第十三章应力状态分析
第十三章 工程力学之交变应力
这些方法的共同特点是使构件表层产生残余应力，减少 表面出现细微裂纹的机会，从而达到提高持久极限的目 的。 但在采用这些方法时，一定要严格控制工艺过程，否则 会适得其反。
第十三章
工程力学之交变应力
§13–1交变应力与疲劳破坏
§13–2交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 §13–3对称循环下构件的持久极限 §13–4影响构件持久极限的主要因素 §13–5提高构件抗疲劳能力的措施
§13-1 一、交变应力
交变应力与疲劳破坏
交变应力：随时间作周期性变化的应力 对于矿山、冶金、动力运输、机械及航空航天飞行器等，它们 的很多零部件及构件都承受着随时间作周期性变化的应力，即 交变应力。
b 400MPa
0.95 0.90
b 800MPa
由线性插入法可得
b 560MPa
0.90
800 560 (0.95 0.9) 0.93 800 400
（4）轮轴的实际持久极限
轮轴的实际持久极限为
0 1
k
1
0.7 0.93 250 82.61MPa 1.97
§13-5
提高构件抗疲劳能力的措施
一、采用合理的结构形式，减缓应力集中 合理的结构形式，包括尽量避免出现 方形或带有尖角的孔和槽； 在横截面 尺寸突然改变的地方，如轴肩，采用 如图13-11所示的圆弧作过渡，而且过 渡圆角越大越好。 二、提高构件表面质量，以提高构件的持久极限 为了提高构件的表面质量，一是可以通过提高加工精度，使 用中尽量避免构件表面的机械损伤； 二是在最大应力所在表 面采用某些工艺措施。如表面热处理和化学处理，包括高频 淬火、氮化、渗碳和氰化，强化构件表面； 或对表面层用滚 压、喷丸等冷加工方法。
应力状态分析
x y tan 2 2 xy
0
max, min
x y 2 xy 2 max min 2
2
38
2013-7-24
结论：(1)当倾角α转到 对应有 max 二者大小相等，均为
0
和 90 面时
0
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
2
在二向应力状态下，三个主应力中有一个 为零，将这三个主应力按如下顺序排序：
σ1σ2 σ3
2013-7-24 36
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
1
Mz Wz
3
x
z
2 3
T
Mx 4 Wp
Mz x4 Wz
2
Mx 3 Wp
17
由 Fsy 产生的切 应力忽略。
2013-7-24
在单元体内的各个面上，切应力为零的平 面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 一般来说，通过受力构件的任意点皆可以找 到三个互相垂直的主平面，因此每个点都有三个 主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并按其代数值 排序。
0 .6
3
60MPa
01 15.5
02 15.5 90 105.5
（3）主应力单元体：
01
1
2013-7-24
44
三、平面应力状态分析——图解法
图解法即用一个平面图形——应力圆将一点 的应力状态完整的图示。应力圆又称莫尔圆 （Mohr.O，1835-1918，德国）。 方法是将α 作为参数，建立σα与τα的函数关系。
第十三章 宏观内应力的测定
根据布拉格方程，引入面间距相对 变化表征的应变εψ：
(d / d ) cot 0( 0)
θ0为无应力状态下的布拉格角， θψ为各ψ角下的布拉格角。
d
代入上式，可得：
(2 ) sin 2
直线的斜率
E cot 0 (2 ) KM 2 2(1 ) sin
由于X射线对试样的穿透能力有限，只能 测量试样的表层应力。可面应力状态下， σφ和εψ之间满足如下关系：
1 sin 2 ( 1 2) E E
1 E sin 2
1
2 2 1 1 22 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3
其中，α1、α2、α3为σψ在主应力（或主应变）空间的方向余弦。
由右图可知，σφ即为σψ在XY平面的投影
cos 2 1 sin 2 2
3）表层应力状态的影响
沿表层的应力分布是人们感兴趣的问题，一般采用逐步剥层测定 的方法，但应考虑应力释放带来的误差。
小
结
利用X射线测定构件的表面残余应力，主要是通过 测量构件表面的残余应变，联立布拉格定律及广 义虎克定律，通过计算求得。
在数个晶粒范围内存在并平衡的 内应力。其衍射效应使衍射线形 变化
第3类内应力 (III)
在若干原子范围内存在并平衡的 内应力。如空位、间隙原子、位 错等。此类应力的存在使衍射强 度降低
1） 单轴应力状态
假如，右图试样截面积为A，在轴向施加 拉力F，其长度将由受力前的L0变为Lf,所 产生的应变εZ为：
Z (L f L0 ) / L0
根据虎克定律，其弹性应力σz为：
Z E Z
拉伸过程中，试样直径由拉伸前的D0变为拉伸后 的Df, 径向应变εX和εY为：
第十三章+应力状态分析(上下)
Purpose 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
Three-Dimensional State of Stresses 三向（空间）应力状态:微体各侧面均作用有应力
max min 1 3 , 2 0
主平面微体－相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 主应力符号与规定－ 1 2 3 （按代数值排列）
不论一点处的应力状态如何复杂，都存在一个主平面微体， 即任何一点都有三个主平面和主应力
应力状态分类 One Dimensional State of Stresses 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 Two Dimensional State of Stresses 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 Three Dimensional State of Stresses 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
x' y'x'
x'y y'
'
cos sin
sin cos
x yx
xy y
cos sin
sin cos
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
a
x
2
y
x
y 2
cos2a
xsin2a
a
x
2
y
sin2a
xcos2a
解： x 100 MPa x 60 MPa y 50 MPa a 30
m
(-100
3-1-1 应力状态分析
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，ห้องสมุดไป่ตู้方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
应力状态分析
物体在受力时，其边界上的应力受到外部约 束条件的影响。通过边界条件可以确定物体 边界上的应力分布。
02
CATALOGUE
应力状态分析方法
解析法
解析法是一种基于数学解析的应力状 态分析方法，通过建立物体的平衡方 程和边界条件，求解出物体内部的应 力分布。
解析法适用于简单形状和规则边界条 件的物体，计算精度高，但适用范围 有限。
复合材料性能评估
复合材料在航空航天工程中广泛应用，其性能与应力状态 密切相关。通过应力状态分析，可以评估复合材料的性能 特点，为材料选择和设计提供依据。
土木工程
桥梁和建筑物的承载能力评估
在土木工程中，桥梁和建筑物需要承受各种载荷，包括静载和动载。通过应力状态分析， 可以评估其承载能力，确保结构安全。
人工智能在应力状态分析中的应用
人工智能算法
利用人工智能算法，如深度学习、神 经网络等，对大量数据进行训练和学 习，自动识别和预测应力状态。
数据驱动模型
基于数据驱动模型，通过采集实验数 据和模拟数据，建立应力状态分析的 预测模型，提高分析精度和效率。
多物理场耦合的应力状态分析
多物理场耦合
考虑多种物理场之间的相互作用，如流场、温度场、电磁场等，建立多物理场 耦合的应力状态分析模型。
应力状态分析
contents
目录
• 应力状态分析概述 • 应力状态分析方法 • 材料应力状态分析 • 结构应力状态分析 • 应力状态分析的工程应用 • 应力状态分析的未来发展
01
CATALOGUE
应力状态分析概述
定义与概念
定义
应力状态分析是指对物体在复杂受力 情况下各点的应力大小、方向及主应 力的确定。
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
应力状态分析实验报告
一、实验目的1. 了解并掌握应力状态的基本概念。
2. 学习如何通过实验方法测定应力状态。
3. 掌握应力状态分析的基本原理和方法。
4. 培养实验操作技能和数据分析能力。
二、实验原理应力状态是指物体内部在受力作用下，各个点上的应力分布情况。
应力状态分析是研究物体内部应力分布规律的重要方法。
本实验主要研究平面应力状态和空间应力状态。
三、实验设备1. 载荷试验机2. 应变片3. 数据采集系统4. 比较材料5. 标准试验件四、实验步骤1. 实验准备（1）将试验件放置在试验机上，确保试验机水平。
（2）将应变片粘贴在试验件表面，确保应变片粘贴牢固。
（3）连接数据采集系统，检查系统是否正常工作。
2. 加载过程（1）按照实验要求对试验件进行加载。
（2）在加载过程中，实时采集应变数据。
（3）记录加载过程中的应力、应变数据。
3. 数据处理（1）将采集到的应变数据输入计算机，进行数据处理。
（2）根据应力-应变关系，计算应力状态。
（3）分析应力状态的变化规律。
4. 结果分析（1）根据实验数据，绘制应力-应变曲线。
（2）分析应力状态的变化规律，得出结论。
五、实验结果与分析1. 平面应力状态（1）在平面应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。
（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。
（3）结果表明，随着加载力的增大，正应力和剪应力逐渐增大。
2. 空间应力状态（1）在空间应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。
（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。
（3）结果表明，在空间应力状态下，应力状态的变化规律与平面应力状态相似。
六、实验结论1. 本实验成功地测定了应力状态，并分析了应力状态的变化规律。
2. 通过实验，掌握了应力状态分析的基本原理和方法。
3. 本实验为后续的应力分析、结构设计等提供了实验依据。
七、实验注意事项1. 实验过程中，确保试验机水平，避免试验误差。
2. 在粘贴应变片时，注意粘贴牢固，避免脱落。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
工程弹塑性力学第13章
不符合材料的实际情况
e l1 l0 l2 l1
l0
l1
ln
l0
dl l
ln ln l0
ln
ln1
l n1 i 1
li
ln1
i0 li
(13.9)
适用于大变形
(13.10)
13.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。
ln ln
ln(1 ln
l0 ) ln(1 e ) e
e2
e3
e4
l0
l0
234
(13.11)
e
1.6 1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
小变形与大变 形界限的由来
13.3 应变的表示法
B
Ce
D
13.2 应力应变简化模型
例2：应力路径：01.5ss 0 –1.2ss 0
解： s D 0.5s s :
s E 1.2s s : sF 0:
eD
eC
0.5s s
E
49es ;
eE
eD
0.7s s
E'
21e s
eF
eE
1.2s s
E
19.8e s
应变路径：
s
1.5ss
B
ss A
13.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(1)、体积变化
体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)
em
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
应力状态与应变状态分析
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更 准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发 生的应变，只有一个方向 的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能 会发生塑性变形，影响其机械性 能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内 部应力的影响，高应力状态可能 降低材料的断裂韧性，导致材料 更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与 应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在 材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆 性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变， 但当外力去除后，材料能够完全恢复 其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之 间呈线性关系，即应力与应变成正比。 这种行为通常发生在材料承受的应力 低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。
应力与应力状态分析
应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。
更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。
由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。
几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。
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应力状态分析
14
§13-2 平面应力状态分析
1. 求斜截面上的应力
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Fn 0
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )sin ( ydAsin )cos 0
第十三章 应力状态分析
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2
第 13 章 应力状态分析
§13-1 概 述 §13-2 平面应力状态分析 §13-3 平面应力状态下的胡克定律 §13-4 三向应力状态
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3
§13-1 概 述
1. 应力状态的概念
应力状态 ： 过一点所有各方向截面上的应力全部情况称
的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。
1 2 3
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分类
(a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。
(b) 平面（二向）应力状态 有两个主应力不为零。
(c) 空间（三向）应力状态 三个主应力均不为零。
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6. 平面（二向）应力状态分析
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21
tan(20
)
(
x
x
y
)
/
2
20
arctan
x
2 x
y
1
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
2
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
3 0
平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于 零的应力状态。
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22
t
an(20
)
(
x
x
y
)/
2
20
arctan
FN / A F / A F F
p F / A F cos / A 0 cos
0 cos2 , 0(sin 2 ) / 2 00 时,
max 0 450 时,
max 0 / 2
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6
类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个 截面上的应力也随着截面的方位而改变。
低碳钢轴向拉伸时，沿45º斜截面（最大切应力 面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。
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9
低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。
铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。
铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉 伸引起的断裂。
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10
作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的 构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可 根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩） 时材料的许用应力加以比较来建立强度条件。
各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小 时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力 无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应 力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状 态的叠加。
对单向应力状态： E，泊松比 ， G
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39
平面应力状态下的应变：
x
x
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16
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
x2
(10 1) (10 2) (10 3)
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17
2. 作应力圆
应力圆方程：(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
应力圆如右图。
(5) 常见的平面应力状态
已知 : x , y 0, xy
代入公式求得
max
min
2
( 2)2 2
问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力
状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序
吗?
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§13-3 平面应力状态下的胡克定律
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角度的取值范围和对应关系：
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20
3. 主应力与主平面
单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平 面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值， 称为主应力。
可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个 相互垂直的主平面和三个相应的主应力。
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7
45, min 45, max
根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料 破坏的力学因素，并建立强度条件。
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8
回顾单向应力状态的情况
铸铁轴向拉伸： 沿横截面拉断破坏，断 口平齐。
铸铁轴向压缩： 沿斜截面剪断破坏。 （超过了铸铁材料的 抗剪强度）
每个面上应力均匀分布，相 互平行的一对面上应力相等， 且等于杆件相应截面上该点 的应力。
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应力符号规定： 正应力—拉为正，压为负，切应力—从坐标轴 正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正， 反之为负。 (2) 点的应力状态分类
主平面 无切应力，只有正应力的平面。
主应力 主平面上的正应力。 对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应
值为max=(1-2)/2，作用在自1作用截面逆时针旋
转45º的面上；(2) 该截面上还有正应力，其值为
(1+2)/2。
(a)
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思考题 13-3
求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意 斜截面上的应力。
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27
平面应力状态的应力圆
1 2 3
x
2 x
y
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23
思考题 13－1
如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？
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思考题13 -1参考答案：
单向应力状态 平面应力状态 单向应力状态
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25
思考题 13-2
根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单 元体，(1) 垂直于 x y平面的截面上之最大切应力其
为该点的应力状态。 应力状态分析 ：
分析一点的应力随截面方位改变而变化的规 律。 应力状态分析的目的：
为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因 素。
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4
通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着 截面的方位而改变。
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5
例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。
E
y
E
y
y
E
x
E
zxyGEx
(
x
y
)
上式即为平面应力状态下的胡克定律。
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40
平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：
x
1
E
2
(
x
y
)
y
E
1
2
(
y
x )
z 0 x G xy 注意：z = 0，但z≠0。
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41
例题 13－1 已知|a |+|b |= 40010-6 ，E=200
平面应力状态
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28
单向应力状态
平面应力状态
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29
4. 小结
(1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。
x
2
y
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(2) 切应力极值：
(
x
y )2
2
2 x
2
1
2
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点处两个不为零的主应力之方向
的情况下，才只需测定这两个主
应力方向的线应变。
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46
§13-4 三向应力状态
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力 均不为零。
1 2 3
平面应力状态（三向应力状态的特例）
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单向应力状态（三向应力状态的特例）
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
π 2
max
min
xy
2
(
x
2
y
)2
2 xy
另一主应力为零。
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