第一章 线性规划模型

则上式可以等价于下面两个不等式
(1.6)
7 x1 + 6 x 2 + 8 x 3 5x + 9x2 + 4x3 ≥ y, 1 ≥y 4 3
故可得如下线性规划模型:
(1.7)
max S = y s .t . 7 x1 + 6 x 2 + 8 x3 − 4 y ≥ 0 5 x1 + 9 x 2 + 4 x3 − 3 y ≥ 0
b = (b1 ,b2 ,⋯bm ) 为常数向量， A = (aij )m×n 为系数矩阵。
T
1.2 线性规划模型的标准形
min z = c T X s .t . AX = b X ≥0
对于例 1 可取：
(1.4)
4 ⎞ ⎛ 3 ⎛ 300 ⎞ ⎟ ， b = ⎜ c T = (80,90 ) ， A = ⎜ ⎜ 0.35 0.25 ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎟。 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
min s. t.
其中 x = [ x1
| x1 | + | x 2 | + ⋯ + | x n |
Ax ≤ b
(1.9)
⋯ x n ]T ， A 和 b 为相应维数的矩阵和向量。
要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的 xi ，存在 ui , vi > 0 满足
x i = u i − v i ， | x i |= u i + v i
i = 1,2⋯ , m
(1.2)
xj ≥ 0
矩阵形式
j = 1,2 ⋯ , n
max(min ) z = c T X s .t . AX ≤ (≥ , = )b X ≥0
T T
(1.3)
其 中 X = (x1 , x 2 ,⋯ x n ) 为 决 策 向 量 ， c = (c1 , c 2 ,⋯ c n ) 为 目 标 函 数 的 系 数 向 量 ，
⎧a1 x1 + a 2 x 2 ≤ b 。 ⎩a1 x1 + a 2 x 2 ≥ −b
若决策变量没有非负限制，称为自由变量。例如 x1 ∈ (− ∞ ,+∞ ) 为自由变量，则可引入
y1 ≥ 0 , y 2 ≥ 0 ，令 x1 = y1 − y 2 代入模型即可。
二、 线性规划的求解方法
2.1 线性规划解的概念 定义 1.1 满足约束条件的解 x = ( x1 , x 2 ,⋯ , x n ) ，称为线性规划问题的可行解， 而使目标函
max z = 80 x1 + 90 x 2 s .t . 3 x1 + 4 x 2 ≤ 300
0.35 x1 + 0.25 x 2 ≤ 21
(1.1)
x1 , x 2 ≥ 0
1
1.1 线性规划模型的一般形式
max(min ) z = ∑ ci xi
i =1 n
n
s .t .
∑a
j =1
ij
x j ≤ (≥ , =)bi
即 S = min ⎨
⎧ 7 x1 + 6 x 2 + 8 x3 5 x1 + 9 x 2 + 4 x3 ⎫ , ⎬ 4 3 ⎩ ⎭
这个目标函数不是线性函数，但 7 x + 6 x 2 + 8 x 3 5 x1 + 9 x 2 + 4 x3 ⎫ y = min ⎨ 1 , ⎬ 4 3 ⎩ ⎭
4
在以前讨论线性规划问题时， 假定 aij , bi , c j 都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预 测值。如市场条件一变， c j 值就会变化； aij 往往是因工艺条件的改变而改变； bi 是根据资 源投入后的经济效果决定的一种决策选择。 因此提出这样两个问题： 当这些参数有一个或几 个发生变化时， 已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化； 或者这些参数在什么范围内 变化时，线性规划问题的最优解不变。 2.5 可以转化为线性规划的问题 很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划问题来解决。如： 例3 问题为
产品 资源 工日 小麦 盈利
甲
乙
总和
3 0.35 80
4 0.25 90
300 21
问题一的数学模型: 设 x1 , x 2 分别表示一月中生产甲，乙二种产品的数量，称之为决策变量。所得利润为 z，问 题一的目标是使得总利润函数 z = 80 x1 + 90 x 2 有最大值。 工日的约束为： 3 x1 + 4 x 2 ≤ 300 原料小麦的约束为： 0.35 x1 + 0.25 x 2 ≤ 21 于是问题一可归结为求目标函数在约束条件下的最大值问题， 显然目标函数和约束条件都是 决策变量的线性函数，即可建立以下线性规划模型
8 x1 + 5 x 2 + 3 x3 ≤ 300 5 x1 + 9 x 2 + 8 x3 ≤ 500
(1.8)
x1 , x 2 , x 3 , y ≥ 0
目标函数为求最大值，令 S = − y 即可将原问题转化为在相同约束条件下求最小值。
3
1.3.2 约束条件的转化 若约束条件中有 ≥ 和 ≤ 号，则可在 ≤ （ ≥ ）号的左端加上（或减去）一个非负变量（称 为松弛变量）使其变成=号约束。如 4 x1 + 5 x 2 ≥ 6 变为 4 x1 + 5 x 2 − x3 = 6 。 若约束条件带有绝对值号，如 a1 x1 + a 2 x 2 ≤ b ，则可等价转化为： ⎨
(1.5)
甲， 乙， 丙生产 A 零件总数是: 7 x1 + 6 x 2 + 8 x 3 ,生产 B 零件总数是: 5 x1 + 9 x 2 + 4 x 3 。 因为目标函数是要使产品的配套数最大，而每个零件要 4 个 A 零件，3 个 B 零件，所以产品 的最大量不超过
7 x1 + 6 x 2 + 8 x3 5 x1 + 9 x 2 + 4 x3 和 中较小的一个。设 S 是产品的配套数， 4 3
第一章 线性规划模型
一、 线性规划模型的建立
例 1 某工厂 A 有生产甲，乙二种产品的能力，且生产一吨甲产品需要 3 个工日和 0.35 吨小 麦。生产一吨乙产品需要 4 个工日和 0.25 吨小麦。该厂仅有工人 12 人，一个月只能出 300 个工日，小麦一个月只能进 21 吨，并且还知生产一吨甲产品可盈利 80（百元） ，生产一吨 乙产品可盈利 90（百元） 。那么，工厂 A 在一月中应如何安排这两种产品的生产，使之获得 最大的利润？ 由以上条件可列表如下：
事实上，我们只要取 ui = 这样，记 u = [u1
(1.10)
xi + | xi | | x | − xi ， vi = i 就可以满足上面的条件。 2 2
⋯ u n ]T ， v = [v1 ⋯ v n ]T ，从而我们可以把上面的问题变成
n
min
(ui + vi ) ∑ i
=1
⎧ A( u − v ) ≤ b s. t. ⎨ ⎩u , v ≥ 0
(1.11)
三、 利用 MATLAB 求解线性规划问题
假设线性规划问题的数学模型为：
5
min z = c T X A∗ X ≤ b s .t . Aeq ∗ X = beq lb ≤ X ≤ ub
其中 Aeq 表示等号约束，beq 表示相应的常数项。 lb ,ub 分别表示决策变量 X 的上，下 限 MATLAB 中求解上述模型的命令如下： X=linprog（C，A，Aeq，beq，lb，ub） 注意，如果没有等式约束，可用[]代替 Aeq 和 beq；如果某个 xi 下无界或上无界，可设定 lb(i)= –inf 或 ub(i)=inf；用[x，Fval]代替上述各命令行着左边的 x 则可同时得到最优 值。当求解时有指定迭代初值 x0 时，求解命令如下： X=linprog（C，A，Aeq，beq，lb，ub，x0） 用[x，Fval]代替上述各命令行左边的 X 则可同时得到最优值。 例 4 某部门在今后 5 年内考虑给下列项目投资： 项目 1,从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年末收回本利 115%； 项目 2,第三年初需要投资,到第五年末收回本利 125%,但规定最大的投资额不超过 4 万元； 项目 3,第二年初需要投资,到第五年末收回本利 140%,但规定最大的投资额不超过 2 万元； 项目 4,五年内每年初可购买国债,于当年末还,并加利息 6%。 设该部门现有资金 10 万元,问应如何确定这些项目的投资额,使第五年末拥有的资金本利总 额最大? 解 设 xij (i = 1,2 ,3,4 ,5; j = 1,2,3,4 ) 表示第 i 年年初投资于项目 j 的金额。根据题意可得： 第一年： x11 + x14 = 10 第二年： x 21 + x 23 + x 24 = (1 + 6% )x14 第三年： x31 + x 32 + x 34 = 1.15x11 + 1.06 x 24 第四年： x 41 + x 44 = 1.15 x 21 + 1.06 x 34 第五年： x54 = 1.15 x 31 + 1.06 x 44 对项目 2，3 的投资有限额的规定，有 x32 ≤ 4 ， x 23 ≤ 3
6
第五年末该部门拥有的资金本利总额为： S = 1.40 x 23 + 1.25 x 32 + 1.15 x 41 + 1.06 x54 建立线性规划模型：
max S = 1.40 x 23 + 1.25 x32 + 1.15 x 41 + 1.06 x 54 s .t . x11 + x14 = 10 x 21 + x 23 + x 24 − 1.06 x14 = 0 x31 + x 32 + x34 − 1.15 x11 − 1.06 x 24 = 0 x 41 + x 44 − 1.15 x 21 − 1.06 x34 = 0 x54 − 1.15 x 31 − 1.06 x 44 = 0 x32 ≤ 4 x 23 ≤ 3 xij ≥ 0 ,i = 1,2 ⋯5; j = 1,2 ⋯ ,4