入：回忆之前学习的关于首项为a 1，公差为的的等差数列通项公式的推导过程;思考数列a n =（n 2 -5n+5) 2 按同样的方式去推导正确吗？2. 新课讲解：向学生介绍数学归纳法概念，结合等差数列公式的证明过程通过板书展示出来，从而向学生介绍数学归纳法的证明过程。
证明：（1）当1=n 时，左边a =，右边110a d a =⋅+=，等式是成立的。
（2）假设当k n =时等式成立，就是d k a a k)1(1-+=， 那么[]d d k a d a a k k +-+=+=+)1(11[]d k a 1)1(1-++=。
这就是说，当1+=k n 时，等式也成立这种证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法证题的步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
3.巩固：例：用数学归纳法证明1+3+5+···+（2n-1)= n 2证明 :当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.假设当n=k 时等式成立，即1+3+5+···+（2k-1)=k 2 ,那么1+3+5+···+（2k-1)+[2(k+1)-1]= k 2 + [2(k+1)-1] = k 2 +2k+1=(k+1) 2即n=k+1时等式也成立得证 课堂练习：用数学归纳法证明：1．()121321+=++++n n n 。
2．12222112-=++++-n n 。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。
2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。
二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。
2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。
三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。
数学归纳法及其应用教案
数学归纳法及其应用（一）知识归纳：数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是： ①验证n 取第一个值n 0时结论正确；②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确. 如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对0n n ≥的一切正整数都正确. 实际上，中学所学的这种数学归纳法称第一数学归纳法. （二）学习要点：1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效. 【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明] ︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k)2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立， 根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.（Ⅱ）1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C .[证明]︒1. 当1=n 时，左边====01121C 右边，等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即1321232-⋅=++++k kC C C C k k k k k ，∴当1+=k n 时，左边=)()1(2101112111k k k k k k k k C C C k kC C C +=++++++++++ +)()1()()(210121k k k k k k k k k k k k C C C C k C C k C C +++=++++++-=⋅+=⋅⋅+=++++-k k k k k k k k k kC C C 2)1(222)2(2121 右边，等式也成立；由︒︒2,1知等式对*∈N n 都成立.【评析】等式问题是比较基本的问题，1+=k n 的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题：（Ⅰ）求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除.[证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++6)1(3+++k k ，∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确. （Ⅱ）求证：)(1211122*++∈+N n n n 被133整除.[证明]︒1. 当n =1时，113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除，∴当n =1时命题正确；︒2. 假设当k n =时命题正确，即1221211+++k k 能被133整除，1+=∴k n 当时，1232122323121112)1211(111211++++++⨯-++⨯=+k k k k k k13312)1211(11)1112(12)1211(1112122212122⨯++⨯=-⨯++⨯=++++++k k k k k k能被133整除，即当1+=k n 时命题也正确； 由︒︒2,1知命题对*∈N n 都正确.[评析]在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，在1+=k n 的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分.【例3】已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点， 用数学归纳法证明：这n 个圆将平面划分成22+-n n 块区域. [证明]︒1. 当1=n 时，1个圆将平面分成2部分，而2=12－1+2， ∴当n =1时命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即满足条件的k 个圆将平面划分成22+-k k 部分，∴当1+=k n 时，平面上增加了第1+k 个圆， 它与原来的k 个圆的每一个圆都相交于两个不同 点，共k 2个交点. 而这k 2个点将第1+k 个圆分 成k 2段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两 块区域，∴区域的块数增加了k 2块， ∴1+k 个圆将平面划分成的块数为2)1()1(22)2(222++-+=++=++-k k k k k k k ，1+=∴k n 时命题也正确，根据︒︒2,1知命题对*∈N n 都正确.[评析]用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.【例4】用数学归纳法证明下述不等式； （Ⅰ）).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且[证明]︒1. 当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++=， ∴当n =2时，不等式正确；︒2. 假设当)2(≥=k k n 不等式正确，即109312111>+++++k k k ， ∴当1+=k n 时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+-+++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时不等式也正确；根据︒︒2,1知对*∈N n ，且2≥n ，不等式都正确.（Ⅱ）),(|sin ||sin |R N n n n ∈∈≤*θθθ[证明]︒1. 当1=n 时，左边|sin |θ==右边，1=∴n 时不等式正确；︒2. 假设当k n =时不等式正确，即|sin ||sin |θθk k ≤，∴当1+=k n 时，左边≤⋅+⋅=+=|sin cos cos sin ||)1sin(|θθθθθk k k|sin ||sin ||sin ||sin ||sin ||cos ||cos ||sin |θθθθθθθθ+≤+≤⋅+⋅k k k k=+=|sin |)1(θk 右边，∴当1+=k n 时不等式也正确；根据︒︒2,1知对*∈N n ，不等式都正确.（Ⅲ）)(2)1()1(32212)1(2+∈+<+++⋅+⋅<+N n n n n n n .[解析]记)1(3221+++⋅+⋅=n n a n ，︒1. 当1=n 时，2)11(22,2211221211+=<=⨯=>=⋅=a a 而，∴当1=n 时，不等式2)11(22121+<<⨯a 正确； ︒2. 假设k n =时不等式正确，即2)1(2)1(2+<<+k a k k k ，当1+=k n 时，∵,)2)(1(2)1()2)(1()2)(1(2)1(2++++<+++<++++k k k k k a k k k k k 而)1(2)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+++=+++>++++k k k k k k k k k k 2)2)(1()12)(1(++=++=k k k k ，而2)2(2442)2()1(2)1()2)(1(2)1(2222+=++=+++++<++++k k k k k k k k k ， 2)2(2)2)(1(21+<<++∴+k a k k k ，即1+=k n 时不等式正确；根据︒︒2,1知对*∈N n ，不等式正确.[评析]用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式，是数学归纳法学习重点，也是考试中的重点题型之一，在1+=k n 的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难度，不过必须注意，不是所有的与正整数n 有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.【例5】解答下述问题：（Ⅰ）若数列}{n a 的前n 项和S n 与a n 满足关系：2)(1n n a a n S +=， 求证：}{n a 为等差数列. [证明]用数学归纳法证明：︒1. 当3=n 时，)(3)(22)(331321313a a a a a a a S +=++⇒+=， 2312a a a =+⇒，即321,,a a a 成等差数列，命题正确；︒2. 假设)3(≥=k k n 时k a a a ,,21成等差数列，且公差为d ，当1+=k n 时，⎩⎨⎧+=++=++)(2))(1(21111k k k k a a k S a a k S ，①—②得=+-=-⇒+-+=+++k k k k k ka a a k a ka a k a 11111)1()1(2d k k a k d k a k a )1()1(])1([111-+-=-++-，d a d d k a kd a a k k +=+-+=+=∴+)1(111，1321,,,,,+∴k k a a a a a 成等差数列（公差为d ）， 即1+=k n 时命题成立，由︒1、︒2知}{n a 成等差数列.（Ⅱ）数列}{n a 和}{n b 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项之和分别是120和60，而第二项与第四项之和分别是90和34.集合},,,,{},,,,,{2122221 n n b b b B a a a A ==，求证：A B. [证明]设}{n a 的公比为q ，}{n b 的公差为d ，（易知)0,1≠≠d q由条件得n n n n a a q a q q a qq a 9,3,3390)1(1201)1(212141==∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=--； 而54,4934426064111+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+n b d b d b d b n ；∵A B ⇔对任意正整数n ，都存在整数m 使549+=m n，对n 用数学归纳法证明：︒1 当1=n 时，5149+⨯= ，1=∴n 时命题正确；︒2 假设当k n =时命题正确，即存在整数m 使549+=m k ，1+=∴k n 时，5)109(49)54(91++=⨯+=+m m k ， 109+m 为整数，∴当1+=k n 时命题成立， A B[评析]例5是两个与正整数n 有关的命题，也可以不用数学归纳法证明，因此考试中要迅速作出抉择是否用数学归纳法证明.①②⊂≠⊂≠ ⊂≠数学归纳法《训练题》1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设)(21312111)(*∈+++++++=N n nn n n n f ，则=-+)()1(n f n f （ ）A ．121+n B ．221+nC ．221121+++n n D ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 （ ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时 命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立5．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-”时， 由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k k C ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 二、填空题7．凸k 边形内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角为+=+)()1k f fk . 8．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分 成)(k f 个区域，则1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f . 9．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为 .10．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nn y x +能被y x +整除”，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n 时，命题亦真. 11．用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ； 12．用数学归纳法证明： （Ⅰ）2974722--n n能被264整除；（Ⅱ）121)1(-+++n n a a能被12++a a 整除（其中n ，a 为正整数）13．用数学归纳法证明： （Ⅰ）n n ≤-+++++1214131211 ； （Ⅱ）)1(11211112>>++++++n nn n n ； 14．设数列1212,2,}{--==n n n a p p a p a a 中，其中p 是不等于零的常数，求证：p 不在数列}{n a 中. 15．设数列2112183,163:}{-+==n n n x x x x ，其中*∈≥N n n ,2， 求证：对*∈N n 都有 （Ⅰ）210<<n x ； （Ⅱ）1+<n n x x ； （Ⅲ）nn x )21(21->.数学归纳法《答案与解析》一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D二、7．π， 8．1+k ， 9．当1=n 时，左边=4=右边，命题正确. 10．12+k11．当1+=k n 时，左边=)32(2)2)(1()32)(12()1()12(2)1(2+++=++++++k k k k k k k k k . 12．（Ⅰ）当1+=k n 时，29748433)29747(4929747222)1(2)1(2⨯+⨯+--⨯=--++k k k k k)29747(49)9482(833)29747(49223422--⨯=⨯+⨯⨯+--⨯=-k k k k k )9482(26434⨯+⨯+-k 能被264整除，命题正确.（Ⅱ）1+=k n 时，2121212122)1(])1([)1()1(+-++++=++++-+++a a a a a a a a k k k k k k)1(])1([)1(211212++-+++=+-+a a a a a a k k k 能被12++a a 整除.13．（Ⅰ）当1+=k n 时，左边+≤-+++-+++=+k k k k )12121()121211(1 （k k k 212121+++ ）1212+=⋅+=k k kk=右边，命题正确（Ⅱ）1+=k n 时，左边>++++++++=))1(111(111222k k k k .)1)1(11111)12(1222>+--+=-+⋅++k k k k k k k 14．先用数学归纳法证明p n n a n 1+=；假设001=⇒=⇒=p p n p a n 与条件矛盾. 15．三小题都用数学归纳法证明： （Ⅰ）︒1. 当1=n 时，210,16311<<∴=x x 成立； ︒2. 假设k n =时，210<<k x 成立， 2k 项∴当1+=k n 时，21412183218321=⨯+<+=+k k x x ， 而210,08311<<∴>>++k k x x ； 由︒︒2,1知，对*∈N n 都有210<<n x . （Ⅱ）︒1. 当n =1时，1212832183x x x >>+=，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即1+<k k x x ，当1+=k n 时，2211,0k k k k x x x x >∴>>++ ，1221221832183+++=+>+=∴k k k k x x x x ，命题也正确； 由︒1，︒2知对*∈N n 都有1+<n n x x . （Ⅲ）︒1. 当n =1时，11)21(21163->=x ，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k x )21(21->∴当1+=k n 时，])21()21(41[2183])21(21[218321832221k k k k k x x +-⨯+=-⨯+>+=+ 1121)21(21)21()21(21+++->+-=k k k ，命题正确； 由︒1、︒2知对*∈N n 都有nn x )21(21->.。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用一、知识结构图：1．理解数学归纳法的意义。
2．理解不完全归纳法于数学归纳法的区别与联系。
3．掌握数学归纳法证明命题的一般步骤。
4．养成严格推理的良好习惯。
三、教学重点与难点：重点：数学归纳法证明命题的一般步骤。
难点：数学归纳法证明命题的第二个步骤。
四、教学过程：（一）、归纳法与演绎法：由一般到特殊的推理，称之演绎推理，又称演绎法；反之，由特殊到一般的推理，称之归纳推理，又称归纳法．归纳推理有两种常见的形式：完全归纳法和不完全归纳法．其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法．应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确．不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想（如哥德巴赫猜想）都来源于不完全归纳法．“归纳——猜想——证明”这是人们发现新的结论的重要途径．数学中有许多与自然数有关的命题，我们已经知道，用不完全归纳法证明是不可靠的．但如果改用完全归纳法，则又是不可能的．因为自然数有无限多个，我们不可能对所有的自然数都一一加以验证，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生．（二）、数学归纳法：皮阿諾把每一個自然數的下一個稱為這數的「後繼者」(successor)，用後繼者的說法，這組皮阿諾公設可以寫成下面的形式（括弧裡是用符號的寫法，其中n+表示自然數n的後繼者）:（1）1 是自然數()（2）每一個自然數有一個自然數作他的後繼者( )（3）1不是一個後繼者( )（4）不同數不可能有相同的後繼者( )（5）設S是N的子集，若 1 是S的元素，且S中的每一個元素的後繼者也是S的元素，則S就是N (, 且，則S=N)上面的第五個公設，也就是「數學歸納法原理」，為了加強對這原理的認識，我們將此一原理重寫成為下列的形式：數學歸納法原理：設，若S有下列兩性質：（1）（2）則S=N當我們使用數學歸納法來證明一些對所有自然數都成立的敘述時，我們常用下列方式，我們用P(n)來表示這個敘述，我們證明(1)P(1) 成立(2)由P(n) 成立可以推得P(n+1) 成立。
数学归纳法及其应用教学设计
数学归纳法及其应用教学设计教学设计：数学归纳法及其应用一、教学目标：1.了解数学归纳法的基本概念和应用；2.掌握数学归纳法的基本步骤和使用技巧；3.能够运用数学归纳法解决简单的数学问题；4.培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
二、教学内容：1.数学归纳法的基本概念和步骤；2.数学归纳法的证明方法；3.数学归纳法在数列、等差数列和等比数列等问题的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）引入数学归纳法的概念和应用，举例说明数学归纳法在解决问题中的重要性和实用性。
2.学习数学归纳法（30分钟）a.解释数学归纳法的基本概念和步骤，包括三个步骤：基本步骤、归纳假设和归纳步骤；b.示范一个数学归纳法的证明过程，通过一个简单的例子，让学生理解归纳法的思想和运用方法；c.练习数学归纳法的基本步骤和使用技巧，让学生熟悉归纳法的运用过程。
3.实例分析与练习（40分钟）a.通过实例分析，介绍数学归纳法在数列、等差数列和等比数列等问题的应用；b.给学生布置一些练习题，要求他们用数学归纳法解决问题，并在黑板上展示解题过程；c.分析学生的解题思路和方法，纠正他们的错误，并给予适当的指导和帮助。
4.板书总结（10分钟）根据学生的展示和讨论，总结数学归纳法的基本步骤和应用技巧，并将重点内容进行板书总结。
五、课堂反思：本课通过引入数学归纳法的概念和应用，让学生了解数学归纳法的基本概念和使用方法，并通过实例分析和练习，帮助学生掌握数学归纳法的具体应用。
通过课堂的交互式教学，学生们的主动学习能力得到了充分的发挥，并能够熟练应用数学归纳法解决数学问题。
同时，教师要在整个教学过程中密切关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助，培养学生的逻辑思维能力和证明能力，提高他们解决问题的能力。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和原理。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生逻辑思维和创新思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质和定理。
3. 数学归纳法在解决数学问题中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解数学归纳法的概念、原理和应用。
2. 通过例题演示数学归纳法的解题过程，引导学生参与讨论和思考。
3. 利用练习题和实践环节，巩固学生对数学归纳法的理解和应用。
五、教学过程1. 引入：通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何证明一个关于自然数的命题。
2. 讲解数学归纳法的定义和步骤，让学生理解并掌握其基本原理。
3. 讲解数学归纳法的基本性质和定理，加深学生对数学归纳法的认识。
4. 通过具体例题，展示数学归纳法的应用过程，让学生学会如何运用数学归纳法解决问题。
5. 布置练习题，让学生巩固所学内容，并培养实际解题能力。
7. 课后作业：让学生完成练习题，进一步巩固数学归纳法的理解和应用。
六、教学评估1. 课堂讲解：通过观察学生在课堂上的参与程度和提问回答情况，评估学生对数学归纳法的理解和掌握程度。
2. 练习题完成情况：通过收集和批改学生的练习题，评估学生对数学归纳法的应用能力。
3. 课后作业：通过审阅学生的课后作业，了解学生对课堂内容的巩固程度和实际解题能力。
七、教学反思在课后，对本次课程的教学效果进行反思，分析学生的反馈和作业情况，找出教学中的不足之处，为下一次教学提供改进的方向。
八、教学拓展1. 引导学生进一步学习数学归纳法的相关文献和研究成果，提高学生的学术素养。
2. 组织学生参加数学竞赛或研究项目，让学生在实际问题中运用数学归纳法，提升解决问题的能力。
九、教学资源1. 教材：选用适合学生水平的数学归纳法教材，为学生提供系统的学习资料。
数学归纳法及其应用说课稿
数学归纳法及其应用（第一课时）说课稿邵武四中刘会彪一、教材分析1、本节教材的地位和作用：数学归纳法及其应用是高中数学第三册（选修Ⅱ）第二章第一节，它是高中数学一个重要方法，又是高考测试重要内容、。
⑴它是掌握数列和二项式定理基础后，进一步对由归纳、猜想得出一些与正整数有关命题加以证明，可以使学生对有关知识掌握深化一步；⑵既可以开阔学生视.野，又可以使他们受到“观察、猜想、归纳、证明”的推理训练，提高他们逻辑思维能力，培养科学创新精神；⑶掌握这种方法为今后进一步数学学习打下基础。
2、教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。
⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。
3、重、难点的确定重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。
）难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。
二、教法分析：根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、计算机辅助教学、进行教学。
“问题是数学的心脏”创设具有启发的问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从具体到抽象、从特殊到一般，经历观察、`实验、猜测、推理、交流、反思等过程，使学生带着问题去主动探究、动手操作、交流合作，进而对知识内化、接受，完成整个知识的建构。
三、学法分析：“数学是思维的体操”，学生在学习过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构思维的过程，初步掌握归纳与推理的能力、，培养学生大胆猜想、小心求证的思维品质，进一步掌握动手实践、自主学习、主动探索、合作交流的学习方式。
30教案：《数学归纳法及其应用举例》
课题：数学归纳法人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学； 【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维 情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+归纳猜想：任何形如122+n（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
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课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3：41nf, 当n∈N时，)n=n)(2++f是否都为质数？(n验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来, 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴第一块要倒下;⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。
事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。
概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程．五、类比联想，形成概念1、 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=(师生共同完成,教师强调步骤及注意点)(1) 当n ＝1时等式成立；(2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=,则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立．于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．2．数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：（1）（递推奠基）：n 取第一个值0n (例如 01n =)时命题成立；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）利用它证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确，这种证明方法叫做数学归纳法．3、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点. 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.六、讨论交流，深化认识例1、 数列{}n a 中, 1a ＝1, nn n a a a +=+11(n ∈*N ), {}n a 通项公式是什么？你是怎么得到的？ 探讨一：观察数列{}n a 特点，变形解出.探讨二：先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后用数学归纳法证明结论．设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．不同的方法也体现解决问题的灵活性.七、反馈练习, 巩固提高（请两位同学板演以下两题，教师指正）1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．2、首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ．3、用数学归纳法证明： 126422++=++++n n n 时，下列推证是否正确，说出理由？证明：假设k n =时，等式成立就是 126422++=++++k k k 成立那么()122642++++++k k()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立，所以*N n ∈时等式成立.4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正. 求证：23111111()22222n n =-＋＋＋＋证明：①当n =1时，左边＝21 右边＝212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，等式成立. ②设n =k 时，有k k )21(12121212132-=＋＋＋＋ 那么，当n=k +1时，有11132211211211212121212121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+k k k k ＋＋＋＋ ，即n=k+1时，命题成立根据①②可知，对n ∈N ＊，等式成立.设计意图：练习题1，2的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充．通过3，4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.八、总结归纳，加深理解1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想．九、布置作业, 课外延伸十、书面作业：见教材P 56课后思考题：1. 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：=+++⨯+⨯+⨯)2(......534231n n )(612c bn an n ++ 对一切自然数n 都成立并证明你的结论.2.是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1)(12)1()1(.....3222222c bn an n n n n +++=+++⨯+⨯ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10） 设计意图: 思考题则起着承上启下的作用, 它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔．。