非线性规划的理论与算法
非线性规划算法
非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。
其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。
本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。
一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。
具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。
二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。
在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。
2. 非线性规划问题的求解难度较大。
因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。
这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。
3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。
相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。
这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。
三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。
梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。
这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。
2. 共轭梯度法。
共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。
非线性规划在运筹学中的理论与实践
非线性规划在运筹学中的理论与实践非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在运筹学中具有广泛的应用。
本文将从理论与实践两个方面讨论非线性规划在运筹学中的作用。
一、非线性规划的理论基础非线性规划是研究目标函数和约束条件都为非线性函数的优化问题。
在运筹学中，非线性规划的理论基础主要包括两个方面：一是非线性函数的性质和优化方法；二是约束条件的处理和求解。
1. 非线性函数的性质和优化方法非线性函数具有丰富的性质，如凸性、可导性、二次性等。
这些性质为非线性规划问题的解决提供了理论基础。
在优化方法方面，常用的非线性规划算法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些算法可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。
2. 约束条件的处理和求解与线性规划相比，非线性规划的约束条件更加复杂。
一般来说，约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束可以通过拉格朗日乘子法进行处理，而不等式约束则可以通过KKT条件来求解。
此外，还可以采用罚函数法、投影法等方法来处理约束条件。
二、非线性规划在运筹学中的实践应用非线性规划在运筹学中有着广泛的实践应用，涉及到生产计划、物流优化、资源配置等方面。
1. 生产计划中的非线性规划在生产计划中，考虑到生产成本、销售需求以及资源限制等因素，常常需要对生产计划进行优化。
非线性规划方法可以帮助实现最小化生产成本、最大化利润等目标。
例如，在汽车制造领域，可以利用非线性规划方法优化生产线的布局，提高生产效率。
2. 物流优化中的非线性规划物流优化是运筹学的重要应用领域之一。
通过对供应链网络进行优化，可以实现库存降低、运输成本最小化等目标。
非线性规划可以在考虑各种限制条件的情况下，对供应链网络进行优化设计。
例如，在仓储和配送中心的选址问题中，可以利用非线性规划方法优化选址方案，提高物流效率。
3. 资源配置中的非线性规划在资源配置问题中，需要考虑到资源的有限性以及不同资源之间的相互关系。
非线性规划可以帮助实现资源的合理配置，以最大化整体效益。
非线性规划理论和算法
非线性最优化理论与算法第一章引论本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。
接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。
随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。
最后给出了无约束优化最优性条件。
第二章线搜索方法与信赖域方法无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。
本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。
线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。
精确线搜索方法和非精确线搜索方法对于精确线搜索方法，步长ακ满足αk=arg minƒx k+αd kα≥0这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件：d k T∇ƒ(x k+αk d k)=0但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。
而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。
对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。
书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。
第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。
但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。
在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。
算法大全第03章-非线性规划
另外，由于 xi (i = 1,L, n ) 只取值 0 或 1，所以还有
xi (1 − xi ) = 0, i = 1,L, n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因 此，其数学模型为：
max Q =
∑b x
i =1 n i
n
i
∑a x
s.t. 0 <
∑a x
i =1 i
i =1 n
i
i
i
≤A
xi (1 − xi ) = 0, i = 1,L, n.
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问 题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
k k k
k
x k +1 = x k + t k p k 。
若x
k +1
已满足某种终止条件，停止迭代。
k +1 k
4° 以 x 代替 x ，回到 1°步。 1.5 凸函数、凸规划 设 f ( x ) 为定义在 n 维欧氏空间 E
(n)
中某个凸集 R 上的函数，若对任何实数
α (0 < α < 1) 以及 R 中的任意两点 x (1) 和 x ( 2 ) ，恒有 f (αx (1) + (1 − α ) x ( 2 ) ) ≤ αf ( x (1) ) + (1 − α ) f ( x ( 2 ) )
这里 t k ∈ R , p ∈ R , p
1 k n k
= 1 ，并且 p k 的方向是从点 x k 向着点 x k +1 的方向。式（1）
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
数学建模非线性规划
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
5
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.hgji
X X
0 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., l.
(1)
m
l
可设：TX , M f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
z
(
x1,
x2
)
1 1
-21
x1 x2
2 6
T
x1 x2
2、 输入命令：
s.t.
1 1
21
x1 x2
2 2
0 0
x1 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj
x
k j
k j
j 1,, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验X k1 点对原约束是否可行。若X k1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
k j
7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
17
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
非线性规划理论与算法_图文
firstorderopt: [ ] cgiterations: [ ] lambda =
3、问题：
4、外点法（外部惩罚函数法）
（1）几何解释
（2）算法步骤（外点法）：
（3）外点法框图
No
yes
（4）应注意的问题
例 :
（5）一般模型的外点法
算法步骤相同
(6)算法收敛性
5、内点法（障碍函数法） （1）集合结构
（2）算法思想
内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内 部移动的，对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩 罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比边 界是一道障碍物，阻碍迭代点穿越边界。
内点法要求可行点集的内点集合非空，否则算法无法 运行。这样一来内点法只对不等式约束的优化问题才可能 有效。
（3）算法分析
（4）算法步骤（内点法）：
内点法框图
No
yes
例 解
（5）算法收敛性： （6）罚函数法的缺点
(7)内、外点法的优缺点的比较
外点法
内点法
1.任意x(0)∈Rn
1. x(0)∈S 0(参阅P220讨论内点的选取)
二次规划问题（quadratic programming）的Matlab解
函数 quadprog
格式: x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x
为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
非线性规划理论与应用
非线性规划理论与应用随着社会的发展，科学技术的不断进步，各行各业对于优化问题的需求越来越重要。
而非线性规划作为一种重要的数学工具，在优化问题的解决中具有越来越重要的作用。
本文将介绍非线性规划的相关理论及其应用。
一、非线性规划的概念与代数形式非线性规划是指目标函数和约束均为非线性函数的规划问题。
其数学表达式可以表示为：$$\min f(x)$$$$s.t.~~g_i(x)\leq 0,~~i=1,...,m$$$$h_j(x)=0,~~j=1,...,n$$其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是条件函数。
非线性规划的解决需要运用复杂的优化算法，如全局最优化算法、局部最优化算法、束方法、内点法等多种方法。
二、非线性规划的求解方法（一）全局最优化算法全局最优化算法是一种求非线性规划全局最优解的方法。
其代表性算法主要有割平面法、分支定界法和随机搜索法等。
其中，分支定界法是基于二分策略，逐步缩小问题解空间，从而确保问题最佳解的精确性。
（二）局部最优化算法局部最优化算法是一种求非线性规划近似最优解的方法。
其代表性算法主要有牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和梯度投影法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，其优点在于收敛速度快，但由于其需要求解Hessian矩阵，因此使用相对比较复杂。
（三）束方法束方法是一种求非线性规划的全局最优解的算法，其特点是对问题进行主动检测，确保求得的解是全局最优解。
束方法通过构造变量束替代原问题的约束条件，从而得到类似于线性规划的问题。
其代表性算法主要有序列二次规划和重心法等。
（四）内点法内点法是一种涵盖全局最优化和局部最优化的方法。
其思路是构造一条不断向目标函数内部靠近的路径，最终路径上得到的点就是问题的最优解。
内点法的优点在于具有较高的收敛速度和精确性，但其缺点在于实现过程较为复杂。
三、非线性规划的应用非线性规划在实际应用中具有广泛的应用，如经济领域中的投资组合问题、能源管理问题、市场需求预测问题等。
学习非线性规划的基本方法
学习非线性规划的基本方法非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是数学规划中的一种重要方法，被广泛应用于工程、经济、管理、物理等领域。
与线性规划相比，非线性规划在模型的描述和求解方法上更为复杂，但也更为灵活和准确。
本文将介绍非线性规划的基本方法，包括问题的建模、常用的求解算法和实际应用。
一、非线性规划问题的建模在开始学习非线性规划之前，我们首先需要对非线性规划问题进行合理的建模。
通常，一个典型的非线性规划问题可以表示为以下形式：最小化 f(x)约束g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_j(x)是等式约束条件，x为决策变量，m和n分别表示不等式约束条件和等式约束条件的个数。
在建模时，需要特别注意以下几点：1. 选择合适的决策变量，使得问题的描述和求解更加精确和高效。
2. 明确目标函数和约束条件，确保数学模型的准确性。
3. 充分考虑实际问题的特性，对问题进行合理的简化和假设。
二、非线性规划问题的求解算法非线性规划问题的求解算法可以分为两类：直接法和间接法。
直接法直接对非线性规划问题进行求解，而间接法先将非线性规划问题转化为等价的特殊结构问题，再对等价问题进行求解。
下面介绍两种常用的求解算法：单纯形法和内点法。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中常用的一种求解算法，但也可以用于求解非线性规划问题。
该算法通过寻找可行解的连续改进路径，不断接近最优解。
单纯形法的核心思想是在可行域内搜索目标函数极小值点。
2. 内点法内点法是一类有效的非线性规划求解方法，其基本思想是将原问题转化为一个等价的凸优化问题，通过寻找问题凸对偶的极值点来求解原问题。
该方法的优点是能够处理大规模的非线性规划问题，并具有较好的收敛性和全局最优性。
三、非线性规划的实际应用非线性规划方法在实际应用中具有广泛的应用前景。
非线性规划算法综述
非线性规划算法综述非线性规划是现代数学中的一个重要领域，其应用范围广泛，包括物理学、经济学、机械工程学、化学工程学等众多领域。
而在实际应用中，非线性规划问题往往十分复杂，需要采用各种算法进行求解。
本文将对非线性规划算法进行综述，重点介绍了当前主要的非线性规划算法，包括黄金分割法、拟牛顿法、粒子群算法、遗传算法等。
一、黄金分割法黄金分割法是一种基于区间搜索的优化算法，其核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。
该算法要求函数必须在搜索区间内具有单峰性质。
黄金分割法的优点是简单易懂、易于实现、对初始区间的选择不敏感。
但其缺点也十分明显，当函数具有多峰性质时，该算法的表现将十分不理想。
二、拟牛顿法拟牛顿法是一种基于梯度下降的优化算法，其核心思想是利用梯度信息寻找搜索方向，并通过迭代逐步改进优化结果。
该算法可以处理非线性约束和非线性目标，且具有较高的收敛速度和精度。
拟牛顿法优点是在一定程度上能解决高维、多约束、多峰等非线性问题，且能够综合利用目标函数和约束条件信息。
但是其在某些情况下会出现收敛陷入局部极小值的问题，需要采用一些策略来提高其质量。
三、粒子群算法粒子群算法是一种基于启发式算法的优化方法，利用群体行为的思想进行全局搜索。
该算法基于种群演化，可以利用全局信息和局部交换以及自我适应等特点，综合利用了搜索中的多样性和少数量的节点数。
粒子群算法的优点是能够解决高维、多峰、非线性约束、非凸性等问题，并且具备较强的全局搜索能力。
然而其也存在较大的局限性，例如易收敛到局部最优解、易出现早熟现象等问题，需结合其他优化算法进一步优化。
四、遗传算法遗传算法是一种基于生物遗传进化机制的优化算法，其核心思想是通过选择、交叉、变异等操作，利用自然选择和适应性的原理进行问题求解。
该算法基于种群智能，适用于高维、非线性、找寻全局最优解等具有良好解空间的优化问题。
遗传算法的优点在于其能够在多峰时取得较优的解，尤其适用于求解具有很多可怕的自变量时。
第5章 非线性规划
非线性规划的基本概念和定理
V y 2 x 将y代入目标函数，则原问题变为： V V 2 2 min S 2x 2x 2 2x 2 x x 显然这是一个无约束非线性规划问题。可用函数求 极值的方法求解，结果为y=2x，即罐高等于直径时 耗钢量最少。
非线性规划的基本概念和定理
1、一元函数：
①必要条件：f(x)在x*处取得极值的必要条件是f'(x*)＝0；
②充分条件：若f"(x*)＜0，则x*为极大点； 若f"(x*)＞0，则x*为极小点。 2、多元函数： ①必要条件： f(X)在D域内存在极值点X*的必要条件为 * f ( X ) 0 (即f(X)在X*处的所有一阶偏导数等于0)。
第五章 非线性规划
Nonlinear Programming
§5.1 非线性规划的基本概念和定理
一、什么是非线性规划?
前面我们已经讨论过线性规划问题，其目标函数和 约束条件都是自变量的线性函数。还有一类比线性 规划问题范围更广的数学规划，这就是非线性规划 问题。什么是非线性规划呢?我们先来看一个例子： 例 1 ：已知立式圆柱型油罐的容积为 V ，设油罐各层
凹函数的几何意义：
对 于 一 元 函 数 f(x) ， 若
函数曲线上任意两点之 间的连线永远不在曲线
的 上 方 ， 则 f(x) 为 凹 函
数(参见右图) 。
非线性规划的基本概念和定理 f(X)
f [X 1 (1 ) X 2 ]
对于二元函数 f(x1,x2)， 若函数曲面上任意两点 之间的连线永远不在曲 面的上方，则f(x1,x2)为 凹函数(参见右图)。
0e
Ti νi T1 ν1
u(T T0 )
非线性规划作业
非线性规划作业非线性规划是一种数学优化问题的解决方法，它可以用于解决许多现实世界中的复杂问题。
在本次作业中，我们将探讨非线性规划的基本概念、算法和应用。
一、基本概念1. 非线性规划定义：非线性规划是指目标函数和约束条件中至少有一个是非线性的优化问题。
2. 目标函数：非线性规划的目标是最小化或最大化一个非线性函数，通常表示为f(x)，其中x是决策变量。
3. 约束条件：非线性规划的约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为g(x)≥0或h(x)=0，其中g(x)和h(x)是非线性函数。
4. 局部最优解和全局最优解：非线性规划可能存在多个局部最优解，但只有一个全局最优解。
二、算法1. 一阶条件：非线性规划的一阶条件包括梯度和拉格朗日乘子法。
梯度用于找到目标函数的最速下降方向，而拉格朗日乘子法用于处理约束条件。
2. 二阶条件：非线性规划的二阶条件包括海森矩阵和KKT条件。
海森矩阵用于判断局部极值点的性质，KKT条件是一组充分必要条件，用于判断最优解的存在性。
3. 迭代算法：非线性规划的迭代算法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化算法。
这些算法通过不断迭代逼近最优解。
三、应用非线性规划在许多领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 金融领域：非线性规划可以用于投资组合优化、期权定价和风险管理等问题。
2. 工程领域：非线性规划可以用于优化生产调度、资源分配和工艺参数设计等问题。
3. 运输领域：非线性规划可以用于优化货物运输路径、车辆调度和交通信号控制等问题。
4. 能源领域：非线性规划可以用于优化能源供应链、电力系统调度和能源消耗预测等问题。
在实际应用中，非线性规划常常需要结合数学建模和计算机算法进行求解。
通过合理地选择目标函数、约束条件和算法，可以得到满足实际需求的最优解。
总结：非线性规划是一种解决复杂优化问题的方法，它涉及到数学理论、算法和实际应用。
通过深入理解非线性规划的基本概念、算法和应用，我们可以更好地应对现实世界中的复杂问题，并找到最优解。
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划的理论与算法
非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。
非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。
本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。
一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。
非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。
二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。
该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。
通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。
SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。
2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。
该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。
通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。
内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。
该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。
遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。
非线性规划理论与算法
或起作用约束（紧约束\积极约束\有效约束）。
记 I ( x ) { i | gi ( x ) 0,1 i l }, 称 I ( x )为点 x 处的积极约束指标集。
2 例：设 g1 ( x) 2 x12 x2 0, g 2 ( x) x12 x2 1 0, g3 ( x) x1 0 .
定义4: 可行下降方向
设点 x Q ， 给定向量 d ，如果 d 既是点 x 处的可行方向， 又是该点的下降方向，则称 d 为点 x 处的可行下降方向。 6
min f ( x ) 给定点 x Q , 记点 x 的积极约束指标集为 ( x )。给定 s .t . g(x) 0 I
定理2:
向量 d ，如果 d 满足 gi ( x )T d 0 f ( x )T d 0 i I ( x)
则向量 d 是点 x 处的可行下降方向。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q，( x*)是其积极约束指标集。 I
f ( x ) 和 gi ( x ) (i I ( x*) ) 在点 x * 处可微，
9
最优性条件
无约束规划
min f ( x ) n
xR
定理：可微函数解的必要条件：x*是局部解,则： f ( x*) 0. x*是驻点(稳定点)
可微凸函数解的充要条件：x*是整体极小解当且仅当 f ( x*) 0.
(t ) f ( x * td )
10
约束规划最优性条件的几何表述
共面梯度被线性标示
12
约束规划最优性条件的几何表述
min f ( x ) s .t . ci ( x ) 0, i 1, ..., p
非线性规划理论和算法
非线性规划理论和算法非线性规划是一种数学规划问题，其目标函数和约束条件是非线性的。
与线性规划相比，非线性规划更具挑战性，因为非线性函数的特性使得求解过程更加困难。
然而，非线性规划在实际应用中具有广泛的应用领域，例如优化问题、工程规划、经济决策等。
为了解决非线性规划问题，需要发展相应的理论和算法。
1.非线性规划理论凸规划理论：凸规划是非线性规划的一个特殊情况，其目标函数和约束条件都是凸函数。
凸规划具有许多重要的性质，如唯一最优解、稀疏性、全局最优解等。
凸规划理论为非线性规划提供了重要的指导。
拉格朗日乘子法：拉格朗日乘子法是一种常用的求解非线性规划的方法，其基本思想是通过构建拉格朗日函数将原问题转化为无约束优化问题。
拉格朗日乘子法为非线性规划提供了一种有效的解法。
拟牛顿法：拟牛顿法是一类迭代方法，用于求解无约束和约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构建近似的黑塞矩阵来更新方向。
拟牛顿法具有收敛速度快和全局收敛性好的优点，被广泛应用于实际问题求解中。
2.非线性规划算法直接方法：直接方法包括穷举法、划分法、割平面法等。
这些方法适用于问题维度和约束条件较少的情况，可以通过枚举或分割解空间来找到最优解。
然而，直接方法的计算复杂度较高，在高维问题中效率较低。
迭代方法：迭代方法通过迭代更新方向来逐步逼近最优解。
常用的迭代方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
这些方法在求解非线性规划问题时表现出较好的收敛性和效率。
近年来，随着计算机性能的提高和优化算法的进一步发展，一些先进的非线性规划算法也得到了广泛应用，例如粒子群优化算法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法基于不同的策略和模拟自然现象的原理，可以有效克服非线性规划问题中的局部最优和高维度等挑战。
总结起来，非线性规划理论和算法是解决实际问题中非线性优化问题的重要工具。
非线性规划理论提供了问题求解的基本原理和数学模型，而非线性规划算法则根据不同问题的特点和性质选择合适的求解方法。
非线性规划作业
非线性规划作业非线性规划是数学中的一个重要分支，它研究的是含有非线性约束条件的优化问题。
在实际应用中，非线性规划经常用于解决各种复杂的实际问题，如经济学、工程学、管理学等领域。
本文将详细介绍非线性规划的基本概念、求解方法以及实际应用。
一、非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和约束条件中至少存在一个是非线性的优化问题。
它的一般形式可以表示为：最小化（或最大化）目标函数 f(x)约束条件g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，x 是决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 和 h(x) 是约束条件。
二、非线性规划的求解方法1. 无约束问题的求解方法对于无约束的非线性规划问题，可以使用以下方法进行求解：（1）梯度法：通过计算目标函数的梯度来确定搜索方向，从而逐步逼近最优解。
（2）牛顿法：通过计算目标函数的一阶导数和二阶导数来确定搜索方向，从而更快地逼近最优解。
（3）拟牛顿法：通过逼近目标函数的梯度和海森矩阵来确定搜索方向，从而更快地逼近最优解。
2. 有约束问题的求解方法对于有约束的非线性规划问题，可以使用以下方法进行求解：（1）拉格朗日乘子法：通过构建拉格朗日函数，将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题，然后使用无约束问题的求解方法进行求解。
（2）KKT 条件法：通过构建 KKT 条件，将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题，然后使用无约束问题的求解方法进行求解。
三、非线性规划的实际应用非线性规划在实际应用中具有广泛的应用价值，下面以几个典型的实际问题为例进行说明：1. 生产计划问题：假设某公司有多种产品需要生产，每种产品的生产成本和销售利润不同，公司希望通过优化生产计划，使得总利润最大化。
2. 交通调度问题：假设某城市有多个交通节点，每个节点之间的距离和交通流量不同，城市希望通过优化交通调度，使得总交通成本最小化。
3. 投资组合问题：假设某投资者有多个投资标的可供选择，每个标的的风险和收益率不同，投资者希望通过优化投资组合，使得总收益最大化或总风险最小化。
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第五章 非线性规划：理论和算法5.5 约束优化我们现在继续讨论更一般的有约束的线性优化问题。
特别的,我们考虑一个具有非线性目标函数和（或者）非线性约束的优化问题。
我们可以将这种问题表示为下面的一般形式：I∈≥∈=i x g i x g x f i i x ,0)(,0)()(min ε (5.10) 在本节的末尾，我们假设f 和i g ，i ε∈⋃I 全部是连续可微的。
拉格朗日函数是研究有约束的优化问题的一个重要工具。
为了定义这个函数，我们结合每个约束的乘子i λ——称作拉格朗日乘子。
对于问题（5.10）拉格朗日函数如下定义：∑I⋃∈-=ελλi iix g x f x L )()(:),( （5.11） 本质上，我们考虑的是目标函数违反了可行约束时的惩罚函数。
选择合适的i λ，最小化无约束函数(),L x λ等价于求解约束问题（5.10）。
这就是我们对拉格朗日函数感兴趣的最根本的原因。
与这个问题相关的最重要问题之一是求解最优问题的充要条件。
总之，这些条件称为最优性条件，也是本节的目的。
在给出问题（5.10）最优性条件之前，我们先讨论一个叫做正则性的条件，由下面的定义给出：定义5.1：设向量x 满足ε∈=i x g i ,0)(和I ∈≥i x g i ,0)(。
设J ⊂I 是使得0)(≥x g i 等号成立的指标集。
x 是问题（5.10）约束条件的正则点，如果梯度向量)(x g i ∇（i J ∈⊂I ）相互线性无关。
在上述定义中与J ε对应的约束，即满足0)(=x g i 的约束称为在x 点处的有效约束。
我们讨论第一章提到的两个优化的概念，局部和全局。
回顾（5.10）的全局最优解向量*x ，它是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于所有的x 都成立。
相比之下，局部最优解*x 是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于{}ε≤-*:x x x （0>ε）成立。
因此局部解一定是它邻域的可行点中最优的。
下面我们考虑的最优性条件仅仅判别局部解，则可能是全局最优解，也可能不是。
幸运的是，这里存在一类局部最优解和全局解一致的问题——凸优化问题。
附录A 中讨论的就是基于凸集的凸优化问题。
定理5.1 （一阶必要条件）设*x 是问题（5.10）的局部最小值，假设*x 是这个问题的约束的正则点。
则存在i λ，I ∈ εi 使得：0)()(**=∇-∇∑I∈ ελi iix g x f （5.12）I ∈≥i i ,0λ（5.13）I ∈=i x g i i ,0)(*λ（5.14）注意，（5.12）左边表达的意思是拉格朗日函数(),L x λ对每个变量x 的梯度。
一阶条件在局部最小值，局部最大值及鞍点处满足。
当目标函数和约束函数是二次连续可微的时候，可以用函数的曲率排除最大值和鞍点。
根据定理5.1，我们考虑拉格朗日函数(),L x λ和这个函数对每个变量x 的海森矩阵，来计算目标函数和约束函数在当前点处的曲率。
定理5.2（二阶必要条件）假设函数f 和i g （i ε∈⋃I ）都是二次连续可微的。
假设*x 是问题（5.10）局部最小值而且是这个问题的约束正则点。
则存在i λ，i ε∈⋃I 满足（5.12）—（5.14）及下面的条件：∑I∈∇-∇ ελi i ix g x f )()(*2*2 （5.15）在*x 处有效约束的切线子空间处是半正定的。
定理后半部分可以改写为含有效约束的雅阁比矩阵的形式。
设)(*x A 表示*x 处有效约束的雅阁比矩阵，设)(*x N 表示基于)(*x A 的零空间。
则定理的最后一个条件等价于下面的条件：)()()()(**2*2*x N x g x f x N i i i T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇∑I ∈ ελ （5.16） 是半正定的。
二阶必要条件并非常常保证给出的解的局部最优性。
局部最优性的充分条件更加严格和复杂，因为要考虑到退化的可能性。
定理5.3（二阶充分条件）假设函数f 和i g ，i ε∈⋃I 都是连续二次可微的。
同时假设*x 是问题（5.10）可行点而且是这个问题的约束正则点。
设)(*x A 表示*x 处有效约束的雅阁比矩阵，设)(*x N 表示基于)(*x A 的零空间。
如果存在i λ，i ε∈⋃I 满足（5.12）—（5.14）及下面的条件：I ∈=i x g i ,0)(*暗示0>i λ （5.17）和)()()()(**2*2*x N x g x f x N i i i T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇∑I ∈ ελ （5.18） 是正定的，则*x 是问题（5.10）的局部最小值。
定理5.1、5.2和5.3中列出的条件称作Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件，以它们的发明者命名的。
一些求解约束优化问题的方法表达成一系列简单的可以用一般迭代步骤求出解的简单优化问题。
这些“简单”的问题可以是无约束的，此时可以应用我们前面章节介绍的方法求解。
我们在5.5.1中考虑这些策略。
在其他情况下，这些简单的问题是二次规划且可以应用第七章中的方法求解。
这个策略的典型例子是5.5.2中讨论的连续二次规划问题。
5.5.1广义简约梯度法在本节中，我们介绍一种求解有约束的非线性规划的方法。
这种方法建立在前文讨论的无约束优化法之最速下降法的基础上的。
这种方法的思想是利用约束减少变量的个数，然后用最速下降法去求解简化的无约束的问题。
线性等式约束首先我们讨论一个约束是线性方程组的例子。
2212341123421234min ()()4440()2220f x x x x xg x x x x x g x x x x x =+++=+++-==-++-+=在其他变量给定情况下，很容易求解只有两个变量的约束方程。
给定1x ，4x ，令214388x x x =+- 和31433x x x =--+。
把这些变量代入目标函数，然后得到下面简化的形式：()2214114144min (,)38833f x x x x x x x x =++-+-++这个简化形式是无约束的，因此可以利用5.4.1节的最速下降法求解。
例1：用最速下降法求min f(x)=f=(x −2)2+(y −4)2 Matlab 程序：M 文件：function [R,n]=steel(x0,y0,eps)syms x;syms y;f=(x-2)^4+exp(x-2)+(x-2*y)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]调用黄金分割法：M文件：function Mini=Gold(f,a0,b0,eps)syms x;format long;syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0; a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u); Fv=subs(f,kk,v); if(Fu<=Fv) b=v; v=u;u=a+0.382*(b-a); k=k+1; elseif(Fu>Fv) a=u; u=v;v=a+0.618*(b-a); k=k+1; endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; endMini=(a+b)/2; 输入：[R,n]=steel(0,1,0.0001)R = 1.99999413667642 3.99999120501463 n = 1 非线性等式约束现在考虑用一个线性方程去逼近一个拥有非线性约束问题的可能性，而线性问题就可以像上面的例子那样解决。
要了解如何工作的，考虑下面的例子，它和前面提到的例子类似，但是它的约束是非线性的。
221234211234221234min ()()4440()2220f x x x x xg x x x x x g x x x x x =+++=+++-==-++-+=在当前点x 我们用Taylor 级数逼近约束方程：()()()()Tg x g x g x x x≈+∇-于是：)4(442)4,4,1,2()444()(214321144332211143211=+-+++≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-+++≈x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g 和0)2(2)(24443212=++-++-≈x x x x x x x g广义简约梯度法（GRG ）的思想是求解一系列子问题，每个子问题可以利用约束的线性逼近。
在算法的每一步迭代中，利用先前获得的点重新计算线性化约束的点。
一般来说，即使约束是线性逼近的，但每一步迭代获得值也是逐步逼近最优点的。
线性化的一个性质是在最优点，线性化的问题和原问题有相同的解。
使用GRG 的第一步是选择一个初值。
假设我们开始设()00,8,3,0x =，而这个值恰好逼近公式，我们构造的首个逼近问题如下：22123412342123min ()()4440()220f x x x x xg x x x x g x x x x =+++=++-==-+++=程序思路与例1相似，具体参考例1程序。
5.5 约束优化现在我们这个逼近问题的等式约束，用其他变量表示其中的两个变量。
不妨选择2x 和3x ，即得：214248x x x =+-和3141232x x x =--+把这些表达式代入目标函数，获得简化的问题：22141141441min (,)(248)232f x x x x x x x x ⎛⎫=++-+--++ ⎪⎝⎭求解这个无约束的最小化问题，得到140.375,0.96875x x =-=再代入上面表达式，得：234.875, 1.25x x =-=。
因此GRG 方法的第一步迭代产生了一个新点1(0.375, 4.875,1.25,0.96875)X =--继续这个求解过程，在新点上我们重新线性化约束函数，利用获得的线性方程组，把其中两个变量用其他变量表示，然后代入目标函数，就可以得到新的简化问题，求解这个新的简化问题得到新的点2X ，依此类推。