辅助圆问题

辅助圆问题

★1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．

问题探究

(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；

(2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sin A；

问题解决

(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出P A的长度；若不是，请说明理由．

第1题图

(1)解：∵点A、B、C均在⊙O上，

∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，

又∵OB＝OC＝1，

∴BC＝ 2 ；

(2)证明：如解图①，作直径CE，连接EB，

则∠E＝∠A，CE＝2R，

∴∠EBC ＝90°，

∴sin A ＝sin E ＝BC EC ＝BC 2R ，

∴BC ＝2R ·sin A;

第1题解图① 第1题解图②

(3)解：如解图②，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，

在Rt △APC 中，CK ＝12AP ＝AK ＝PK ，

同理可得：BK ＝AK ＝PK ，

∴CK ＝BK ＝AK ＝PK ，

∴点A 、B 、P 、C 都在以K 为圆心，以AK 长为半径的⊙K 上，

由(2)可知sin 60°＝BC AP ，

∴AP ＝2sin60°＝433为定值，

故线段BC 在整个滑动过程中，P 、A 两点之间的距离是定值，P A 的长度为433.

★2.问题探究

(1)如图①，已知四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，∠B ＝∠D ＝90°，求：

①对角线BD 长度的最大值；

②四边形ABCD 的最大面积；

(用含有a ，b 的代数式表示)

问题解决

(2)如图②，四边形ABCD 是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB ＝20 cm ，BC ＝30 cm ，∠B ＝120°，∠A ＋∠C ＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)

第2题图

解：(1)①∵∠B ＝∠D ＝90°，

∴四边形ABCD 是圆内接四边形，AC 为圆的直径，

则BD 的最大值为AC ，

此时BD ＝AC ＝a 2＋b 2；

②如解图，连接AC ，

则AC 2＝AB 2＋BC 2＝a 2＋b 2＝AD 2＋CD 2，

S △ACD ＝12AD ·CD ≤14(AD 2＋CD 2)＝14(a 2＋b 2)．

又∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12ab ，

∴四边形ABCD 的最大面积为14(a 2＋b 2)＋12ab ＝14(a ＋b )2；

(2)如解图，连接AC ，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于

点E，

第2题解图

∵AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，

∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin 60°＝103，EB＝AB·cos 60°＝10，S△ABC

＝1

2AE·BC＝150 3.

∵BC＝30，

∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝AE2＋EC2＝1019，

∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，

∴∠D＝45°，

则△ACD中，D为定角，对边AC为定边，

∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O 于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值，

连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，

∴△AOF为等腰直角三角形，

AO＝OD′＝2·(AC

2)＝538，OF＝AF＝

AC

2

＝519，

D′F＝OD′＋OF＝538＋519，

S△ACD′＝1

2AC·D′F

＝1

2×1019×(538＋519)

＝475＋4752，

∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝1503＋475＋475 2.

★3.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC 的面积为________；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；

问题解决

(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)12；

【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝1

2BC＝3，

∴AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4，

∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×4＝12.

第3题解图① 第3题解图②

(2)如解图②，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，则PE ∥AB ， ∴△CPE ∽△CAB ，

∴CP CA ＝PE AB ，

在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，

∴AC ＝AB 2＋BC 2＝

32＋42＝5，

∴45＝PE 3，∴PE ＝125，

∴S △PBC ＝12BC ·PE ＝12×4×125＝245；

(3)存在．

如解图③，作△ABC 的外接圆⊙O ，

∵∠ABC ＝90°，

∴AC 为⊙O 的直径，

又∵∠ADC ＝90°，

∴点D 在⊙O 上， 第3题解图③

在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝30，BC ＝40，