有限单元法汇报

（2）虚应力原理（几何方程和位移条件的等效积分弱形式）：
2.有限元法基础
• 2.2 虚功原理和弹性力学变分原理
—
δσT εdV- δTT u dS 0
V
Su
力学意义：如果位移是协调的， 则虚应力和 虚边界约束反力在它们上面所作之功的总和为零。
2.2.2弹性变分原理包括基于自然变分原理的 最小位能原理和最小余能原理。
有限单元法/学习总结
浙大岩土工程 余启致
2014/12/15
什么是有限单元法 有限单元法基础
有限单元法表达格式 有限元单元和插值函数
等参元和数值积分 个人学习计划
（ ） 1.什么是有限单元法？ Finite Element Method
离散 插值集成 解方程组
什么是有限单元法 有限单元法基础
有限单元法表达格式 有限元单元和插值函数
(其中t为二维体厚度，f是作用在二维体内的体积力， T是作用在二维体边界上的面积力。)
对于离散模型，系统位能是各单元位能的和，故可 求得离散模型的总位能：
p e
e aeT 1 BT DBtdxdyae aeT N T ftdxdy
p e
2 Ωe
e
Ωe
aeT N TTtdS
2.2.1变形体中，任意满足平衡的力系在变形状态上作的虚功 为零，即体系外力的虚功与体系内力的虚功之和等于零。
虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。
（1）虚位移原理（平衡方程和力边界条件的等效积分弱形式）：
δεT σ-δu T
—
f
dV-
—
δuT T dS 0
V
Sσ
力学意义：若力系（包括内力和外力）是平衡的，则它们 在虚位移和虚应变上所作功的总和为零。
υT A(u) dΩ Ω
Ω υ1A1(u) υ2 A2(u) dΩ 0
υT 为一组任意函数
a
2.有限元法基础
• 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
—
υT B(u)dΓ
Γ
Ω
—
υ1
B1(u)
—
υ2
B2(u)
dΓ
0
—
υT 为另外一组任意函数
两式相加得到微分方程的等效积分形式：
4.有限元单元和插值函数
• 4.2 选择合适单元和插值函数 4.2.1 一维单元 4.2.1.1 拉格朗日单元（只包含场函数结点值）
对于具有n个结点的一维单元，如果结点参数中只包 n
含场函数的结点值，则单元内的场函数可插值表示为： Nii
n
i 1
Ni (x) 具有右侧的性质：Ni (x j ) ij , Ni (x) 1
—n
u u Niai N1a1 N1a1 N1a1 Na i1
在通常n取有限项数的时候，近似解不能满足微分方程 和边界条件方程，将会分别产生残差R1和R2（也即余 量），然后对这两个余量进行加权积分，令其为零，就 可以解出近似函数。
2.有限元法基础
• 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
i 1
关于插值函数的构造，可直接采用熟知的拉格朗日插值多
项式，对于总体坐标系下n个结点的一维单元，可令:
Ni
x
lin-1
x
n x-xj j1，j i xi-xj
(x x1 )(x x2 )(x xi1 )(x xi1 )(x xn ) (xi x1 )(xi x2 )(xi xi1 )(xi xi1 )(xi xn )
4.2.2.1 三角形单元
如同一维单元的情形，也可以利用无量纲的局部自然
自然坐标以构造三角形单元的插值函数。现介绍三角
形域的面积坐标的确定。
i(1,0,0)
如图：三角形中任一点P的位置可以由
3个比值来确定，即：
Lm=0
Am
P
Lj=0 Aj
P(Li , L j , Lm )
J(0,1,0)
Ai
Li=0 三角形单元的面积坐标
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
3.1.1 离散单元的位移插值
y
y
m
e2
i
e1
j
0
vm
m(xm,ym)
um
vi
ui
i(xi,yi)
vj
j(xj,yj)
uj
x
0
x
3.有限元单元法表达格式
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
离散单元的位移插值即，用单元上三个角结点的位移 插值表示单元内部各点的位移。
Ni
1 2A
ai
bi x ci y
i,j,m
单元位移，单元应变，单元应力的矩阵形式分别如下：
3.有限元单元法表达格式
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
ui
u
u
υ
Ni 0
0 Ni
Nj 0 0 Nj
υi
N m
0
0 u j
Nm
υ
j
INi
um
INj
INm
aaij
am
υm
σ
σ
x
σ y
Dε
DBae
Sae
τ
x
y
其中 B 为应变矩阵，S 为应力矩阵
3.1.2 利用最小位能原理建立有限元方程
最小位能原理的泛函总位能 p 在平面问题中的矩阵表达形式为：
p
1 T Dtdxdy
2
uT ftdxdy
uTTtdS
S
3.有限元单元法表达格式
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
举例：伽辽金法解微分方程
微分方程
:
d2 u dx2
u
x
0
(0
x
1)
边界方程 : x 0 时，u 0 ; x 1时，u 0
余量R 代入
~
两项近似解:u N1a1 N2 a2 x(1 x) a1 x2 (1 x) a2 取权函数为 :W1 N1 x(1 x)，W2 N2 x2 (1 x)
—
υT A(u)dΩ υT BudΓ 0
Ω
Γ
在很多情况下对上式进行分部积分，可以得到：
CT υD(u)dΩ
ET
—
υ
F
u
dΓ
0
等效积分的“弱”形式（更精确）
Ω
Γ
2.有限元法基础
• 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
2.1.2加权余量法
对于微分方程式和边界条件式所表达的物理问题，假设 未知场函数u用一簇带有待定参数的已知近似函数来近似， 表示为：
Li Ai A, Lj Aj A, Lm Am A
M(0,0,1)
Ai Aj Am A, Li Lj Lm 1
4.有限元单元和插值函数
• 4.2选择合适单元和插值函数
（1）线性三角形单元
对于线性单元，可以直接利用面积坐标作为插值函数。 即三角形的三个插值函数就是三角形的面积坐标。
p e
e
p
e
aeT
1 BT DBtdxdyae
2 Ωe
e
aeT
N T ftdxdy
Ωe
aeT N TTtdS
e
Sσe
பைடு நூலகம்
aT 1
GT K eG a-aT
GT Pe
p
2e
e
1 aT Ka-aT P 2
单元变形总是令该泛函取驻值，即： p 0
a
3.有限元单元法表达格式
2
-4
(
1) ，
l 31
3
2
(
1) 2
4.2.1.2 Hermite单元（还包含场函数导数结点值）
函数 采用Hermite多项式的插值表达式可以写成：
ξ
2 i 1
H
0
i
ξ
i
2
i 1
H i1
ξ
d
dξ
i
或ξ
4 i 1
Ni ( ) Qi
4.有限元单元和插值函数
• 4.2选择合适单元和插值函数 4.2.2 二维单元
等参元和数值积分 个人学习计划
a
2.有限元法基础
• 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法 • 2.1.1未知场函数u满足的微分方程和边界条件可表示为如下
方程组：
A1(u)
A2(u)
A(u) • 0
•
•
在内
B1(u)
B2(u)
B(u) • 0 （在上）
•
•
两个微分方程的等效积分形式：
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
得到有限元求解方程
Ka P
因此要求得有限元的解，关键在于根据子单元的插值函数 矩阵求出子单元的应力应变矩阵，然后利用单元的最小位 能原理求出子单元的刚度矩阵和等效节点荷载列阵，并在 整个单元集成整体的刚度矩阵K，以及整体等效节点荷载列 阵P，再利用边界条件可以解出a。
3.有限元单元法表达格式
• 3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
将求得的广义坐标代入
u υ
β1 β4
β2 x β5 x
β3 β6
y y
可以将位移函数表示成结点位移的函数，如下：
u Niui N ju j Nmum
υ Niυi N jυj Nmυm 其中Ni , Ni , Nm 为插值函数或形函数
举例：用一条直线上的三个点进行插值
当n 3，且x2 （x1 x3）/ 2, 1 0, 2 1/ 2, 3 1
4.有限元单元和插值函数
• 4.2选择合适单元和插值函数
代入到插值函数公式中，有：