分式方程及实际应用

详解点一 、分式方程的概念

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知数。 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数。例如：011=+x ；3

432=++x x 是分式方程；

5

3422x

x

=++是整式方程，不是分式方程。

详解点二 、分式方程的解法 1、解分式方程的思想和方法

2、解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，得出整式方程的根；

（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）检验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）写出分式方程的根。

详解点三、分式方程的增根

1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；

2、增根产生的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0时，就产生了增根。

3、排除增根的方法

由于产生增根的原因是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，因此，判断是否是增根，应将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。

详解点四、列分式方程解应用题

1、分式方程是描述实际问题的一种模型

2、列分式方程解应用题的步骤：

（1）审：审清题意，找出相等关系和数量关系 （2）设：根据所找的数量关系设出未知数

（3）列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程 （4）解：解这个分式方程

（5）检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义 注：分式方程的应用与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验； （6）答：写出分式方程的解

例题1、下列关于x 的方程21=+

x x ，300015009000+=x x ，42480-300=x x ，x-2=0，21-3x x =，x

x 3

1-2=，4x-5=0，哪些是整式方程，哪些是分式方程？

分析：利用整式方程与分式方程的定义解答即可

解：方程21=+

x x ，300015009000+=x x ，42480-300=x x ，x x 3

1-2=，是分式方程 x -2=0，2

1

-3x x =

，4x -5=0是整式方程。 例题2、解分式方程：（1）

42480-300=x x ；（2）2--31

3-x -2x

x =； 分析：先找出各分母的最简公分母，然后同时乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。（1）中根

据方程的特点可有两种解法。

解：（1）解法1

42480

-300=x

x ，方程两边都乘以2x ，得600-480=4×2x ，解这个方程，得x =15，

检验：将x =15代入原方程，左边=4=右边，所以x =15是原方程的解。

解法2：

42480-300=x x ，化简得12120-75=x x ，160

-75=x

x ，方程两边都乘以x ，得75-60=x ，即x =15，

检验：将x =15代入原方程，左边=4=右边，所以x =15是原方程的根。

点评：将解得的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验，叫直接验根法，直接验根法，不仅能检验出原分式方程的解，而且还能检验所求得的解是否正确。 （2）解：

2--31

3-x -2x

x =，方程两边都乘（x-3），得2-x=-1-2(x-3)，解这个方程得，x=3，检验：当x=3时，x-3=0，所以x=3是增根，所以原方程无解。

点评：把解得的值代入最简公分母中进行检验，使得最简公分母为0的值不是原方程的解，这种验根方法叫公分母验根法，公分母验根法比较简单，因此常被广泛的采用。

例1、解方程

（1）22416222-+=--+-x x x x x （2）()()

3

6521222

2-=+----x x

x x x x x

【变式练习】 解方程：

（1）9

6999624822222+--=-++++x x x x x x x x （2）61

514171-+-=-+-x x x x

例2、 a 为何值时，方程3

23-+=-x a

x x 会产生增根？

【变式练习】

（1）分式方程

03

32=--x x

x 的增根是 ．

（2）若分式方程

4

24-+=-x a

x x 有增根，则=a ．

例3、 甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度?

例4、轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度 为2千米/小时，求船在静水中的速度。

例5、某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的

3

1

，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？

误区一、解方程去分母时，漏乘整式项 例题1、解方程：

12-55

5-2=+x

x x