第六章 等直杆的自由扭转

应力函数应该满足的边界条件
( x, y) |s k , (6 9)常取0，周边
Mt 2 dA
A
（6－ 10）端部的条件
选出同时满足6－8，6－9，6－10的应力函数

对于椭圆形截面等直杆的自由扭转问题（图 6-7,a），可选如下形式的应力函数
x y C ( 2 2 1) a b
薄膜的平衡微分方程变为：
d 2z p 2 dx S
（6－19）
p 2 积分后得：z x C1 x C2 2S
p p 2 z ( x ), 最大挠度：0 =z x 0 8S 2S 4
2
2
单位扭转角及剪力：

Mt b G 3
3
2G x
§6-6 闭口薄壁构件的自由扭转
率。由此又可见，扭杆横截面上的最大剪应力，等
于该薄膜的最大斜率。但须注意，最大剪应力的方
向和最大斜率的方向是互相垂直的。
§6-5 开口薄壁构件的自由扭转

z
0
x
S
o 0
b
o
max
2 1 0
S
来自百度文库
p

x
(b) 挠曲膜的一个断面
狭长挠曲看成柱面，挠曲面仅为x的函数，
y
(a) 挠曲膜的等高线
图 6 12
（d ）
利用式（c），又可得
2G T zx y y q
2G T zy x x q
2G z z q T y
2G z z q T x
z 其中的 显然就是薄膜沿y方向的斜率。上式也可 y z 2G 以改写成为 zx （e） y q T
zxl yz m 0
dy dx ( y) ( x) 0 x ds y ds

65
为简化用翘曲函数表达的如上边界条件，引 入扭转应力函数。 yz , zx 66 x y
这样假设是为了满足平衡方程
图示边界的l,m与 dx,dy,ds的关系
单位扭转角
翘曲位移函数
x y z xy 0 yz ( x) y z y u yz ( y) x y x
几 何 方 程
x y z xy 0 yz G yz G ( x) y zx G zx G ( y ) x
个横截面其相对扭角相等，所以
Θ(z)=θ z
（a）

任意横截面上任一点P (x, y)在该平面内的位 移分量(u, v)可写作
u( x, y, z) ( z)sin yz v( x, y, z) ( z)cos xz
w( x, y, z ) ( x, y)
使薄膜的q/T值等于扭杆的2GK值，可得出如下结论： （1）该扭杆的应力函数 等于该薄膜的垂度z。 （2）该扭杆所受的扭矩Mt，等于该薄膜及其边界 平面之间的体积的两倍，即2V。
等 （3）该扭杆横截面上某一点处的剪应力 zx ，
z 于该薄膜上的对应点处的斜率 。 y
结论推广如下： 在扭杆横截面上某一点处的、沿任一个方向的剪应 力，就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜
§6-2
等直杆自由扭转时的应力和位移

设有一任意形状的实体截面等直杆，其两端受扭转
力偶的作用，如图6—3所示。假定杆的左端不能
转动，但可以自由翘曲，限制其整体析的刚性位移。
当杆受扭矩时，杆件的横截面将绕杆轴z旋转一定
的角度，任一距左端为z的横截面所旋转的角度记
为 Θ(z) 。自由扭转时，相距单位长度的任何两

如图6—2a所示等直杆仅在其两端施加扭转力 偶且两个端部没有翘曲变形的任何外加限制， 那么可认为每个横截面都发生相同的翘曲变 形。只有在这种情况下杆件横截面的翘曲才 是自由的，在小变形的条件下它不致引起纵 向纤维的伸长或缩短，从而横截面上也就不 产生正应力。这类扭转问题称为自由扭转。

非圆截面等直杆如图6—2b所示的受力情况 下，由于对称的缘故，其中央的横截面不可 能发生翘曲，而两个端截面却可以自由变形， 因此各横截面的翘曲必然受到制约，从而导 致横截面上产生正应力。非圆截面杆在图 6—2c所示的受力情况下，横截面的翘曲同
2 z 2 z T 2 2 q 0 y x
q 2 q z , T T
2
z 1 0
6 19
薄膜在边界上的垂度
zs 0
q T z 0 s
（a）
因为扭转问题中的 G 也是常数，应力函数 的微分 方程和边界条件可以改写成为

zx
2M t Mt x y 3 y ab 2I x
§6-3矩形截面杆的自由扭转
§6-4
o
T
小挠度薄膜比拟法
q
dx
x
T
z
o
T
T
a
b
T
d
x
T dy
c
y
薄膜无抗弯、抗剪能力，薄膜内将产生均匀、双向、等值的应立 场
图 6 10
普朗都指出：薄膜在均匀压力下的垂度，与等截面直
物 理 方 程
zx z G ( 2 2 ) 0 x y z x y
2 2
yz
平衡方程的结果
2 0, 即 0 2 2 x y
2 2
则: ( x, y)必需是调和函数

用位移函数表示的杆件侧表面上边界条件的表达 式为
杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。假定
薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只承受均匀
的拉力T。
F
z
0
z z z Tdy Tdy z dx Tdx x x x y z Tdx z dy qdxdy 0 y y
样也受到相互约束。

约束扭转：当非圆截面杆受扭时，如果横截面的翘曲变形由
于受到荷载情况、外加约束条件及至横截面尺寸的变化（即
变截面杆）而发生相互约束的话，其横截面上必然产生正应 力，这类扭转为约束扭转。

在实体杆中约束扭转时产生的正应力是不大的，可以略去； 然而对于开口或闭口薄壁杆件却是很重要的。
1 0, 2G
2
0 2G s
（b）
2G Tz q ,

2G z qT
（c）
薄膜及边界平面之间的体积为V
V zdxdy
qM t q V dxdy 2G T 4G T
从而有
M t 2G 2V q T
杆件端部的边界条件

由(6-6)，(6-3)中的后两式，有
G ( x) x y G ( y) y x
2 2 2 2 G , 即 2G 2 2 x y
67
6 8
等直杆自由扭转时的应力函数必须满足的条件
第六章
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6
等直杆的自由扭转
自由扭转与约束扭转 等直杆自由扭转时的应力和位移 矩形截面杆的自由扭转 小挠度薄膜比拟法 开口薄壁截面杆的自由扭转 闭口薄壁截面杆的自由扭转
§6-1

自由扭转与约束扭转
翘曲变形：矩形截面秆在扭转过程中其横截 面不再保持为平面．而发生了翘曲。在杆件 同一横截面曲周边上各处的剪应变是变化的。 横截面发生翘曲以及同一横截面周边上各处 剪应变不同，正是所有非圆截而杆受扭时区 别于圆截面杆的变形特征。
a 2 b2 或：G Mt 3 3 a b
Iy
4 A ab
ab

应力函数为
Mt x y x, y 2 2 1 ab a b
2 2
剪应力分量的计算公式 2M t Mt yz x x 3 x a b 2I y

2
2
当C为常量时，此函数恒能满足侧表面的边 界条件（6-9），将其代入（6-8）,求得
a b C G 2 2 a b
2
2
M t 2 dA
A
2a 2b 2 1 1 2 2 2 G ( x dA y dA dA) 2 2 A 2 A A a b a b 2G 2 2 2 2 2 ( b I a I a b A) y x 2 a b 3 I x ab 3 3 a b 4 2 G 2 a b 3
闭口杆件有内外两个闭合得边界条件： s1 , s2 在薄膜变形中假设边界S1不变，边界S2发生整体变形h， 只能平移。以薄膜任意点得斜率来求薄膜得剪应力：
dz h h Mt , 则 dN 2
Mts 4G 2 6 34
单位扭转角：