函数的三要素典型例题

函数定义域的求法及常见题型

一、函数定义域求法

（一）常规函数

函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。

例1.求函数y =的定义域。

（二）抽象函数

1.有关概念

定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值围，可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值围；

2.四种类型

题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？

例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域

强化训练：

1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域；

2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log 2x)的定义域；

3.已知(x)f 的定义域为［－2，2］，求2(x 1)f -的定义域。

题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？

例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

强化训练：

1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.

题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？

例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.

强化训练：

1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域.

2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log 2x)的定义域.

3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x 2)定义域。

题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。

例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x ）=f(-x)+f(2x+5)定义域。

强化训练：

1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a ≦0。

二、与函数定义域相关的变形题型

（一）逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例7.已知函数的定义域为R ，数m 的取值围。

例8.已知函数27(x)43

kx f kx kx +=++的定义域是R ，数k 的取值围。

（二）参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9.已知(x)f 的定义域为［0，1］，求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。

（三）隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10.求函数22log (x 2x 3)y =-++的单调区间。

（四）实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例11.将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

例12.用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。

求函数解析式的几种基本方法及例题：

1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。

例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).

（2） 已知221)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式

2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

(2)如果).(,,)(x f x x

x x f 时，求则当1011

≠-=

3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f

五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

例6、（分段函数)设f(x)=1,2x g(x) x x +=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1111212,,x

x 求f[g(x)]的表达式. 变式训练：

1、已知f(x+1)=x 2-2x,求f(x)及f(x-2).

2、已知f （x +1）=x+2x +1,求f(x)的解析式。

3、已知f(x)为多项式，f(x+1)+f(x-1)=2x 2-2x+4.求f(x)的解析式。

4、已知f(x)=2x+a,ϕ(x)=4

1(x 2+3),且ϕ[f(x)]=x 2+x+1,则a= .

5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(≠∈=+x R x ax x

f x af 且a 为常数，且a ≠±1,求f(x)的解析式。

.1)( 1

x 1-x -41 x )1()(62的取值范围的自变量求使得、设函数x x f x x f ≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<+= 7、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2)的值。