双曲线的标准方程

双曲线定义、标准方程

一. 教学内容：

双曲线定义、标准方程

（一）双曲线的定义

1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）

3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。

（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|

（2）定义重点：

①绝对值

②小于|F1F2|

若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。

（二）双曲线的标准方程

（1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简

图象特征：

［注意］

1. 位于标准位置，才能有标准方程；

3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。

4. 记住a、b、c的关系：

一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。

理解：

①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。

③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义）

2. 焦半径及焦半径公式

定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。

（4）等轴双曲线：

渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）

【典型例题】

例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）

么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。

解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。

因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。

设爆炸点P的坐标为（x，y），则

小结：

远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。

例2. 求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率。

例3. 等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点，求证：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；

（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N。

小结：利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识