奥数计数问题

乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×……×m n种不同的方法。

例1 上海到天津每天有2班飞机，4趟火车，6班汽车，从天津到北京有2班汽车。假期小茗有一次长途旅游，他从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法?

例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这3个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？

【巩固】 在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃饭的有餐勺、餐叉和餐筷。如果一种装饭菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复的餐具多少套?

例3 小红、小明准备在5×5的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共有多少种方法？

【巩固】右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？

例4 用数字0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？

①各个位上的数字允许重复； ②各个位上的数字不允许重复；

【巩固】 由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？

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【拓展】由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？

例5 把1～100这100个自然数分别写在100张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？

小结 ：应用乘法原理解决问题时要注意：

①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成；

②要一步接一步的完成所有步骤；

③每个步骤各有若干种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk种不同的方法． 例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

例7一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

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例8 如图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？

例9 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

例10 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？

例11 如图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？

例12 如图，要从A点沿线段走到

B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？

家庭作业：

1．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个：

①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？

⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？

2．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？

3.图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只

甲虫最多有几种不同的走法？

4.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？

5.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?分给三个人有多少种分法？

6．有红、白、黄、蓝四种颜色的彩旗各1面，不同的旗可以表示不同的信号，不同的颜色排列也可以表示不同的信号，这4面旗可以发出多少种信号?

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7．从最小的五个质数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数?

8．用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少？

9.从1到500的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个?

Ⅰ 排列 在实际生活中把一些事物进行有序的排列，计算共有多少种排法，这就是数学上的排列问题。在排的过程中不仅与参加排列的事物的多少有关，而且与排列的先后顺序有关，那么所有排列的个数叫做排列数。

一般的从n 个不同的元素中任取m 个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。记作：。

n m ≤)2⨯-n )1()(1(+-⨯-=m n n n A m n 例1 计算 （1）（2）-235A 48A 2

8A 【巩固】计算：（1） （2）（3） 3-（4）（6×）÷26A -314A 214A 35A 44A 612A 7

12A 例2 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？

【巩1】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？

【巩2】某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．

例3 用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

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