利息理论利息的基础知识
利息理论总复习
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
第二章-利息理论基础
• 实际应用中一般需要计算与名义利率i（m）等价旳（ 年）实质利率i旳大小。 名义利率与实际利率有如下关系
2. 短期两者差别不大，长久两者明显差别
3. 复利几乎用于全部旳金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一种度量期上旳实质贴现率为该度量期 内产生旳利息金额与期末旳积累值之 比。一般用字母d来表达实质贴现率。
例：
1、拟定500元以季度转换8%年利率投资5年 旳积累值。
2、如以6%年利，按六个月为期预付及转换 ，到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、拟定季度转换旳名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例：答案
1、 2、
P 1
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
A0
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t旳单位必须一致，即若利率取年利率 ，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须 以月计。
• 例：假如每年单利率为8％，投资额为2023 元，求（1）4年后旳利息 （2）3个月后旳 利息（3）4年后旳本利和
解：
（1）I＝Pit＝2023×8％×4＝640（元）
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照
利息知识点总结
利息知识点总结
以下是利息知识点总结：
1. 利息计算公式：I = P r n。
其中，I是利息，P是本金，r是年利率，n 是存款年限。
2. 复利计算公式：A = P (1 + r/n) ^ (nt)。
其中，A是终值，P是本金，r 是年利率，n是每年计息次数，t是存款年限。
3. 连续复利计算公式：A = P e ^ rt。
其中，A是终值，P是本金，r是年利率，t是时间（以年为单位）。
4. 贴现计算公式：V = F / (1 + r)^n。
其中，V是现值，F是未来值，r是年贴现率，n是贴现期（以年为单位）。
5. 简单利率和复利利率的区别：简单利率是指在存款期间利率不变，而复利利率则是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息。
6. 零存整取和整存整取的区别：零存整取是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息，而整存整取则是在存款期间利率不变。
7. 存款期限和利率的关系：一般来说，存款期限越长，相应的利率越高。
这是因为银行需要为长期资金提供更高的风险补偿。
8. 存款准备金和存款保险的区别：存款准备金是银行按照规定必须留存在银行的资金，而存款保险则是为了保障存款人的利益而设立的保险制度。
9. 贷款和债券的区别：贷款是银行或其他金融机构向借款人提供的直接融资方式，而债券则是借款人向投资者发行的债务证券。
10. 利率风险和信用风险的区别：利率风险是指因利率变动而导致的投资收益的不确定性，而信用风险则是指借款人违约而导致的损失。
利息理论第一章-1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
《利息理论》复习提纲
《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
利息理论知识点
利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。
在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。
第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。
它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。
第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。
其中最常见的是简单利息和复利息。
简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。
它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。
复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。
它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。
第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。
利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。
例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。
2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。
当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。
3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。
风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。
第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。
1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。
了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。
2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。
通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。
3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。
低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。
高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。
利息的基本知识与计算公式
利息基本知识一、利率:古语储蓄存款利率是由国家统一规定，中国人民银行挂牌公告。
利率也称为利息率，是在一定日期内利息与本金的比率，一般分为年利率、月利率、日利率三种。
年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示。
如年息九厘写为 9%，即每百元存款定期一年利息9元，月息六厘写为6‰，即每千元存款一月利息6元，日息一厘五毫写为 1.5‰0，即每万元存款每日利息1元5角，目前我国储蓄存款用月利率挂牌。
为了计息方便，三种利率之间可以换算，其换算公式为：年利率÷12=月利率；月利率÷30=日利率；年利率÷360=日利率.二、计息起点:储蓄存款利息计算时，本金以“元”为起息点，元以下的角、分不计息，利息的金额算至分位，分位以下四舍五入。
分段计息算至厘位，合计利息后分以下四舍五入。
三、存期计算规定:1、算头不算尾，计算利息时，存款天数一律算头不算尾，即从存入日起算至取款前一天止；2、不论闰年、平年，不分月大、月小，全年按360天，每月均按30天计算；3、对年、对月、对日计算，各种定期存款的到期日均以对年、对月、对日为准。
即自存入日至次年同月同日为一对年，存入日至下月同一日为对月；4、定期储蓄到期日，比如遇例假不办公，可以提前一日支取，视同到期计算利息，手续同提前支取办理。
利息的计算公式：本金×年利率（百分数）×存期如果收利息税再×（1-5%）本息合计=本金+利息应计利息的计算公式是：应计利息=本金×利率×时间应计利息精确到小数点后12位，已计息天数按实际持有天数计算。
PS：存期要与利率相对应，不一定是年利率，也可能是日利率还有月利率。
（一）、计算利息的基本公式储蓄存款利息计算的基本公式为：利息=本金×存期×利率（二）、利率的换算年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：年利率=月利率×12（月）=日利率×360（天）；月利率=年利率÷12（月）=日利率×30（天）；日利率=年利率÷360（天）=月利率÷30（天）。
利息的常识
利息的常识利息是金融领域的一个基本概念，涉及到各种贷款、存款和投资活动。
以下是一些关于利息的基本常识：1.利息定义：利息是指借款人向贷款人支付的资金使用费用。
在贷款合同中，贷款人提供资金给借款人，借款人需要支付一定的利息作为对资金使用的补偿。
2.利息的计算：利息的计算通常基于三个主要因素——本金、利率和贷款期限。
本金是贷款的原始金额，利率是决定利息金额的关键因素，可以是固定的或浮动的。
贷款期限是指借款人需要偿还贷款的时间。
利息的计算公式通常为：利息=本金×利率×贷款期限。
3.利息的种类：根据计算方式的不同，利息可以分为简单利息和复利。
简单利息是根据贷款本金、利率和贷款期限计算的，而复利是在每个计息周期结束时将利息加到本金上，下一个计息周期的利息将基于新的本金计算。
复利通常会导致利息的增长速度加快。
4.利息的意义：对于借款人来说，支付利息是使用他人资金的成本；对于贷款人来说，利息是他们提供资金的回报。
利息的水平可以受到多种因素的影响，包括市场利率、借款人的信用风险和货币政策等。
5.法律规定与合同约定：利息的计算和支付通常受到法律和合同的约束。
借款人和贷款人在签订贷款合同时需要明确约定利率、计息方式和还款方式等相关条款。
6.税务处理：在许多国家，利息收入需要缴纳所得税。
借款人或投资者在收到利息收入时，需要注意相关的税务规定并履行纳税义务。
7.风险与回报：高利率往往伴随着高风险。
借款人需要谨慎评估自己的还款能力和风险承受能力，选择合适的贷款利率和期限。
同时，投资者也需要权衡风险与回报，谨慎选择投资项目。
总之，了解利息的基本概念和计算方法，以及相关的法律规定和税务处理，对于个人和企业在进行贷款、存款和投资活动时至关重要。
利息理论第一章 1 优质课件
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
第二章 利息理论基本概念
利息的度量三——利息转换频率不同
• 实质利率 i ：以一年为一个利息转换期，该利率 记为实质利 • 名义利率 i(m) ：在一年里有m个利息转换期，假如 每一期的利率为j，有 i ( m ) mj 。 • 利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻t的 瞬间利率叫作利息力。
2 3
利息度量二——利率和贴现率
• 期末计息——利率
– 第N期实质利率
I (n) in A(n 1)
• 期初计息——贴现率
– 第N期实质贴现率
I (n) dn A(n)
单利场合利率与贴现率的关系
I ( n) dn A(n) a(n) a(n 1) a ( n) i 1 in
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) a(n 1) dn A(n) a ( n) i (1 i ) n 1 (1 i ) n i 1 i
复利场合利率与贴现率的关系
初始值 利息 积累值
1
v
i d
v 1 d （ 1 i）
1
1 i
1
例2
（2） 3000(1 i ) 4 6000(1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 1 6
2
i 20.4% （i 2.204舍去)
例7：求时间
• 假定 i
(12)
分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
例7答案
i (12) 2%时， (1 0.17%)
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
利息理论利息的基础知识73页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
利息理论利息的基础知识
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
利息理论第一章 利息的基本概念
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
利息理论第一章 利息的基本概念
A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一 该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower） 利息是债务人（borrower）对债权人 （lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender） 以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济 学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的 以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程 中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种 既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人 之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的 是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： ）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。
利息理论总结
第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。
总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。
A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。
那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。
2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。
3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。
利息知识点
利息知识点
定义：利息是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者（债权人）因贷出货币或货币资本而从借款人（债务人）手中获得的报酬。
包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。
计算公式：利息的计算公式为：利息=本金×利率×时间。
其中，本金是我们存入银行的钱，利息是取款时，银行多付的钱，利率是利息与本金的百分比。
利息理论：利息理论是金融数学的一个重要部分，主要研究的是利息的计算方法和利息的应用。
包括单利、复利、连续复利等不同的计算方式。
利率：利率是计算利息的一个重要参数，它表示的是单位本金在单位时间内产生的利息。
例如，如果你在银行里存了1000块钱，一年后，你的银行账户钱变成了1025元。
那么，多出来的25块钱就是利息，1000块就是你的本金，25÷1000 x 100%=2.5%。
这个2.5%就是利息率，也就是利率。
利息理论第一章.ppt
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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利息的基础知识
主要内容
• 一、利息的度量
• 二、利率问题、时间问题的求解
一、利息的度量
• 主要内容
• • • • • • • 累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力
1、累积函数
单位货币经过t 年后的价值。
A0为本金，At为t年后的价值。
At at A0
• 第二种方法：购买时90元，一年后按面值 返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。--贴现额。
.
• 2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn
An An1 An
an an1 an
• 年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。 • 年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。
1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。
• 设年名义利率为i（m）， • 所以： ( m) m i 年实际利率为i。 i (1 m ) 1 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 • 或： 1 ( m) m i m [( 1 i ) 1 ] • 则： ( m)
t
• 例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？ • 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
i
11.1%
• 3）v=1-d=0.9
作业
• 1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000 元存款。 • 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的 存款。 • 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存 款。
解：
• （1）A1=1，000（1+it） • =1，000 （1+0.12×2）=1，240元 • A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 • （2）1，500=1，000（1+it1） • t1=4.17年 • 1，500=1，000(1+i)t • t2=3.58年
5、现值和贴现率
1
1
1 (1i )2
折 现 过 程
1
vt
1 (1i )t
1 (1i )t
复利条件下：
• 折现因子：
v
• 折现函数：
1 1i
vt v
t
贴现率
• 1）计息的方式。 • 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， • 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 息。
• 现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 • （1）单利：各年1元的现值。
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
1/1+i 1/1+2i
1
1
折 现 过 程
1
1 vt 1 it
1 1it
.
• （2）复利
设年利率为i ，各年1元的
现值。
1 0 1+i （1+i ）2 （1+i）t
1 1 i
1
4、单利与复利
• （1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
复利
• 设利率为i，期初本金为1。
1 1+i (1+i)2 (1+i)t
0
1
2
t
at=(1+i)t
单பைடு நூலகம்、复利的比较
• （1）单利条件下，每年利息相等，实际 利率减少。 • 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i • 每年的利率：
（3）、图形比较
at=(1+i)t at=1+it
1
• 当t<1时：1+it>(1+i)t • 当t≥1时：1+it≤(1+i)t
1
例二
• 李刚94年1月1日从银行借款1，000元， 假设年利率为12%，试分别以单利和复 利计算： • （1）96年1月1日时，他需还银行多少 钱? • （2）几年后需还款1，500元？
1 i (1
i
m
)
或 : A t A0 at
2、利息
• 投资获得的报酬。 • t年内的利息为： I A A t t 0
A0 (at a0 )
• 第n年的利息为： •
I n An An1 A0 (an an1 )
3、利率
• 单位资本的获得的利息。
A1 A0 第一年：i1 a1 1 A0 A2 A1 a2 a1 第二年：i2 A1 a1 An An 1 an an 1 第n年：in An 1 an 1
3）贴现率与利率
d
an an1 an
(1i )n (1i )n1 (1i )n
i 1i
• 或：
d i v i
d 1d
4）贴现率与折现因子
• 公式一 • 公式二
d 1 v
• 及：
vt vt (1 d )t
• 及：
v 1 d
at (1 d )
例一
• 设：at =ct2+d (c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 • 求：A10、 、 i10
at ct 2 d
解：
• a0=1 a5=126 • 得： c=5 d=1 • 所以：at=5t2+1 • A10=A0a10=50100 • i10=(a10-a9)/a9=0.233
an an1 in an1
i 1 i (n 1)
（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变
• 实际利息： • 实际利率：
I n A0 (an an1 ) A0 (1 i ) n (1 i ) n1 A0 (1 i ) i
n 1
an an1 in an1 (1 i)n (1 i)n1 i n1 (1 i)
。
• 2、张军94年初在银行帐户上有10，000元 存款。 • 1）在复利11%下计算90年的现值。 • 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。
6、一年计息m次的实际利率与贴现 率
• 例：期初本金为1元，年利率为10%。 • 如果一年计息一次，则年末积累值为 1.10元。 • 如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25%