简谐振动中的能量分析法
机械简谐振动的运动学与能量
机械简谐振动的运动学与能量引言机械简谐振动是物理学中重要的概念之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍机械简谐振动的运动学和能量方面的内容。
首先，我们将对机械简谐振动的定义进行说明，接着讨论它的运动学表达式，最后深入探讨与机械简谐振动相关的能量变化。
机械简谐振动的定义机械简谐振动是指在无外力作用的情况下，质点围绕平衡位置做线性回复的振动。
简谐振动的运动规律可以用如下的数学表达式表示：$$x(t) = A \\cdot \\sin(\\omega t +\\varphi)$$其中，x(t)表示质点在时间t时的位移，A是振幅，$\\omega$是角频率，$\\varphi$是相位常数。
机械简谐振动的运动学机械简谐振动的运动学研究主要关注质点的位移、速度和加速度随时间的变化规律。
1.位移：如前文所述，机械简谐振动的位移可以用上述的数学表达式表示。
位移随时间的变化是一个正弦曲线，振幅A决定了曲线的最大值，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。
2.速度：速度是位移对时间的导数，可以通过对位移函数求一阶导数得到：$$v(t) = A\\omega \\cdot \\cos(\\omega t + \\varphi)$$速度也是一个正弦曲线，它的幅值$A\\omega$是振幅和角频率的乘积，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。
3.加速度：加速度是速度对时间的导数，可以通过对速度函数求一阶导数得到：$$a(t) = -A\\omega^2 \\cdot \\sin(\\omega t + \\varphi)$$加速度也是一个正弦曲线，它的幅值$-A\\omega^2$是振幅和角频率的平方的乘积，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。
机械简谐振动的运动学分析可以帮助我们了解振动物体在不同时刻的位移、速度和加速度情况，从而更好地描述和预测振动过程。
机械简谐振动的能量在机械简谐振动中，质点的能量会随着时间的变化而发生变化。
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
简谐振动实验的使用方法与结果分析
简谐振动实验的使用方法与结果分析介绍：简谐振动是物理学中重要的概念之一，它在力学、机械、电子等多个领域都有广泛应用。
本文将探讨简谐振动实验的使用方法和结果分析，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实验准备首先，进行简谐振动实验前需要准备一些实验器材，包括弹簧、质量块、固定装置等。
材料的选择要符合实验要求，确保实验的准确性和可行性。
同时，还需要准备实验记录表和测量仪器，如钟摆、光栅等，以记录实验过程中的关键数据。
二、实验步骤实验步骤是进行简谐振动实验的核心，下面将详细介绍实验步骤及其操作方法。
1. 装置悬挂将弹簧装置悬挂在支架上，确保悬挂的稳定性和垂直度。
调整弹簧的高度和角度，使其处于最佳工作状态。
2. 质量块的选取根据实验要求，选择适当的质量块，并在弹簧的末端固定。
质量块的选取应考虑到质量大小、形状以及材料特性等因素，以确保实验结果的准确性。
3. 振动参数的测量使用测量仪器，如钟摆或光栅，测量振动的参数，包括振动周期、振幅和频率等。
确保测量的准确性和可靠性。
4. 振动的启动与观测通过施加外力或扰动，启动振动，并使用合适的仪器观测振动过程。
记录振幅、频率和相位等关键数据，并对其进行分析和比较。
三、实验结果分析实验结果的分析是判断实验效果和数据可靠性的重要环节。
下面将对实验结果进行分析，并从几个方面进行讨论。
1. 振幅变化规律观察实验数据中振幅的变化规律，是否呈现线性或非线性关系。
根据振幅的变化情况，可以判断弹簧的刚度和质量块的质量对振幅的影响程度。
2. 周期和频率的关系计算实验数据中的振动周期和频率，并比较它们的关系。
根据频率的变化情况，可以判断质量块的质量和弹簧的刚度对振动频率的影响程度。
3. 能量变化根据实验数据和公式，计算振动过程中的能量变化。
观察能量的变化情况，可以判断能量的损失和转化规律，进一步理解简谐振动的本质。
4. 相位差的测量使用光栅或其他合适的仪器测量相位差，了解振动系统的相位关系。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式弹簧振子是一种简单的物理系统，它经常用于描述物体在弹性力的作用下进行振动的过程。
当一个弹簧振子做简谐振动时，其动能、势能以及总能量可以用数学表达式来表示。
首先，让我们来了解弹簧振子的基本原理。
弹簧振子由一个质点与一个弹簧组成，质点沿着弹簧的直线方向做往复振动。
弹簧振子的振动是由于弹簧的弹性力引起的，当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加回复力使质点返回平衡位置。
我们可以通过定义弹簧的弹性势能来描述弹簧振子的势能。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与其伸长（或压缩）的长度成正比。
因此，当弹簧振子的位移为x时，弹簧的劲度系数为k，则弹簧的势能可以表示为U = 1/2 kx^2。
然后，我们可以使用动能的定义来表达弹簧振子的动能。
动能是由于质点的运动而具有的能量。
在弹簧振子的情况下，质点的运动是简谐的，其速度随时间的变化遵循正弦函数。
当弹簧振子的位移为x时，质点的速度可以表示为v = dx/dt，其中t为时间。
根据运动学的原理，动能可以表示为K = 1/2 mv^2，其中m为质点的质量。
代入质点速度的表达式，我们可以得到K = 1/2 m(dx/dt)^2。
接下来，让我们来计算弹簧振子的总能量。
总能量是动能和势能之和，可以表示为E = K + U。
代入动能和势能的表达式，我们可以得到E = 1/2 m(dx/dt)^2 + 1/2 kx^2。
在简谐振动的情况下，质点的位移x可以表示为x = A cos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位常数。
这个表达式描述了质点沿着弹簧的方向从平衡位置振动的过程。
代入位移的表达式，我们可以重新写出总能量的表达式。
首先，我们来计算动能的表达式。
根据位移的表达式和速度的定义，我们可以得到v = -Aωsin(ωt + φ)，然后将v代入动能的表达式，我们可以计算出动能的具体形式。
根据动能的定义，我们可以得到：K = 1/2 m(-Aωsin(ωt + φ))^2= 1/2 mA^2 ω^2 sin^2(ωt + φ).接下来，我们计算势能的表达式。
简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力和能量简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。
简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。
这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。
回复力的定义和特点在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。
回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。
具体来说，回复力的公式为F = -kx，其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。
回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。
在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。
当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。
能量的定义和特点能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。
在简谐运动中，能量由动能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。
简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。
具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。
这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。
简谐运动是一种常见的物理现象，它具有回复力和能量的特点。
回复力是指物体朝向平衡位置方向恢复的力量；能量由动能和势能组成，是物体运动状态的“有用”物理量。
回复力和能量是简谐运动的关键特性，它们直接决定了运动的频率、周期和振幅变化，因此在研究简谐运动时非常重要。
4.3 简谐振动的能量
T
E
2
一个周期内的平均势能为: 一个周期内的平均势能为
1 Ep = T
∫
T
0
1 2 1 kx dt = 2 T
∫
0
1 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ )dt 2
mω 2 A2 = 2T
∫Leabharlann T0mω 2 A2 1 2 1 cos 2 (ωt + φ )dt = = kA = E 4 4 2
信息学院 物理教研室
结论: 结论 1、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半； 且等于总机械能的一半； 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成 、 正比； 正比； 3、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的 强度。 强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动
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二、能量的平均值 简谐振动在一个周期中的平均动能为: 简谐振动在一个周期中的平均动能为 1 T1 E k = ∫ m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ )dt T 0 2 T T 2 2 2 ∫0 sin (ωt + φ )dt = mω A T 2 2 = ∫0 sin (ωt + φ )dt 2T T T 2 ∫0 cos (ωt + φ )dt = mω 2 A2 1 2 1
一、简谐振动的能量 关于振动的运动方程、速度表达式为: 关于振动的运动方程、速度表达式为 x = Acos(ωt +φ ) v = −Aω sin(ωt +φ ) 则动能和势能分别为: 则动能和势能分别为
简谐振动中的能量和受迫振动
因此：
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简 谐运动，所以能量守恒，此后它的振 幅将保持不的能量守恒.
二、阻尼振动
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同， 由于振动过程中要克服阻力做功， 将一部分机械能转化为其他形式的 能量，导致振动的总能量不断减小， 即振幅不断减小．
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小.
驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害:
大桥若共振的话!!!
如图AO回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动
能增加，到O时，动能最大，势
能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况．
在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的弹簧振 子：通过回复力（重力和 弹簧弹力的合力）做功， 动能和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相互转 化．
实验表明：物体在外力驱动下振动时， 振动稳定后的频率等于外 力驱动的频率，跟物体的 固有频率没有关系.
四、共振：下面就是一个共振
1940年，Tacoma Narrows大桥在 建成后的4个月就因风共振而倒 塌。
共振
实验表明：
受迫振动的频率 与物体的固有频 率无关，但是如 果驱动力的频率 接近或等于物体 的固有频率时， 振动物体的振幅 将达到最大.
分析简谐振动的受力和能量变化
分析简谐振动的受力和能量变化简谐振动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、匀速和可逆的特点。
在简谐振动中，物体受到的力和能量随时间的变化呈现出一定的规律性。
本文将分析简谐振动的受力和能量变化，并探讨其特点和影响因素。
简谐振动的受力主要来自恢复力和阻尼力。
恢复力是指物体由于偏离平衡位置而产生的力，与偏离量成正比。
根据胡克定律，恢复力的大小与偏离量的乘积成正比，方向与偏离量相反。
恢复力的表达式可以用F=-kx表示，其中F为恢复力的大小，k为恢复力常数，x为物体偏离平衡位置的位移量。
当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向与位移方向相反，使物体向平衡位置回复。
阻尼力是指简谐振动中由于摩擦等因素产生的阻碍物体运动的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，方向与物体的速度相反。
阻尼力的表达式可以用F_d=-bv表示，其中F_d为阻尼力的大小，b为阻尼系数，v为物体的速度。
阻尼力的作用是减小运动的振幅，使振动逐渐衰减和停止。
简谐振动的能量变化包括动能和势能的变化。
动能是物体由于运动而具有的能量，可表示为K=1/2mv^2，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
在简谐振动中，物体在最大位移处速度最小，在平衡位置处速度最大，因此动能随时间的变化呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，动能增加；当物体达到最大位移处时，动能减小至零。
势能是物体由于位置发生变化而具有的能量，可表示为U=1/2kx^2，其中U为势能，k为恢复力常数，x为物体的位移量。
在简谐振动中，势能随时间的变化也呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，势能增加；当物体达到最大位移处时，势能减小至零。
在简谐振动中，恢复力与阻尼力的合力决定了物体的运动规律。
当阻尼系数较小或为零时，物体的振动呈现出理想的简谐运动，振幅保持不变，持续振动；当阻尼系数较大时，物体的振幅不断减小，振动逐渐衰减和停止。
除了受力的影响，简谐振动的频率和周期还受到质量和恢复力常数的影响。
频率是指单位时间内振动的次数，可以用f=1/T表示，其中f为频率，T为周期。
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
3-简谐振动的能量特征
1、简谐振动的定义 d 2 x 2 x 0, x A cos( t ) f kx, 2
dt
2、简谐振动的三个特征量
k/m , g/l
A
ω由振动系统本身的性质所决定， ω一定时 A、 由初始条件决定。
2
2 x0
2 v0
,
v0 arctan( ) x0
其中：0 k C , , m 2m F0 f0 m
12
稳态解：x(t ) B cos( t )
x( t ) B cos( t ) 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率: 等于策动力的频率
f0 (2)振幅: B 2 [(0 2 )2 4 2 2 ]1/ 2 2 (3)初相: tg 2 0 2 f0 dB 0, B 若： 2 [(0 2 )2 4 2 2 ]1/ 2 d
4
E p 1 kA2 cos2 ( t ), Ek 1 kA2 sin2 ( t ) 2 2 1 cos 2( t ) 2 由cos ( t ) , 2
1 cos 2( t ) sin ( t ) 2 Ek 和Ep的周期为T/2。 (角频率为2ω)
若 << 0 ，则 r 0, Br
称尖锐共振。
20
f0
14
2.速度共振 速度振幅 B
f0 vm 2 [(0 / 2 1)2 4 2 ]1/ 2 f0 r 0 , Vm ,r , v ,r 0 2
速度共振时，速度与策动力同相，一周期 内策动力总作正功，此时向系统输入的能 量最大。
在一定条件下, 振幅、速度出现 极大值， 出现剧烈振动的现象-------共振
5.4 平面简谐波的能量
5.4 平面简谐波的能量简谐振动是指物体沿某一方向做相同的周期性运动。
在平面简谐波中，物体振动沿着平面的方向上，振动方程通常为y=A*sin(ωt±φ)，其中A为振动的振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
平面简谐波的能量可以从能量守恒定律和能量密度推导出来。
首先，从能量守恒定律来看，能量在物理学中是守恒的，只能从一种形式转化为另一种形式。
在平面简谐波中，能量的来源是振动体的动能和势能。
当振动体进行简谐振动时，动能和势能交替转化，它们的总和是恒定的。
在一个振动周期内，动能和势能各占一半，因此平面简谐波的总能量为：E=1/2*A²*m*ω²其中，A为振动的振幅，m为物体的质量，ω为角频率。
其次，从能量密度的角度来看，平面简谐波的能量密度可以写成：其中，ρ为介质的密度，v为平面波的速度。
根据波动方程，平面波的速度可以表示为v=ω/k，其中k为波数。
将v的表达式代入能量密度公式中，可得：u=1/2*ρ*(ω/k)²再将k的表达式k=2π/λ带入，得到：由于平面简谐波存在一个振动平面，因此其能量的密度在振动平面上的值最大。
对于由正弦函数表示的平面简谐波，其能量密度的最大值为：最后，由于平面简谐波在空间中是无限延伸的，因此其能量密度是密集分布的。
可以将平面简谐波所占据的空间划分为许多小立方体，每个小立方体能够存储的能量就是它的体积乘以能量密度。
总能量可以由所有小立方体内存储的能量相加得到。
综上，平面简谐波的能量可以由振动体的动能和势能的总和或者能量密度推导得到。
它的能量密度在振动平面上最大，并且在空间中密集分布。
物理-简谐振动的能量 几个简谐振动的实例
振动动能 弹性势能
Ek
1 2
m 2
Ep
1 2
kx2
一、简谐振动的能量
x, υ
o
T
能量
o T T T 3T 42 4
设 0
x Acosωt t
υ Aωsinωt
E 1 kA2 2
Ep
1 2
kA2
cos2
ωt
t
Ek
1 2
kA2
sin2
ωt
一、简谐振动的能量
弹簧振子的势能曲线
Ep
1 2
kx2
C
Ek
E Ep
1 kA2 1 kx2
2
2
Ep
E
B
Ek
Ep
A O x A
x
一、简谐振动的能量
推广
E Ek Ep A2
(1) 作简谐振动的系统机械能守恒！ (2) 简谐振动的总机械能与振幅的平方成正比！
一、简谐振动的能量
拓展：谐振动的能量守恒与其动力学方程的关系
二、几个简谐振动的实例
解：
E Ep Ek
1 kA2 2
当 x A / 2时：
Ep
1 2
kx2
1 2
k
A 2
2
1 4
E
Ek
E
Ep
3 4
E
二、几个简谐振动的实例
解：
E
Ep
Ek
1 2
kA2
Ep
1 2
kx 2
1 2
1 2
kA2
x 2 A 2
欢迎网上答疑
例：弹簧振子
E 1 m 2 1 kx2 恒量
简谐振动的振幅与能量
简谐振动的振幅与能量简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于各个领域。
在研究简谐振动时，我们不可避免地需要了解振幅与能量之间的关系。
本文将详细探讨简谐振动的振幅与能量之间的关系，并分析其中的物理原理。
简谐振动是指某个物体或系统在恢复力的作用下，围绕平衡位置做往复振动的现象。
而振幅则是指在振动过程中物体或系统离开平衡位置的最大偏移量。
振幅的大小与能量之间存在着密切的联系。
首先，我们需要了解简谐振动的能量表达式。
对于一个简谐振动系统，其能量由两部分组成：势能和动能。
势能可以表示为弹簧的弹性势能或其他势能形式，而动能则与振动的速度有关。
简谐振动的势能与振幅的关系可以通过势能函数来说明。
通常情况下，简谐振动的势能可以用 1/2kx^2 表示，其中 k 是弹性系数，x 是振幅。
从这个表达式可以看出，势能与振幅的平方成正比，即振幅越大，势能越大。
接下来，我们来研究简谐振动的动能与振幅之间的关系。
动能可以表示为振动系统的质量和速度的函数。
在简谐振动中，速度与位移之间存在着相位差，且满足正弦或余弦函数的关系。
根据简谐振动的定义，振动系统在平衡位置的速度为零，而在最大位移时速度最大。
因此，动能与振幅之间存在着正比关系，即振幅越大，动能越大。
综上所述，简谐振动的振幅与能量之间存在着正相关的关系。
振幅越大，势能和动能的大小都会增加，整体能量也会增加。
而振幅越小，对应的能量也会减小。
需要注意的是，上述的分析是在不考虑阻尼和外力等因素的理想情况下得出的结论。
在实际情况中，振幅与能量的关系可能会受到其他因素的影响，例如阻尼力的存在会使能量逐渐减小。
总之，简谐振动的振幅与能量之间存在着密切的联系。
振幅的大小决定了势能和动能的大小，从而影响整个振动系统的能量。
研究振幅与能量之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用简谐振动的原理。
谐振子的动能与势能变化规律分析
谐振子的动能与势能变化规律分析谐振子是物理学中一种经典的振动系统，它具有重要的理论和实践价值。
在研究谐振子的动能与势能变化规律时，我们可以从经典力学的角度，以及能量守恒的原理来进行分析。
1. 谐振子的基本特点谐振子是一个能够周期性振动的系统，它包括一个质点和一个与质点相连接的弹簧。
当质点受到外力作用时，弹簧发生伸缩，质点产生振动。
谐振子的振动可以分为简谐振动和复杂振动两种形式，其中简谐振动是在无耗散和无外力作用下的理想情况。
2. 能量守恒定律在谐振子中的应用根据能量守恒定律，一个闭合系统的总能量在变化过程中保持不变。
在谐振子中，质点的动能和势能是与振动状态有关的。
当质点处于极端位置时，弹簧的势能达到最大值，而动能为零；当质点通过平衡位置时，动能达到最大值，而势能为零。
因此，在谐振子的振动过程中，动能和势能之间是相互转化的，总能量保持不变。
3. 谐振子动能和势能的变化规律在简谐振动的情况下，谐振子的动能和势能的变化规律具有明显的周期性。
以质点的位移如x和速度v为变量，可以分别推导出动能和势能随时间的变化表达式。
谐振子的动能可以表示为K = 1/2 * m * v^2，其中m为质点的质量，v为质点的速度。
对于简谐振动，质点的速度与质点的位移成正比，即v = ω * x，其中ω为谐振子的角频率。
代入上述表达式，可以得到动能K与位移x的关系式K = 1/2 * m * ω^2 * x^2。
谐振子的势能可以表示为U = 1/2 * k * x^2，其中k为弹簧的弹性系数。
根据胡克定律，弹簧的劲度系数与弹簧的伸长量成正比。
因此，势能U与位移x的关系式U = 1/2 * k * x^2。
根据上述表达式，可以看出，谐振子的动能和势能的变化都与质点的位移x的平方成正比。
在质点通过平衡位置时，动能达到最大值，相应的势能为零；而在质点处于极端位置时，势能达到最大值，动能为零。
同时，动能和势能之和保持常数，即K + U = 1/2 * m * ω^2 *x^2 + 1/2 * k * x^2 = 常数。
一维简谐振子的能量分析
一维简谐振子的能量分析一维简谐振子是物理学中一个经典的模型，广泛应用于多个领域。
其能量分析过程既有趣又具有重要意义。
本文将探讨一维简谐振子的能量分析，包括其动能、势能以及总能量的计算方法，并对其应用于实际问题中的意义进行一定的讨论。
一维简谐振子是指一个只在一个方向上振动的物体，其受力与其位移成正比，并且与振动方向相反。
根据胡克定律，振子受到的力可以用公式F=-kx表示，其中F是受到的力，k是弹性常数，x是位移。
根据牛顿第二定律F=ma，可以得到振子的运动方程ma=-kx，或者简化为振子的运动方程a=-kx/m。
在进行能量分析之前，我们需要明确一维简谐振子的位移、速度、加速度与时间之间的关系。
根据牛顿第二定律，在简谐振动中，加速度与位移之间存在着一个简单的正弦关系。
假设一维简谐振子的位移为x(t)=Asin(ωt+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
对位移求一次导数得到速度v(t)=Aωcos(ωt+φ)，再对速度求一次导数得到加速度a(t)=-Aω^2sin(ωt+φ)。
可以看出加速度与位移之间的关系也是一个正弦函数，并且相位比位移提前了90度。
这个关系非常重要，将在后文中用于能量分析。
我们先从一维简谐振子的动能分析开始。
动能是物体运动时所拥有的能量，由速度决定。
一维简谐振子的速度函数为v(t)=Aωcos(ωt+φ)，可以得到速度的平方v^2(t)=A^2ω^2cos^2(ωt+φ)。
根据动能的定义，动能K=0.5mv^2，其中m是振子的质量。
将速度的平方代入动能公式中，得到动能的表达式K=0.5mA^2ω^2cos^2(ωt+φ)。
由于cos^2(ωt+φ)的取值在0到1之间，动能的取值范围也在0到0.5mA^2ω^2之间。
这表明一维简谐振子的动能是一个随时间变化的量，且取值介于0和最大值0.5mA^2ω^2之间。
接下来我们来分析一维简谐振子的势能。
势能是物体由于位置而具有的能量，由位移决定。
2简谐振动的能量解析
A2
A2
o
A1
x
o
A1
x
o
A1
x
用旋转矢量描绘振动合成图
*三 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 x A cosm t y A cosn t 0 频率比为有理数时轨迹闭合，为李萨如图。频 率比为无理数时轨迹不闭合。图形仅与相位差有 关，而且与每个振动的初位相有关。 用李萨如图形在无线电 技术中可以测量频率： Tx : Ty 1 : 2
d2 x k 2 x0 dt m
1 1 2 sin (t )dt 动能的时间平均值: T 2 1 2 1 T1 2 2 kA2 T 2 sin (0t )dt kA Ek kA sin (0t )dt 4 2T 0 T 0 2
势能的时间平均值:
2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
2 d x dx 2 三 共振 2 x f cos p t 0 2 （resonance） dt dt
2 T 1 T1 2 1 2 kA 2 2 kA E P kA cos (0t )dt cos (0t )dt 4 2T 0 T 0 2
结论： 1、即弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半。 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
8.5 简谐振动的合成 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同 方向、同频率的简谐振动：
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x2
1
x1
A1
xx
结论:
（1）相位差
2 1 2k π
简谐振动的能量
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
P. 7 / 11 .
谐振动能量曲线：
能量
Ek Ep
E Ek Ep
Ek
1 2
k
A2
sin2
(
t
)
Ep
1 2
k
A2
cos 2
( t
)
o
t Fig. 0 时的能量曲线
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
Ep
Ep
1 2
kx 2
E
恢复力：F
dEp dx
kx
Ek Ep
A o
xA
x
▲ 谐振子的振动势能不一定等于其弹性势能；
▲ 谐振子的振动总能量不一定等于其机械能；
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
二、势能、能量曲线
P. 5 / 11 .
谐振动势能曲线：
Ep
1 2
kx 2
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
一、振动动能/势能/总能量
P. 1 / 11 .
简谐振动：
x A cos( t )
谐振子
k
v A sin( t )
A
o
x A
振动动能：Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2
( t
)
1 k A2 sin2 ( t )
课堂练习 如图，已知：k、m、M、u，子弹击中木块
并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
提示 击中后，系统初始状态：
v0
mu Mm
简谐运动能量
受迫振动位移与强迫力之间的相位差为
说明：
稳定状态下的受迫振动的角频率不是振动系统的固有角频率，而是强迫力的角频率；
A、 并非决定于系统的初始状态，而是依赖于系统的性质、阻尼的大小和强迫力的特性。
三、共振Resonance
1．引言：
在稳定状态下，受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。当强迫力的角频率P与固有角频率ω0相差较大时，受迫振动的振幅较小；而当P与ω0相差较小时，受迫振动的振幅较大；当P为某必然值时，受迫振动的振幅取得最大值。咱们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。
引言：
简谐运动的振幅不随时间转变，这就是说，振动一经发生，就可以够永远不断地以相同的振幅振动下去。这是一种理想的情况，称为无阻尼自由振动。
实际上，任何振动系统都会受到阻力的作用，系统的能量将因不断克服阻力作功而损耗，振幅将逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。为了取得所需的稳定振动，必需克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作用。这种振动称为受迫振动。本节讨论这种情况。
即：在受迫振动进程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周期性外力作功而取得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因此受迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才取得一种稳定的振动状态，形成等幅振动。于是受迫振动就变成简谐运动，即定态解（Stationary solution）其运动方程为
合振动
由于相位差 随时间转变，故合振动的振幅也随时间而转变，不是简谐运动。这里只讨论 ， 的情形，即两个频率相差很小，此时
由于 随时间转变比 要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按 缓慢转变得角频率为 的“准周期运动”。这种两个频率都较大但二者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而增强时而减弱的现象称为拍频（beat）。
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简谐振动中的能量分析法
物理二班 刘少承 PB04203210
简谐振动是最简单的振动形式，我们可以用简明而完备的公式表示它的运动。
如图，物体系在弹性系数为k 的弹簧一端；弹簧的另一段及在固定的物体上，
选取x 轴，以平衡位置o 为原点，则振子的运动方程为
mx (2)=-kx 令 ω2=k/m
则解为 x=Acos (ωt+ϕ) 。
（1）
其中A, ϕ为待定常数，可由初始条件确定。
这种运动就是简谐振动。
(1) 式为简谐振动的方程，则t 时刻振子的状态量为
x=Acos(ωt+ϕ)
v=dx/dt=-A ωsin((ωt+ϕ)
则 动能E k =mv 2/2=m(A ωsin(ωt+ϕ))2/2=k(Asin(ωt+ϕ))2/2
t 弹性势能 E p =kx 2/2=k(A cos(ωt+ϕ))2/2= k(Asin(ωt+ϕ))2/2
总能量为 E=E k +E p =kA 2/2
所以，简谐振动中系统能量是守恒量。
分析简谐振动中物体的运动状态是，能量守恒常常是一种有效的方法。
例1：
质量为m ，半径为r 的均匀实心球体，可以在以半径为R 的球形碗底部作纯滚动，求圆
球在平衡位置附近微小振动的周期。
分析：首先分析的是小球在碗底做运动的性质和受力情况。
小球受到如图的重力mg,碗底
对球的弹力N ，摩擦力f ，f 的作用使角速度减小，mg 在切向的分量逐渐增大，回复力增大，
使小球最后达到最高点时质心速度为零，同时角速度为零。
解1：此题可用动力学方程来解。
设小球离开平衡位置的距离为x,
则 x=(R-r)θ (2)
小球作纯滚动：
f=I β (3)
a=r β （4）
I=2mr 2/5 (5) 例1图：
小球受到的外力为 f-mgsin θ=ma (6)
由 θ很小 sin θ≈θ (7)
由 （2），（3），（4），（5），（6），（7），得
ma= -5mgx/7(R-r)= -kx
∴k=5mg/7(R-r)
∴T=2πk /m =25g /)r R (7-π
解2：小球在运动中能量守恒，此题可用能量法来解。
由于小球作纯滚动，摩擦力不做功，故机械能守恒。
E=mv 2/2+I ω2/2+mg(R-r)(1-cos mg(R-r)(1-cos θ))=常量
小球的质心速度v c 和转动角速度ω分别为
v c =(R-r)
ω=((R-r)/r) 代入E 的表达式得 E=m((R-r) )2+mr 2( (R-r)/r)2+ mg(R-r)(1-cos θ) =常量 θ很小，cos
θ≈1- θ2 /2 ∴E=7(R-r)2 θ(2)/5+g(R-r) θ2 =常量 （其中的代表二阶导数）
对t 求导，得 7(R-r)2
θ(2)/5+g(R-r) θ =0 即 θ(2)+5g θ/7(R-r) =0 T=2π/ω=2π/5g /)r R (7-
小结:用能量法也可方便的接出简谐振动的全过程。
例2：在横截面为s 的U 形管中有适量液体，总长度为L,质量为m ，密度为d,求液面上下起伏的振动频率？
分析：此题的液体是分散的，可用能量法来解决。
如图，选两液面相平处的平衡位置为坐标原点，令平衡位置处的液体势能为零。
在t 时刻，左边液面为一升高为y ，此时右边液面为一降低为y ，液体的势能可以看成是把右边的液体提升到左边增加的势能。
这段液体的质量为yds,提升为y,所以液体的势能为dy 2sg,因液体的体积不变，液体的动能为
E k =my (2)/2
由于液体振动过程无能量损失，
有 my （2）/2+dy 2sg=常量
上是对t 求导，得
y （2） +2dsgy/m=0
∴液体作简谐振动
∴ ω=m /2dsg ，
T =2π/ω=2 π2dsg /m
m=dLs
∴T=2π2g /L
∴f=1/T=L /2g /2 π
结论：使用能量法从整体上分析物理过程的变化，从而省去与结论不相关的繁琐过程量，简化解题过程，往往能大大化简解题过程。
dt d θdt d θdt d θdt d θdt d θdt
d θ。