用二分法求方程的近似解

f(2.75)>0 f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)>0
（2.5，2.562 5）
f(2.5)<0 f(2.562 5)>0
2.531 25 f(2.531 25)<0
f(2.531 25)<0 （2.531 25，2.562 5） f(2.562 5)>0
【解析】确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取区间(1,2)
作为计算的初始区间.因为f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在
x0∈(1, 2)，使f(x0)=0.
用二分法逐步计算，列表如下：
2020/12/2
2020/12/2
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【思考】(1)所有的函数都有零点吗？ (2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？
y ox
y ox
y
o
x
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例1. 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的正数零点(精确度为0.1).
【解题指南】本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零 点的具体步骤.求正数零点，关键是确定一个包含此零点的区 间.
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端点(中点)
x1
1+2 2
1.5
端点或中点的 函数值的符号
f(1)<0, f(2)>0
f(1.5)<0
取值区间 (1,2)
(1.5，2)
1.5+2 x2 2 1.75
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f(1.75)>0
(1.5,1.75)
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端点(中点)
x
3
1 .5 +1 .7 5 2
1.625
x4
1.625+1.75 2
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注意精确度
由于 2 . 5 3 9 0 6 2 5 2 . 5 3 1 2 5 0 . 0 0 7 8 1 2 5 0 . 0 1
所以，可以将x2 .5 3 12 5作为函数 f(x)lnx2x6
零点的近似值，也即方程ln x 2 x 6 0 的近似根.
2020/12/2
在区间（2，3）内
y
6
y=lnx
2020/12/2
O 1234
x
y=－2x+6 13
列出下表：
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3） （2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625
4.判断是否达到精确度 ：
即若 a b百度文库 ，则得到零点近似值a(或b）；
否则重复步骤2～4．
2020/12/2
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例2. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点
（精确度为0.01）.
解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解
1.687 5
端点或中点的 函数值的符号
f(1.625)<0
取值区间 (1.625,1.75)
f(1.687 5)<0 (1.687 5,1.75)
由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1. ∴函数的正零点的近似值为1.687 5.
2020/12/2
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给定精确度 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
2.546 875 f(2.546 875)>0
f(2.531 25)<0 （2.531 25，2.546 875） f(2.546 875)>0
2.539 062 5 f(2.539 062 5)>0
f(2.531 25)<0, （2.531 25，2.539 062 5）f(2.539 062 5)>0
1.确定区间 a , b ，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ；
2.求区间（a,b）的中点c；
3.计算 f ( c )
（1）若 f (c) 0 ，则c就是函数的零点；
（2）若 f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
（3）若 f(c)f(b)0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).
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2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看. 同号丢，异号算，零点落在异号间. 重复做，何时止，精确度来把关口.
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对二分法概念的理解 【技法点拨】
运用二分法求函数零点需具备的二个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
2020/12/2
1
（1）通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数 观点处理问题的意识；(重点）
（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. （难点）
2020/12/2
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2020/12/2
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在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路， 如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个
点要爬A一次电线杆，10km长C，大约E 有2D00多根电线B杆呢．想
一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
2020/12/2
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假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且 f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法求得 方程f(x)=0的一个解? y
2020/12/2
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【典例训练】 1.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的 是( B )
f(x)
-1 O
12 3
4
5x
2020/12/2
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二分法的定义：
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.
定义： 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函
数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法（bisection）.