利息理论利息的基础知识

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第一章
利息的基础知识
主要内容
• 一、利息的度量
• 二、利率问题、时间问题的求解
一、利息的度量
• 主要内容
• • • • • • • 累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力
1、累积函数
单位货币经过t 年后的价值。
A0为本金，At为t年后的价值。
At at A0
例一
• 设：at =ct2+d (c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 • 求：A10、 、 i10
at ct 2 d
解：
• a0=1 a5=126 • 得： c=5 d=1 • 所以：at=5t2+1 • A10=A0a10=50100 • i10=(a10-a9)/a9=0.233
• 现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 • （1）单利：各年1元的现值。
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
1/1+i 1/1+2i
1
1
折 现 过 程
1
1 vt 1 it
1 1it
.
• （2）复利
设年利率为i ，各年1元的
现值。
1 0 1+i （1+i ）2 （1+i）t
1 1 i
1
an an1 in an1
i 1 i (n 1)
（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变
• 实际利息： • 实际利率：
I n A0 (an an1 ) A0 (1 i ) n (1 i ) n1 A0 (1 i ) i
n 1


an an1 in an1 (1 i)n (1 i)n1 i n1 (1 i)
3）贴现率与利率
d
an an1 an

(1i )n (1i )n1 (1i )n

i 1i
• 或：
d i v i
d 1d
4）贴现率与折现因子
• 公式一 • 公式二
d 1 v
• 及：
vt vt (1 d )t
• 及：
v 1 d
at (1 d )
（3）、图形比较
at=(1+i)t at=1+it
1
• 当t<1时：1+it>(1+i)t • 当t≥1时：1+it≤(1+i)t
1
例二
• 李刚94年1月1日从银行借款1，000元， 假设年利率为12%，试分别以单利和复 利计算： • （1）96年1月1日时，他需还银行多少 钱? • （2）几年后需还款1，500元？
4、单利与复利
• （1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
复利
• 设利率为i，期初本金为1。
1 1+i (1+i)2 (1+i)t
0
1
2
t
at=(1+i)t
单利、复利的比较
• （1）单利条件下，每年利息相等，实际 利率减少。 • 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i • 每年的利率：
解：
• （1）A1=1，000（1+it） • =1，000 （1+0.12×2）=1，240元 • A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 • （2）1，500=1，000（1+it1） • t1=4.17年 • 1，500=1，000(1+i)t • t2=3.58年
5、现值和贴现率
1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。
• 设年名义利率为i（m）， • 所以： ( m) m i 年实际利率为i。 i (1 m ) 1 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 • 或： 1 ( m) m i m [( 1 i ) 1 ] • 则： ( m)
或 : A t A0 at
2、利息
• 投资获得的报酬。 • t年内的利息为： I A A t t 0
A0 (at a0 )
• 第n年的利息为： •
I n An An1 A0 (an ຫໍສະໝຸດ Baidu an1 )
3、利率
• 单位资本的获得的利息。
A1 A0 第一年：i1 a1 1 A0 A2 A1 a2 a1 第二年：i2 A1 a1 An An 1 an an 1 第n年：in An 1 an 1
。
• 2、张军94年初在银行帐户上有10，000元 存款。 • 1）在复利11%下计算90年的现值。 • 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。
6、一年计息m次的实际利率与贴现 率
• 例：期初本金为1元，年利率为10%。 • 如果一年计息一次，则年末积累值为 1.10元。 • 如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25%
1
1
1 (1i )2
折 现 过 程
1
vt
1 (1i )t
1 (1i )t
复利条件下：
• 折现因子：
v
• 折现函数：
1 1i
vt v
t
贴现率
• 1）计息的方式。 • 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， • 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 息。
t
• 例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？ • 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
i
11.1%
• 3）v=1-d=0.9
作业
• 1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000 元存款。 • 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的 存款。 • 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存 款。
• 第二种方法：购买时90元，一年后按面值 返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。--贴现额。
.
• 2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn
An An1 An

an an1 an
• 年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。 • 年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。