可降阶的高阶微分方程 (2)

例6.49 求解
此方程不显含 x ，
解: 令
y
p( y),
则 y d p dx
dpdy dy dx
dp dy
代入方程得 d p dy
分离变量得
两端积分得 ln p ln y lnC1 ,
即 p C1 y,
C1 y,
分离变量得
两端积分 ln y C1 x lnC2
故所求通解为 y
10
dx
(1 x2 ) d p 2x p 分离变量 dx
1 x2
积分得 ln p ln(1 x2 ) lnC1 ,
3
0
利用 y
3,
x0
得 C1 3,
于是有 y 3 3 x2
两端再积分得 1y 0x3 3x0 C2 利用 y x0 1 ,得 C2 1
因此所求特解为 y x3 3 x 1
四、恰当导数方程 若 d ( x, y, y) F ( x, y, y, y)
dx
则称 F ( x, y, y, y) 0 为 恰当导数方程
d ( x, y, y) 0 可以化为 一阶微分方程
dx
( x, y, y) C
例6.49 求解
1 解 两边乘以 y2 得
y y C1 即 (ln y)
2
例1.
解: y (
)dx 2C1
1 2
e2x sin
x 2C1
y
(1 e2x 2
sin
x
2C1 ) d x
C2
1 4
e2x
cos
x
2C1 x
C2
y
1 8
e
2
x
sin
x
C1
x
2C2
x
C3
3
41页5.质量为 m 的质点 受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 是时间 t 的函数: F = F (t) . 在 t = 0 时
19
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p( x) , 则
原方程变为
降一阶。
令 y p( y) , 则
原方程变为
降一阶。
20
作业 41页习题6—8
1.(1),(3) 2. 3.(1),(3)
作业本写上班级姓名
21
感谢下 载
ox x
13
例7. 一个离地面很高的物体,受地球引力 的作用由
静止开始落向地面,求它落到地面时 的速度和所需时间
(不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
md2 dt
y
2
k
m y2
M
y t0 l, y t0 0 设 v dy, 则
dt
M : 地球质量 m : 物体质量
注意“－”号
得 C2 2 ,
特解为 x x0 sin( 2 k t ) x0 cos k t .
周期 T 2 , 已知周期 T=2 , k 代入
k2
1
k
d2g
4m
得到 m
1
4 2
d2g
1
4
d2g
9.8
0.195 (T)
16 3.14
17
例10 . 设物体 A 从点 ( 0, 1 ) 出发,以大小为常数 v
7
6.8.3
(缺 x)型的微分方程
解法如下：令 y p( y),
则 y d p d p d y
dp
dx dy dx dy
故方程化为 d p dy
设其通解为 p ( y,C1 ),
即得
d d
y x
(
y,
C1
),
分离变量 积分
dy dx
( y,C1 )
得原方程的通解
8
来自百度文库
例4. 解初值问题 y x0 0 ,
第七节 可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
(缺 y)型的微分方程
三、
(缺 x)型的微分方程
四、 恰当导数方程
1
6.8.1 y(n) f ( x) 型的微分方程
f ( x)d x
同样 y(n2) [ [
]dx C2 ]dxC1 x C2
依次通过 n 次积分,
可得含 n 个 任意常数的通解 .
故所求通解为 y
y2 ln y
即 d (y ) dx y
lnC2
11
例6. 设函数
二阶可导,且
过曲线
上任一点 P(x, y)作该曲线的
切线 及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴围成 的三角形面积
记为 区间[ 0, x ] 上以
为曲边的曲边梯形面积
记为 且
求函数
解:
在点 P(x, y) 处 的切线倾角为 ,
解法如下：设 y p( x) , 则
原方程化为 一阶方程
设其通解为 p ( x,C1 )
则得 y ( x,C1 )
积分得原方程的通解
y ( x,C1)dxC2
6
(1 x2 ) y 2x y
例3. 求解
y x0 1 ,
y x0
3
不含 y
解: 设 y p( x) ,则
dp
代入方程得
定解条件为 y(0) 1, y(0) 1
不显含 x， 令 y p( y), 则
方程化为 y p d p p2 dy
d p dy py
解得 p C1 y, 利用定解条件得 C1 1 ,
S2 y
S1 1
P y
再解 y y, 得 y C2 e x ,
再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
积分得
y
ly
根v据2 初 始2ddk2条tMy2 件(1dd得vt 到1),
R o
yl Q v 代d入y方,程d得t
dt
kmM
2
l
kM
l
yyy2d
y
14
d t l
y d y (0 y l) 两端积分
2k M l y
由 y t0 l,得C2 0,
令
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
大小为 2v, 方向始终指向A, 试建立物体 B 的运动轨迹
应满足的微分方程及初始条件.
解: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示,则有
y
1vt x
y,
两边对 x 求导,
xy 得
y 1 vt y
y
①
s x 1 y2 dx,
t
yR
(
1l
y
l y2
(
l arccos
lR R2
y) ll arccos
R 2g
R )
l 15
例8. 设圆柱形浮筒直径 d = 0.5 米，垂直放在水中。
浮筒在水中上下振动的 周期为2秒。求浮筒的质量m 。
（水的比重=1）
解: 设浮筒平衡位置为坐标原点，x 轴铅直向下。
当xxo 浮d筒两运代令端动令入积到浮k①x2分任力12v意v4dvdF1的m,2vxx则d处xx1422时k2g2k，xd则2dd2, xvtC分2gx1dd离14,(d,2dt0x变2)vx由d量 d2kFdvxxv22x0txgd,vmxCv0m1(a(d0d不,)ddvx得kk2显t22x20xx含1,26dt,x),
于是
y2
S1 2tan
x
S2
y(t)d t
0
利用
S2 y
S1 1
P y
得 y2 x y(t )d t 1两边对 x 求导 y 0 2 y( y)2 y2y y 0 , 2( y)2 yy ( y)2 ( y)2
1
ox
x
y
y
(
y
)2
,定解条件为
y(0)
1,
y(0)
12
?
y y ( y )2 ,
随着时间的增大 ,此力 F 均匀地 减小,
直到 t = T 时 F = 0 .如果开始时 质点在原点, 且
初速度为0, 求质点的运动规律.
F t 1 F0 T
解: 据题意有
t F0(1 T )
F
F0
F
F0(1
t T
)
x 0, t0
0,
t0
F
对方程两边积分, 得
o t Tt
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
4
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
t0
0
得 C1
0,
于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
两边再积分得
x
F0 m
t2 (
2
t3 6T
)C2
再利用 x t0 0 得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x
F0
t2 (
t3
)
m 2 6T
5
6.8.2 y f ( x, y) (缺 y)型的微分方程
1
y
vA t
B( x, y) (0,1) d2 y 1 (1,0) o x x dx2 2
d x 1 y2 dx dt 1 代入 ① 式得
1 y2 0
18
y
vA t
B( x, y) (0,1)
(1,0) o x
d2 y x dx2
1 2
1 y2 0
不显含 y 的二阶微分方程
其初始条件为 y x 1 0, y x 1 1
y x0
1
解: 令 y p( y), 则 y d p 代入方程得
dy
p d p e2y 0,
dy
积分得
1 2
1p2
1 2
e
2y0
C1
由 y x0 0 , y x0 1 , 得C1 0, p e y ,
d y e y , dx
e ydy dx
积分得 e 0y x0 C2 ,
再由 y x0 0, 得C2 1 故所求特解为 e y 1 x 9
v2 C1 k2 x2 , 由 x(0) x0 , v(0) x(0) 0 ,
得 C1 k 2 x02 ∴ v2 k 2( x02 x2 ) , 即x k x02 x2
分离变量 d x k d t , 两端积分
(注意”-”)
x02 x2
arcsin
x x0
C2
k
t
,
由 x(0) x0 ,